Пошаговое решение системы  линейных уравнений  методом Гаусса в  электронной таблице  Microsoft Excel

Решение

В диапазон ячеек  A1:E4 заносим расширенную матрицу системы.

      Таблица 1

В соответствии с методом Гаусса, используя элементарные преобразования метода Гаусса, во второй, третьей и четвертой строках первого столбца расширенной матрицы получим нули (коэффициенты при во втором, третьем и четвертом уравнениях системы сделаем равными нулю), при этом первую строку (первое уравнение) оставим без изменения, фиксируем первую строку.

Дальнейшие преобразования делаем с использованием первой строки расширенной матрицы (первого уравнения  системы).

Выделяем диапазон ячеек A6:E6, для чего: кликнем ячейку A6, нажимаем клавишу Shift и, не отпуская ее, кликнем ячейку E6.

В диапазон ячеек  A6:E6 записываем формулу 
=A1:E1.

Нажимаем не как обычно клавишу <Enter>, а комбинацию клавиш <Ctrl> + <Shift> + <Enter>. Таким образом мы сообщаем программе, что нужно выполнить операцию над массивом. При этом Excel заключит формулу в строке формул в фигурные скобки 
{=A1:E1}.

В результате мы оставили без изменения первую строку расширенной матрицы (первое уравнение  системы).

Выделяем диапазон ячеек A7:E7, для чего: кликнем ячейку A7, нажимаем клавишу Shift и, не отпуская ее, кликнем ячейку E7.

В диапазон ячеек  A7:E7 записываем формулу 
=A2:E2-$A$1:$E$1*(A2/$A$1), 
которая обратит в нуль элемент расширенной матрицы, стоящий во второй строке первого столбца (обращающую в нуль коэффициент при во втором уравнении системы).

Нажимаем комбинацию клавиш <Ctrl> + <Shift> + <Enter> и в строке формул получаем формулу 
{=A2:E2-$A$1:$E$1*(A2/$A$1)}, 
при этом диапазон ячеек A7:E7 остается выделенным; если в результате каких-либо действий диапазон ячеек A7:E7 перестал быть выделенным, то его нужно выделить.

Позиционируем указатель мыши на черном квадратике — маркере заполнения, который  находится в правом нижнем углу выделенного  диапазона, указатель мыши примет вид черного креста, нажимаем левую кнопку мыши и протаскиваем маркер заполнения так, чтобы заполнить диапазон A8:E9. Это обратит в нуль элементы расширенной матрицы, стоящие в третьей и четвертой строках первого столбца расширенной матрицы (обратит в нуль коэффициенты при в третьем и четвертом уравнениях системы).

Получим

      Таблица 2

В соответствии с методом Гаусса, используя элементарные преобразования метода Гаусса, в третьей  и четвертой строках второго столбца расширенной матрицы получим нули (коэффициенты при в третьем и четвертом уравнениях системы сделаем равными нулю), а первую и вторую строки расширенной матрицы (первое и второе уравнение системы) оставим без изменения, фиксируем вторую строку строку расширенной матрицы (второе уравнение системы).

Выделяем диапазон ячеек A11:E12, для чего: кликнем ячейку A11, нажимаем клавишу Shift и, не отпуская ее, кликнем ячейку E12.

В диапазон ячеек  A11:E12 записываем формулу 
=A6:E7.

Нажимаем комбинацию клавиш <Ctrl> + <Shift> + <Enter>. При этом Excel заключит формулу в строке формул в фигурные скобки 
{=A6:E7}.

В результате мы оставили без изменения первую и  вторую строки расширенной матрицы  расширенной матрицы (первое и второе уравнения системы).

Выделяем диапазон ячеек A13:E13, для чего: кликнем ячейку A13, нажимаем клавишу Shift и, не отпуская ее, кликнем ячейку E13.

В диапазон ячеек  A13:E13 записываем формулу 
=A8:E8-$A$7:$E$7*(B8/$B$7), 
обращающую в нуль элемент третьей строки второго столбца расширенной матрицы (обращающую в нуль коэффициент при в третьем уравнении системы).

Нажимаем комбинацию клавиш <Ctrl> + <Shift> + <Enter> и в строке формул получаем формулу 
{=A8:E8-$A$7:$E$7*(B8/$B$7)}, 
при этом диапазон ячеек A13:E13 остается выделенным; если в результате каких-либо действий диапазон ячеек A13:E13 перестал быть выделенным, то его нужно выделить.

Позиционируем указатель мыши на черном квадратике — маркере заполнения, который находится в правом нижнем углу выделенного диапазона, указатель мыши примет вид черного креста, нажимаем левую кнопку мыши и протаскиваем маркер заполнения так, чтобы заполнить диапазон A13:E14. Это обратит в нуль элемент четвертой строки второго столбца расширенной матрицы (обратит в нуль коэффициент при в четвертом уравнении системы).

Получим

 

 Таблица 3

В соответствии с методом Гаусса, используя элементарные преобразования метода Гаусса, в четвертой строке третьего столбца расширенной матрицы получим нуль (коэффициент при в четвертом уравнении системы сделаем равным нулю), а первую, вторую и третью строки расширенной матрицы (первое, второе и третье уравнения системы) оставим без изменения, фиксируем третью строку расширенной матрицы (третье уравнение системы).

Дальнейшие преобразования делаем с использованием третьей  строки расширенной матрицы (третьего уравнения системы).

Выделяем диапазон ячеек A16:E18.

В диапазон ячеек  A16:E18 записываем формулу 
=A11:E13.

Нажимаем комбинацию клавиш <Ctrl> + <Shift> + <Enter>. При этом Excel заключит формулу в строке формул в фигурные скобки 
{=A11:E13}.

В результате мы оставили без изменения первую, вторую и третью строки расширенной матрицы (первое, второе и третье уравнения системы).

Выделяем диапазон ячеек A19:E19.

В диапазон ячеек  A19:E19 записываем формулу 
=A14:E14-$A$13:$E$13*(C14/$C$13), 
обращающую в нуль элемент четвертой строки третьего столбца расширенной матрицы (коэффициент при в четвертом уравнении системы).

Нажимаем комбинацию клавиш <Ctrl> + <Shift> + <Enter> и в строке формул получаем формулу 
{=A14:E14-$A$13:$E$13*(C14/$C$13)}.

Получим

 

 Таблица 4

В результате применения элементарных преобразований метода Гаусса мы привели расширенную матрицу  к ступенчатому виду.

Теперь последовательно  находим значения неизвестных.

Выделяем диапазон ячеек A24:E24 и записываем в него формулу 
=A19:E19/D19, 
в результате в ячейке E24 получим значение неизвестной .

Нажимаем комбинацию клавиш <Ctrl> + <Shift> + <Enter>.

Выделяем диапазон ячеек A23:E23 и записываем в него формулу 
=(A18:E18-A24:E24*D18)/C18, 
в результате в ячейке E23 получим значение неизвестной .

Нажимаем комбинацию клавиш <Ctrl> + <Shift> + <Enter>.

Выделяем диапазон ячеек A22:E22 и записываем в него формулу 
=(A17:E17-A24:E24*D17-A23:E23*C17)/B17, 
в результате в ячейке E22 получим значение неизвестной .

Нажимаем комбинацию клавиш <Ctrl> + <Shift> + <Enter>.

Выделяем диапазон ячеек A21:E21 и записываем в него формулу 
=(A16:E16-A24:E24*D16-A23:E23*C16-A22:E22*B16)/A16, 
в результате в ячейке E21 получим значение неизвестной .

Нажимаем комбинацию клавиш <Ctrl> + <Shift> + <Enter>.

Окончательно  получим

 

 Таблица 5

Для проверки правильности проведенных расчетов решим заданную систему матричным методом.

Для этого выделим  диапазон ячеек G21:G24 и запишем в него формулу 
=МУМНОЖ(МОБР(A1:D4);E1:E4).

Нажимаем комбинацию клавиш <Ctrl> + <Shift> + <Enter>.

Получим

      Таблица 6

Мы видим, что  получился тот же самый результат.

=ЕСЛИ(A1="";"";(ЕСЛИ(ИЛИ(A1=1;A1=21);"год";(ЕСЛИ(ИЛИ(И(A1>=2;A1<=4);И(A1>=22;A1<=24));"года";"лет")))))