Общая характеристика MathCad

     Общая характеристика MATHCAD.

     Одна  из задач ЭВМ - автоматизация труда, повышение эффективности научных  исследований. Основная особенность  ЭВМ - ориентация на применение пользователями, не владеющими языками программирования. Такой подход позволяет преодолевать языковой барьер, отделяющий человека от машины. С этой целью разрабатываются  пакеты прикладных программ, рассчитанные на широкие круги специалистов. К  подобным пакетам относится MATHCAD.

     MATHCAD - универсальный математический  пакет, предназначенный для выполнения  инженерных и научных расчетов. Основное преимущество пакета - естественный  математический язык, на котором  формируются решаемые задачи. Объединение  текстового редактора с возможностью  использования общепринятого математического  языка позволяет пользователю  получить готовый итоговый документ. Пакет обладает широкими графическими  возможностями, расширяемыми от  версии к версии. Практическое  применение пакета существенно  повышает эффективность интеллектуального  труда.

     От  других продуктов аналогичного назначения, например, Maple & Theorist (компании Waterloo Maple Software) и Mathematica (компании Wolf Research), MATHCAD (компании Mathsoft) отличается ориентация на создание высококачественных документов (докладов, отчетов, статей) в режиме WYSIWYG (What You See Is What You Get). Это означает, что, внося  изменения, пользователь немедленно видит  их результаты и в любой момент может распечатать документ во всем блеске. Работа с пакетом за экраном  компьютера практически совпадает  с работой на бумаге с одной  лишь разницей - она более эффективна. Преимущества MATHCAD состоит в том, что он не только позволяет провести необходимые расчеты, но и оформить свою работу с помощью графиков, рисунков, таблиц и математических формул. А эта часть работы является наиболее рутинной и малотворческой, к тому же она и времяемкая и  малоприятная.

     Первая  версия пакета MATHCAD появилась в 1986г., вторая (2.01) - в 1987г. Пакет постоянно  совершенствуется. В настоящее время  существуют версии MATHCAD, работающие под Windows. В августе 1995г. вышла последняя, известная на сегодняшний день, шестая 32-битная версия MATHCAD`a под Windows. Вышла  она в двух вариантах: MATHCAD 6.0 SE (Standard Edition) и версия для профессионального пользователя - MATHCAD

     PLUS 6.0.      

     При выполнении физических экспериментов  данные обычно представляются с той  или иной погрешностью, поэтому их обработка требует применения соответствующих  статистических методов, наиболее распространенные из которых предлагает Mathcad. Кроме  того, для представления физических закономерностей и при проведении научно-технических расчетов неизбежно  возникает задача приближенного  вычисления значений функций в промежутках  между узловыми точками и за их пределами. Еще одной интересной областью применения Mathcad являются финансово-экономические  расчеты. Именно подобного рода расчетам посвящена эта глава.

     Линейная  и сплайновая аппроксимации    

     Для представления физических закономерностей, а также при проведении научно-технических  расчетов часто используются функциональные зависимости вида y(x), причем число  заданных точек этих зависимостей ограничено. Нередко возникает задача приближенного  вычисления значений функций в промежутках  между узловыми точками (интерполяция) и за их пределами (экстраполяция). Эта  задача решается аппроксимацией (и  интерполяцией) исходной зависимости, то есть ее подменой какой-либо достаточно простой функцией. Система Mathcad предоставляет  возможность аппроксимации двумя  важными типами функций: кусочно-линейной и сплайновой.

     Одномерная  линейная аппроксимация    

     При кусочно-линейной интерполяции вычисления дополнительных точек выполняются  по линейной зависимости. Графически это  означает просто соединение узловых  точек отрезками прямых, для чего используется следующая функция:  
linterp(VX,VY,x)  
    Для заданных векторов абсцисс VX и ординат VY узловых точек и заданного аргумента x функция linterp возвращает значение функции при ее кусочно-линейной аппроксимации (интерполяции). При экстраполяции используются отрезки прямых, проведенных через две крайние точки.

     Одномерная  сплайновая интерполяция и аппроксимация    

     При небольшом числе узловых точек (менее 10) линейная интерполяция оказывается  довольно грубой. При ней даже первая производная функции аппроксимации  испытывает резкие скачки в узловых  точках. Для целей экстраполяции  функция linterp не предназначена и  за пределами области определения  может вести себя непредсказуемо.  
    Гораздо лучшие результаты дает сплайновая интерполяция. При ней исходная функция заменяется отрезками кубических полиномов, проходящих через три смежные узловые точки. Триады точек перемещаются по оси абсцисс, что создает набор полиномов. Коэффициенты полиномов рассчитываются так, чтобы непрерывными были первая и вторая производные. Линия, которую описывает сплайн-функция, напоминает по форме гибкую линейку, закрепленную в узловых точках.  
    Для осуществления сплайновой интерполяции система Mathcad предлагает четыре встроенные функции. Три из них служат для получения векторов вторых производных сплайн-функций при различном виде интерполяции:

• cspline(VX,VY) - возвращает вектор VS вторых производных при приближении в опорных точках к кубическому полиному;
• pspline(VX,VY) - возвращает вектор VS вторых производных при приближении в опорных точках к параболической кривой;
• lspline(VX,VY) - возвращает вектор VS вторых производных при приближении в опорных точках к прямой.

    Четвертая функция - interp(VS,VX,VY,x) - возвращает значение y(x) для  заданных векторов VS, VX, VY и заданного  значения x.  
    Таким образом, сплайн-интерполяция проводится в два этапа. На первом с помощью функции cspline, pspline или lspline отыскивается вектор вторых производных функции y(x), заданной векторами VX и VY ее значений (абсцисс и ординат). Затем на втором этапе для каждой искомой точки вычисляется значение y(x) с помощью функции interp.

     Примеры линейной и сплайновой интерполяций    

     На  рис. 8.1 показан фрагмент документа Mathcad, иллюстрирующий применение описанных  функций для линейной и сплайновой интерполяций.

       
Рис. 8.1. Линейная и сплайновая интерполяции     

     Нетрудно  заметить, что при линейной интерполяции график оказывается слишком грубым - отчетливо видны точки перегибов. В то же время сплайновая интерполяция, несмотря на малое число точек  в этом примере (их всего 6), дает прекрасные результаты: график функции оказывается  плавным и точки его перегиба вообще незаметны. Впрочем, стоит отметить, что при неудачном расположении узлов выбег сплайновой интерполяции может оказаться весьма значительным.

     Двухмерные  линейная и сплайновая интерполяции    

     Для повышения качества построения трехмерных графиков имеется возможность выполнения двухмерной сплайновой интерполяции. Это позволяет существенно повысить представительность сложных графиков функций, в том числе контурных (рис. 8.2).

       
Рис. 8.2. Пример применения двухмерной сплайновой интерполяции для построения контурного графика сложной поверхности     

     На  этом рисунке слева показан контурный  график после двухмерной сплайновой интерполяции, а справа - без нее (с применением линейной интерполяции). Следует отметить, что данный пример не работал в системе Mathcad 2000 сразу  после ее выпуска, но в Mathcad 2001 эта  недоработка устранена.