Монте-Карло  әдісінің қолдануының  принциптік математикалық  негізі - А.Н.Колмогоров формасындағы үлкен сандар заңы. Колмогоров теоремасы.

     Кездейсоқ шаманың тәуелсіз таралуының орташа арифметикалық  шамасы ықтималдылықпен  сәйкес келу үшін, осы  математикалық күтім  бар болу үшін, оның математикалық күтіміне бірлік жеткілікті және қажет.

     Сонымен, Монте-Карло әдісінің алғашқы күдіксіз жетістігі – есептеу алгоритмінің қарапайым сұлбасы.

Қарастырылған жүрісті қолдану  жолында кездесетін кейбір қиыншылықтар туралы айтатын болсақ. Бізге кез келген емес, ізделінді шаманың жеткілікті бағасы керек екенін, яғни аз бағамен қатені ескерейік. Бұл нәтижеге жету біз ойлағандай қарапайым емес.Әрине үлкен рөлді құрылған ықтималдылық моделінің адекваттылығы ойнайды. (осындай модельдер көптеген есептерде бізге анық ).

     Келесі  құрайтын маңыздылық – берілген таратумен кездейсоқ шамаларды модельдеу. Ереже бойынша бір немесе бірнеше тәуелсіз а сандарының кездейсоқ сандарының мәндері  осындай модельдеу құрылу жолымен құрылады. «Таңдалынған»  а мәндерінің құбылысы әдетте ЭЕМ-де теретикалық-сандық алгоритм көмегімен алады, олардың арасында «есеп әдісі» көптеген кең таралымды алды. Осындай сандар «псевдокездейсоқтар» деп аталады, олар статистикалық тесттермен және типтік тапсырмалардң шешімімен тексеріледі. Сонымен, кездейсоқ сандардың қолданылған генераторы саны маңызды рөлді ойнайды. Корректілі генератордың жазылуы –әр түрлі ғылыми және инженерлік математикалық кітапхананың шеңберінде табысты шешілетін қиын тапсырма, мысалы осылардың ең күштісі - Intel® Math Kernel Library (Intel® MKL).

     Есептеулердің нақтылығы жөнінде әңгімені өрбіте отырып, осы сұраққа басқаша көзқараспен қарайық. Өздеріңіз білетіндей, Монте-Карло әдісі бойынша есептеудің қателігі әдетте пропорционал, бұл жерде d – қайсыбір константа, ал N – сынақтар саны. Формуладан көріп отырғандай, 10 ретке нақтылықты жоғарылату үшін сынақтар санын 100 ретке ұлғайту керек, ал бұл дегеніміз  Монте-Карло әдісі үлкен есептеуіш ресурстарын талап етеді.

     Монте-Карло әдісін қолданудың мысалдары

     Монте-Карло  әдісінің практикалық  тапсырмаларда қолданудың кейбір мысалдарын қарастырайық. Өздеріңіз көріп отырғандай, біз атақты математикалық тапсырма туралы айтайын деп отырмыз – фигура аумағын есептеу туралы және p санын анықтау туралы айтатын боламыз. Берілген тапсырманы таңдау Монте-Карло әдісінің тиімділігі үшін ғана таңдалмайды, керісінше, ереже бойынша нәтиже жетістігінің басқа әдістері қолданылады. Өйткені біз экономикалық, физикалық, математикалық тапсырмаларды шешуде Монте-Карло әдісін қолданудың мысалдарымен бірнеше рет кездесетін боламыз. Осы тапсырмалардың әр қайсысы статистикалық сынақ тұрғысынан да, есеп қойылымын қоюда да қайсыбір дайындықты қажет етеді. Сондықтан бұл бөлімде біз иллюстративті, салыстыра келгенде қиын емес мысалдарды қарастыратын  боламыз. Сонымен, ең алдымен мүлде қарапайым мысалға тоқталсақ.

     Жазықтықтағы  фигураның аумағын  есептеу тапсырмасы 

     Аумағын табу үшін қайсыбір Ғ жазық фигурасы берілсін.

     Келесі  ұғымдарды енгізейік:

     Анықталғандық үшін осы фигура бірлік шаршының ішінде толығымен  орналасты                 делік.

1. Болжам есебімен фигураның 1 периметрі еркін орналастырылуы мүмкін.
2. Фигура байланыссыз болуы мүмкін, яғни бірнеше облыстан тұруы мүмкін.
3. Фигура аналитикалық және графикалық түрде берілуі мүмкін.

Рис. 1.1. Жазықтықтағы фигура аумағы. Монте-Карло әдісі.

     N кездейсоқ нүктесін шаршыда генерациялаймыз.(1.1.сурет). N* - қарастырылып отырған фигураның ішінде болатын нүкте саны болсын.

     Онда  N жеткілікті үлкен мағынадағы Ғ фигура аумағы былайша бағалануы мүмкін

 (1.3)

      Әрине, аумақты есептеу  тапсырмасында аумақты  табудың нақты  алгоритмі бар,  бірақ берілген мысал  Монте-Карло әдісі қолдануда оңай жағдайды демонстрациялайды.

 
 

Көпшілікке  қызмет көрсету теориясы(Кезек  теориясы)

Монте-Карло  әдісі

     Көпшілікке қызмет көрсету теориясы және статистикалық сынақ әдісі (Монте-Карло) ықтималдықтар теориясы және математикалық статистика теориясы сияқты шешімі кездейсоқ факторлармен және құбылыстармен анықталатын экономикалық тапсырмаларда қолданылады. Яғни, әр түрлі алдын ала анықталмаған мәндер секілді қабылданады.

     Көпшілікке  қызмет көрсету теориясы қызмет көрсетудегі  талаптар ағынымен байланысты процесстегі кездейсоқтықтарды  ескеруге мүмкіндік  береді.

     Монте-Карло  әдісі немесе статистикалық  сынақ  әдісі кездейсоқ  процесстерді орнатылған аналитикалық модельдердің мүмкін еместігі және қиындық жағдайы орындалғанда модельдеуге мүмкіндік береді. 

           Көпшілікке қызмет көрсету теориясы(Кезек теориясы)

     Көптеген  экономикалық  жағдайлар  сатып алушы-тұтынушы көпшілікке қызмет процесімен байланысты. Мысалы, белгілі бір шектелген уақыт аралығында дүкен тұтынушыларына қызмет көрсету қажет, қызмет көрсету сферасындағы клиенттерді, жөндеу ұмыстарына тапсырыстар қабылдау және  сол бойында жөндеу жұмыстарын  орындау қажет болады.

     Қызмет  көрсетілген объектілерді қызмет көрсетудің каналы немесе аппараты деп  атайды.Көпшілікке қызмет көрсету жүйесі каналдар арқылы жүзеге асады. Каналдар бірнеше  немесе 1 болуы мүмкін. Көпшілікке қызмет көрсету  жүйесі деп қызмет көрсететін адамның  (сатушы, шаштараз, аспаз, даяшы) автоматтық мүмкіндігін айтады. Көпшілікке қызмет көрсету жүйесінің қызмет көрсету мүмкіншілігі деп – белгілі уақыт бірлігінде орындалатын тапсырманың санын айтады.

     Егер  де кезекті тапсырыс түсуде барлық каналдар бос емес болса, қызмет көрсетуде тоқтатылу орындалады және кезекке тұру орын алады. Сондықтан көпшілікке қызмет көрсету теориясын кезек теориясы деп атайды.

     Мысал.1

     (Морз  және Кэмпбелл  тапсырмасы). Іс соғыс  кезеңінде болатын.Әскери  амалдарды зерттейтін  топ жұмысшылары аумаққа келген бірінші күннен бастап-ақ солдаттардың тамағын ішіп болғаннан кейінгі ыдыстарын жуу және шаю үшін қаншама ұзақ уақыт кезекке тұратынын көрді.Бар болғаны 4 ыдыс жуатын ыдыс қана: екеуі жуу үшін, екеуі шаю үшін. Эксперт сағат бойынша әрбір солдат орташа шамамен шаюға қарағанда жууға 3 есе  көп уақыт жұмсайтынын анықтады. Ол үлкен бастыққа ыдыс жуу тәртібін сәл өзгертуін ұсынды, содан кейін ыдыс жуғыштың алдында кезек болмайтын болды.

     Эксперт не ұсынды екен?

     Шешуі

Эксперт ыдыс жуғышты реттеуді ұсынды: үшеуінде ыдыс жууды және біреуінде  ғана шаюға кеңес береді. 

         Көпшілікке қызмет  көрсету жүйесі  өз алдына кезектің  ұзақтығы -  минималды  болатындай етіп, ал тапсырыс өту  уақыты – оптималды  болатындай етіп  қызмет   көрсетуді  ұйымдастыруды тапсырма етіп  қойды. Сонымен қатар ғимаратта, құрылғының және тұлғаның көпшілікке қызмет көрсету жүйесін  тұрудың минималды уақыты және оның максималды мүмкін жүктеуі қамтамасыз етілуі керек.

Осы аталған тапсырмаларды  шешу үшін  көпшілікке қызмет көрсету жүйесінің келесі көрсеткіштерін есептей білу керек: 

1. Кез келген уақыт  мезетіндегі барлық  каналдардың бос  болмау ықтималдығы:

     

                       (1.1)

Бұл жерде k – бос емес каналдар саны;

            n – қызмет көрсету  каналының алпы саны;

            a=                      (1.2)

           - уақыт бірлігіндегі қызмет көрестуге орташа күтілген тапсырыстар саны;

            - бір тапсырыстың орташа қызмет көрсету уақыты;

2. Бос каналдардың орташа күтілім саны:

      

                        (1.3)

Бұл жерде  - барлық каналдардың бос болмау ықтималдығы:

     

               (1.4)

3.Барлық  каналдардың бос  емес болу ықтималдығы:

     

      (1.5)

4.Бос  емес каналдардың  орташа күтілім  саны:

     

             (1.6)

5.Каналдардың  тұру коэффициенті:

     

                  (1.7)

6.Канал  жүктеуінің бөлігі:

     

                   (1.8)

7.к  каналдарының бос  болмау ықтималдығы:

     

        (1.9)

     Қорытынды

     Сонымен, біз осы рефератта  осы курсты ары  қарай қарастыру  үшін фундаментін  салып бердік.Сонымен  біз келесі негізгі  түсініктермен және фактілермен таныс болдық:

• статистикалық модельдеумен;
• статистикалық сынақ әдісімен (Монте-Карло әдісімен);
• Монте-Карло әдісінің жалпы сұлбасымен;
• статистикалық модельдеудің қолдану облысымен;
• Монте-Карло әдісінің қолдану мысалдарымен;
• көпшілікке қызмет көрсету теориясымен;
• кезектер теориясымен;
• және оның мысалдарымен таныс болдық;

Назар аударып, тыңдағандарыңызға  рахмет.

     Әдебиеттер

1. Gamerman, D. Markov Chain Monte Carlo: Stochastic Simulation for Bayesian Inference. Boca Raton, FL: CRC Press, 1997.
2. Gentle J. Random Number Generation and Monte Carlo Methods. Springer-Verlag NY, 1998.
3. Gilks, W. R.; Richardson, S.; and Spiegelhalter, D. J. (Eds.). Markov Chain Monte Carlo in Practice. Boca Raton, FL: Chapman & Hall, 1996.
4. Hoffman, P. The Man Who Loved Only Numbers: The Story of Paul Erdos and the Search for Mathematical Truth. New York: Hyperion, pp. 238-239, 1998.
5. Kuipers, L. and Niederreiter, H. Uniform Distribution of Sequences. New York: Wiley, 1974.
6. Manno, I. Introduction to the Monte Carlo Method. Budapest, Hungary: Akadémiai Kiadó, 1999.
7. Metropolis N., Ulam S. The Monte Carlo method, J. Amer. statistical assoc., 1949, 44, N247, 335-341.
8. Mikhailov, G. A. Parametric Estimates by the Monte Carlo Method. Utrecht, Netherlands: VSP, 1999.
9. Большая Советская Энциклопедия. Издание 3-е.–М., Советская энциклопедия, 1970.
10. Бусленко Н.П., Голенко Д.И., Соболь И.М., Срагович В.Г., Шреацидер Ю.А. Метод стохастических испытаний (метод Монте-Карло).–М.: ГИМФЛ, 1962.
11. Бусленко Н.П., Шрейдер Ю.А. Метод статистических испытаний Монте-Карло и его реализация в цифровых машинах.–Физматгиз, 1961.
12. Гмурман В.Е. Теория вероятности и математическая статистика.–М.: Высшая школа, 1977.
13. Ермаков С. М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы.–М., 1971.
14. Ермаков С.М., Михайлов Г.А. Статистическое моделирование. М: Наука, 1982.
15. Ермаков С.Н., Михайлов Г.А. Курс статистического моделирования.– М.:Наука, 1976.
16. Крамер Г.. Математические методы статистики. М: Мир, 1975.
17. Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло.–М.:Наука, 1973.