Получение ряда равномерно распределенных псевдослучайных чисел с использованием ЭВМ

Эту последовательность часто называют последовательностью псевдослучайных чисел. В настоящее время чаще используется математический метод. Для этого есть несколько причин. Прежде всего в статистическом моделировании важно иметь возможность воспроизвести последовательности случайных чисел, чтобы, например, посмотреть, как на тех же данных будет работать другой метод статистической обработки. Далее, трудно гарантировать постоянную удовлетворительную работу физических датчиков. И наконец, в настоящее время найдены и проверены простые и вместе с тем надежные математические датчики. 

Методы генерирования с помощью  ЭВМ псевдослучайных чисел и стохастических вариационных рядов освещены во многих книгах и статьях в технических журналах. Кроме того, большая часть ЭВМ содержит соответствующие подпрограммы в составе своих библиотек. Поэтому мы специально их не рассматривали, а лишь поместили в приложении в качестве вспомогательных средств для проведения вычислений в случае, если под руками нет соответствующих машинных программ. 

Существуют и другие способы  получения псевдослучайных чисел. 

Таким образом, если разрядность псевдослучайных чисел выбрана малой, то это может сказаться на степени приближения псевдослучайной последовательности к случайной. 

Заметим, что использование последовательностей псевдослучайных чисел, резко отличающихся по вероятностным оценкам от идеальной последовательности равномерно распределенных случайных чисел, в некоторых случаях может существенно увеличить время решения оптимальной задачи методом случайного поиска. 

 

2. Получение на ЭВМ равномерно распределенных псевдослучайных чисел.

 

При моделировании систем на ЭВМ  программная имитация случайных воз-действий любой сложности сводится к генерированию некоторых стандартных (базовых ) процессов и к их последующему функциональному преобразованию. Таким базовым процессом является последовательность чисел {х_i} = х₀, х₁, ¼, х_N, представляющих собой реализации независимых, равномерно  распределенных  на  интервале  ( 0, 1 )  случайных  величин  { e_i } = e₀, e₁, ¼, e_N. Но  на  ЭВМ невозможно  получить  идеальную последовательность  случайных  чисел  потому, что  на  ней  можно  оперировать  только  с  конечным  множеством  чисел. Кроме  того, для  полу-чения  значений  х  случайной  величины  e  используются  формулы ( алгоритмы ). Поэтому такие последовательности, являющиеся  по  своей  сути  детерминированны-ми, называются  псевдослучайными.

Наибольшее  применение  в  практике  моделирования  на  ЭВМ  для  генерации  последовательностей  псевдослучайных  чисел  находят  алгоритмы  вида

х_i+1 = F ( х_i ),

представляющие  собой  рекуррентные  соотношения  первого  порядка, для  которых  начальное  число  х₀   и  постоянные  параметры  заданы.

Рассмотрим  некоторые  процедуры  получения  последовательностей  равномер-но  распределенных  псевдослучайных  чисел.

 

1. Метод соединенных квадратов.

Пусть  имеется  2n-разрядное число, меньшее 1

х_i  = 0, a₁  a₂  ¼  a_2n.

Возведем  его  в  квадрат

х_i² = 0, b₁  b₂  ¼  b_4n,

а  затем  отберем  средние  2n  разрядов, которые и будут являться  очередным  чис-лом  псевдослучайной  последовательности

х_i+1 = 0, b_n+1  b_n+2  ¼  b_3n.

        Этому  методу  соответствует  рекуррентное  соотношение               

х_i+1 = D [ 10^-2n Ц [ 10³ⁿ х_i² ] ],

 где  D [ × ]  и Ц [ × ]  означают  соответственно  дробную и целую часть числа в квадратных  скобках.

Недостаток  метода - наличие  корреляции  между  числами  последовательности, а  в  ряде  случаев  случайность  вообще  может  отсутствовать. Кроме  того, при  не-которых   i^*  может   наблюдаться   вырождение   последовательности,  т.е.  х_i = 0   при     

i  ³ i^*.

1. Метод середины произведений.

Метод  является  модификацией  метода серединных  квадратов  и  состоит  в том, что  два  2n-значных числа перемножаются и средние 2n  цифр  этого произведения  принимаются в качестве  следующего  числа последовательности. Таким  образом, если         

х_i-1 = 0,  a₁  a₂  ¼  a_2n,

х_i = 0, b₁  b₂  ¼  b_2n,

то  для  получения  числа  х_i+1  необходимо  перемножить х_i-1  и х_i

х_i-1 × х_i = 0, c₁  c₂  ¼  c_4n,

а  затем  отобрать  средние  2n  цифр  этого произведения

х_i+1 = 0, c_n+1  c_n+2  ¼  c_3n.

Данному  методу  соответствует  рекуррентное  соотношение

х_i+1 = D [ 10^-2n  Ц [ 10³ⁿ х_i × х_i-1 ] ]

при  заданных  двух  начальных  числах  х₀  и х₁.

Несмотря  на  то, что  данный  метод  также  имеет  тенденцию  к  вырождению, но  обеспечивает  лучшее  качество  псевдослучайных  чисел, чем  у  чисел, получен-ных  с  помощью  метода  серединных  квадратов.

1. Мультипликативный метод.

Широкое  применение  для  получения  последовательностей  псевдослучайных  равномерно  распределенных  чисел  получили  конгруэнтные  процедуры  генерации, которые  могут  быть  реализованы  мультипликативным  либо  смешанным  методом. Конгруэнтные  процедуры  являются  чисто  детерминированными, т.к.  описываются  в  виде  рекуррентного  соотношения, когда  функция  ( 1 )  имеет  вид

                                                       Х_i = lХ_i + m ( mod M ),                                             

где  Х_i, l, m, M - неотрицательные целые числа.

Раскрывая  ( 2 )  получим

                                          Х_i = lⁱ Х₀ + ( lⁱ - 1) m / ( l - 1 )( mod M ).                             

Если  задано  начальное  значение  Х₀, множитель l  и аддитивная  константа  m, то  ( 5 )  однозначно  определяет  последовательность  целых чисел  { Х_i }, составленную  из  остатков  от  деления на  М, членов  последовательности

 { lⁱ×Х₀ + m ( lⁱ - 1 ) / ( l - 1 )}.     

Таким  образом, для  любого  i ³ 1  справедливо неравенство Х_i < M. По  целым числам  последовательности  { Х_i }  можно построить последовательность          { х_i } = { Х_i / M }  рациональных  чисел из  единичного  интервала  ( 0, 1 ).

Мультипликативный  метод  задает  последовательность  неотрицательных  це-лых  чисел  { Х_i }, не  превосходящих М, по  формуле    

                                                         Х_i+1= l Х_i ( mod M ),                                               

т.е.  это  частный  случай  ( 4 )  при  m = 0.

Для  машинной  реализации  наиболее  удобна  версия  М = p^g,  где p - число цифр  в системе счисления, принятой  в ЭВМ, а g - число бит в машинном  слове.

Алгоритм  построения  последовательности  для  двоичной  машины  М = 2^g  сво-дится к выполнению  следующих операций:

1. выбрать  в  качестве  Х₀  произвольное  нечетное  число; 
2. вычислить  коэффициент  l = 8t ± 3, где t - любое целое положительное  число;
3. найти  произведение  l Х₀, содержащее  не  более  2g  значащих  разрядов;
4. взять  g  младших разрядов  в качестве  первого числа последовательности  Х₁, а остальные отбросить;
5. определить  дробь  х₁ = Х₁ / 2^g  из  интервала ( 0, 1 );           
6. присвоить  Х₀ = Х₁;
7. вернуться  к  пункту  3.

В  настоящее  время  библиотеки  стандартных  программ  ЭВМ  для  вычисления  последовательностей  равномерно  распределенных  случайных  чисел  основаны  на  конгруэнтных  процедурах. Последовательность, полученная  по  мультипликативному  методу, хорошо  удовлетворяет  статистическим  критериям  проверки  качества.

1. Методы проверки качества псевдослучайных чисел с равномерным законом распределения.

Методы  ( в  дальнейшем, тесты )  проверки  качества  псевдослучайных  чисел  делятся  на  три  группы:

1. тесты  проверки   ²случайности²  последовательности  псевдослучайных  чисел;
2. тесты  проверки  равномерности  закона  распределения;
3. тесты  проверки  независимости  последовательности.

Первые  два  теста  основываются  на  статистических  критериях  согласия, из  которых  наиболее  употребительным  является  статистический  критерий  согласия  ( Пирсона ). 

Пусть  имеется  h - случайная величина, о законе  распределения которой  выдвигается  некоторая  гипотеза, Х - множество  возможных  значений  h. Разобьем  Х на  m  попарно непересекающихся  множеств  Х₁, Х₂, ¼ ,Х_m, таких, что

P { hÎХ_j } = p_j > 0  при j = 1, 2, ¼, m,

p₁ + p₂ + ¼ p_m = P { hÎХ } = 1.

Выберем  N  независимых значений  h₁, h₂, ¼ ,h_N  и  обозначим  через коли-чество  значений  hÎХ_j. Очевидно,  что математическое  ожидание  равно  Np_j, т.е.  М [ ] = Np_j. 

В  качестве  меры  отклонения  всех

от  Np_j выбирается  величина

При  достаточно  большом  N  величина хорошо  подчиняется закону  распределения с ( m - 1)  степенью  свободы:

P {

< } ,

где - плотность распределения с  ( m - 1)  степенью  свободы.

С  помощью  формулы  ( 8 )  при  заданном  уровне  значимости b ( обычно b = 0.95 )  можно определить  нижнюю и верхнюю границы области  возможного  принятия  гипотезы  ( доверительного  интервала ). Для  этого  нужно  ре-шить  соответственно  следующие  уравнения:

P {

> } = =  b,

P {

> } = =  g,

где  g = 1 - b, r = m - 1.

 

2. Практическая часть

№ Вар.	E(t)	Инд-ть L, Гн	Емкость С, Ф	Сопротивление		№ рис. Схемы	Uвых на эл-те
				R1, Ом	R2, Ом
31	20Cos(6t)	0,763	35,16	5	2,5	8	R1

 

      

Составим интегро-дифференциальные уравнения контурных токов по второму закону Кирхгофа:

    

Продифференцировав уравнения, получим:

    

Получим:

    

Произведем обозначение дифференциалов для понижения порядка дифференциальных уравнений:

       

     

Для решения системы дифференциапьных уравнений зададим начальные условия по токам:

Выберем соответственно начало и конец  временного интервала интегрирования и количество дискрет  на этом интервале

           

 

 

 

Обозначим начальные токи:

Сформируем правую часть системы  дифференциальных уравнений в виде

Решение системы дифференциальных уравнений получено в виде:

Дискретные значения токов представим таблицей протокола решения:

Найдем передаточную функцию. Для этого воспользуемся прямым преобразованием Лапласа, формально заменив символ интеграла на 1/s, а символ производной на s. Обозначим падение напряжения на резисторе R через U.

Это соотношение определяет передаточную функцию

Подставим численные значения параметров электрической цепи:

Числитель и знаменатель выражения  поделим на 1.7177142719725715385 и коэффициенты знаменателя, который представляет характеристическое уравнение, запишем в виде вектора:

Используя функцию polyroots(у) найдем корни характеристического уравнения. Откуда видно, что система устойчива. Определение выходного сигнала системы на синусоидальный входной сигнал. Для этого найдем изображение по Лапласу входного сигнала:

        

Перемножим в изображениях входной  сигнал на передаточную функцию и сделаем преобразования:

Произведем обратное преобразование Лапласа для выходного сигнала:

Построим графики входного и  выходного сигналов от временного аргумента

Определим переходную функцию:

           

        

Выполним прямое преобразование Фурье

 

 

 

Построим амплитудно-частотную характеристику

Построим фазо-частотную характеристику

 

Список используемых источников:

1. Бусленко Н. П. Моделирование сложных систем. - М.: Наука, 1978.
2. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. – М.: Наука, 1988. – 480 с.
3. Бобнев М.П. Генерирование случайных сигналов. – Изд. 2-е, перераб. И доп. – М.: Энергия, 1971. – 240 с.
4. Манджалагидзе П.В., Морозов А.М. Формирование случайных цифр в произвольной системе счисления // Труды Вычислительного центра АН Груз. СССР. Т.21. № 2. 1981. С. 74-104.
5. Ермаков С.М., Михайлов Г.А., Статистическое моделирование. М. Наука. 1982. 294 с.
6. Фомин С.В. Системы счисления. М. Наука. 1987. 40 с.