Моделирование динамических систем

1. Динамические системы

 

Первоначально термин динамическая система стал использоваться в механике. Под динамической системой понималась механическая система с конечным числом степеней свободы, описываемая  системой обыкновенных дифференциальных уравнений.

Со временем круг управляемых  объектов расширился и стал включать не только процессы с механическим движением, но также электрические, электромагнитные, тепловые, химические – словом, любые физические системы  произвольной природы, состояния которых  изменяются во времени. Но термин сохранился, поскольку сохранилась форма  уравнений. При этом расширились  понятия сопутствующих терминов – координатами стали называть не только геометрические координаты, но и значения всех физических показателей  состояния, движением – не только геометрическое перемещение, но любой  процесс изменения этих показателей.

В настоящее время, говоря о динамической системе, подразумевают:

систему обыкновенных дифференциальных уравнений относительно неизвестной вектор-функции времени x=x(t), предполагая, что каждое решение данной системы определено при всех t≥0 – динамическая система с непрерывным временем (поток); систему разностных уравнений, где (k=0,1,2,...) – динамическая система с дискретным временем (каскад).

При этом пространство Rn называют пространством состояний или  фазовым пространством системы. Фазовое пространство системы - это  совокупность всех допустимых состояний  динамической системы. Аргументами входных и выходных сигналов системы могут служить время, пространственные координаты, а также некоторые переменные, используемые в преобразованиях Фурье, Лапласа и других. Таким образом, динамическая система характеризуется своим начальным состоянием и законом, по которому система переходит из начального состояния в другое.

Для задания динамической системы необходимо описать её фазовое  пространство Rn, множество моментов времени T и некоторое правило, описывающее  движение точек фазового пространства со временем. Множество моментов времени T может быть как интервалом вещественной прямой (тогда говорят, что время  непрерывно), так и множеством целых  или натуральных чисел (дискретное время). Во втором случае «движение» точки  фазового пространства больше напоминает мгновенные «скачки» из одной точки  в другую: траектория такой системы  является не гладкой кривой, а просто множеством точек, и называется обычно орбитой. Тем не менее, несмотря на внешнее  различие, между системами с непрерывным  и дискретным временем имеется тесная связь: многие свойства являются общими для этих классов систем или легко  переносятся с одного на другой.

Основное содержание теории динамических систем — это исследование кривых, определяемых дифференциальными  уравнениями. Сюда входит разбиение  фазового пространства на траектории и исследование предельного поведения  этих траекторий: поиск и классификация  положений равновесия, выделение  притягивающих (аттракторы) и отталкивающих (репелеры) множеств (многообразий).

Важнейшие понятия теории динамических систем — это устойчивость (способность системы сколь угодно долго оставаться около положения  равновесия или на заданном многообразии) и грубость (сохранение свойств при  малых изменениях структуры динамической системы).

Основные свойства динамических систем:

Целостность и членимость - указывает на то, что система  должна быть делима на составные части (элементы, подсистемы), которые образуют, взаимодействуя друг с другом, единое целостное множество. При этом данное множество элементов должно быть совместимо, в смысле устойчивого  функционирования всех элементов, образующих систему, на заданном интервале времени.

Второе свойство - наличие  достаточно сильных и длительно  действующих (устойчивых, стабильных) взаимных связей (отношений) между элементами или их свойствами. Причём сила этих внутренних связей должна быть заведомо больше, чем сила внешних связей этих же элементов с другими элементами, не входящими в данную систему  и относящимся к её окружающей среде, что позволяет отличать систему  от простой суммы (набора) элементов.

Упорядоченность (организация) системы указывает на объективное  существование в ней упорядоченного (по определённым правилам и законам) распределения элементов и связей между ними в пространстве и времени.

Наличие интегративных качеств  подразумевает, что в системе  достигается такое качество (свойство), которое присуще системе в  целом и не имеется ни у одного из её элементов в отдельности: свойство системы не определяется простой  суммой свойств её отдельных элементов  и связей между ними.

Любая система имеет цель функционирования. Под целью здесь понимается либо желаемое конечное состояние, либо желаемый конечный результат функционирования (движения, управления) системы, достижимый в пределах некоторого интервала времени.

Последнее свойство - достижение цели наилучшим образом с точки зрения экономии ресурсов, быстродействия или качества.

Динамические системы, также  как и другие объекты, модели и  т.д., можно классифицировать по различным  признакам. В данном случае классификация  динамических систем будет осуществляться в зависимости от идеализации, принятой при их математическом описании. Динамические системы по этому признаку подразделяются на следующие классы.

Линейные и нелинейные системы. Предположим, что при воздействии  на вход системы каждого из сигналов u1(t), u2(t), …, um(t) отдельно, выходные сигналы системы соответственно равны y1(t), y2(t), …, ym(t). Пусть yi(t)=F{ui(t)}, i∈ F{...}– некоторый оператор преобразования.

Линейной системой называется система, для которой выполняется  принцип суперпозиции:

при воздействии на вход суммы сигналов, выходной сигнал является суммой реакций системы на каждый из входных сигналов отдельно;

изменение амплитуды входного сигнала в несколько раз приводит к такому же изменению амплитуды  выходного сигнала.

Аналитически эти условия  можно выразить следующим образом:

 

F = =

 

где ci – произвольные константы, F – некоторый оператор преобразования.

Динамическая система  называется нелинейной динамической системой (или просто нелинейной системой), если векторное дифференциальное уравнение для состояний системы x(t) есть нелинейное дифференциальное уравнение или если выходная реакция y(t) есть нелинейная функция от переменных величин x(t) и u(t), то есть принцип суперпозиции не выполняется.

Реальные системы практически  всегда нелинейны. Это связано с  обилием факторов, которые влияют на них; и среди них всегда найдутся те, при влиянии которых не будет  выполняться принцип суперпозиции. В определенных условиях (учет небольшого числа выбранных факторов, рассмотрение процессов в некоторой малой  окрестности выбранных точек  и ряд других) реальные системы  могут рассматриваться как линейные системы. В этих случаях линейная модель будет описывать все наиболее существенные качественные и количественные характеристики рассматриваемой системы, и модель будет существенно более  простой и удобной для исследований.

Стационарные и нестационарные системы. Стационарной системой называется система, параметры которой неизменны  во времени.

Для стационарных систем характерно то, что сдвиг во времени входного сигнала приводит к такому же сдвигу во времени выходного сигнала.

 

F{u (t – t0)} = y(t – t0) 

 

Форма выходного сигнала  при этом не изменяется. Иначе говоря, система инвариантна к сдвигу во времени входного сигнала.

Нестационарной системой называется система, параметры которой  зависят от времени. В нестационарных системах вышеприведенное условие (4) не выполняется.

Примером стационарной системы  является, космический аппарат, находящийся на круговой орбите вокруг Земли, или космическая ракета на этапе взлета, когда интенсивно расходуется топливо.

Аналоговые дискретные системы. Аналоговой (непрерывной) системой называется система, в которой циркулируют  непрерывные во времени информационные сигналы.

Дискретной системой называется система, в которой на всех или  на некоторых участках системы используются дискретные во времени информационные сигналы.

Аналоговый сигнал является непрерывной функцией времени. Цифровой сигнал может принимать лишь определенное число дискретных значений в дискретные моменты времени.

Примером аналоговой системы является автомобиль, движущийся по дороге, если учитывать только координаты его местоположения. Примером дискретной системы является любой компьютер.

 

 

 

 

2. Компьютерное моделирование динамических систем

 

В настоящее время компьютерная промышленность предлагает инженеру целый  ряд разнообразных средств моделирования, позволяющих не только моделировать сложные динамические системы, но и  проводить с ними эксперименты. Наиболее полное исследование общесистемных  проблем получается в результате моделирования объектов с помощью  современных технологий, реализованных  в специализированных вычислительных пакетах или пакетах визуального  моделирования.

Пакетов визуального моделирования  так же существует великое множество. В них пользователю предоставляется возможность описывать моделируемую систему преимущественно в визуальной форме, например, графически представляя как структуру системы, так и ее поведение (например, при помощи карты состояний). Такой подход позволяет пользователю не заботится о реальной программной реализации модели, что значительно упрощает процесс моделирования. Результаты эксперимента в пакетах визуального моделирования предоставляются в более наглядной для человека форме: в виде графиков, гистограмм или схем с применением анимации. Также в той или иной мере поддерживается технология объектно-ориентированного моделирования, что позволяет повторно использовать экземпляры моделей с возможностью внесения в них тех или иных корректив.

Из множества существующих на сегодняшний день пакетов визуального  моделирования особый интерес вызывают универсальные пакеты, не ориентированные  на определенную узкоспециальную область (физика, химия, электроника и т.д.) или определенные типы моделей (чисто дискретные или чисто непрерывные), а позволяющие моделировать принадлежащие различным прикладным областям структурно-сложные гибридные системы.

Несмотря на то, что современные  универсальные пакеты визуального  моделирования обладают рядом общих  свойств (позволяют строить из блоков иерархические функциональные схемы, предоставляют пользователю схожие библиотеки численных методов, средства визуализации поведения и наборы анимационных возможностей, поддерживают технологию объектно-ориентированного моделирования), все же можно их разделить  на три основные группы (схема 2):

пакеты, использующие язык блочного моделирования;

пакеты, использующие язык физического  моделирования;

пакеты, ориентированные  на использование схемы

гибридного автомата.

 

Схема 2.

 

Пакеты, принадлежащие к  первой группе (языки блочного моделирования), используют графический язык иерархических  блок-схем. Блок высшего уровня иерархии собирается из некоторого набора стандартных  блоков (созданных ранее разработчиками пакета, либо написанных самим пользователем), соединяемых однонаправленными  функциональными связями. Собранную функциональную схему можно использовать как блок на следующем уровне иерархии и можно запомнить в библиотеке блоков. В число стандартных блоков входят блоки с чисто непрерывным, чисто дискретным и гибридным поведением.

К достоинствам этого подхода  следует отнести, прежде всего, чрезвычайную простоту создания не очень сложных  моделей даже не слишком подготовленным пользователем. В то же время при  создании сложных моделей приходится строить довольно громоздкие многоуровневые блок-схемы, не отражающие естественной структуры моделируемой системы, что  осложняет процесс моделирования.

Наиболее известными представителями  первой группы являются:

подсистема Simulink пакета MATLAB;

пакет EASY5;

подсистема SystemBuild пакета MATRIXx ;

VisSim.

Пакеты, принадлежащие к  группе физических языков, позволяют  при создании модели использовать неориентированные  и потоковые связи. Пользователь может сам определять новые классы блоков. Непрерывная составляющая поведения  элементарного блока задается системой алгебро-дифференциальных уравнений  и формул. Дискретная составляющая задается описанием дискретных событий (события задаются логическим условием или являются периодическими), при  возникновении которых могут  выполняться мгновенные присваивания переменным новых значений. Дискретные события могут распространяться по специальным связям. Изменение  структуры уравнений возможно только косвенно через коэффициенты в правых частях (это обусловлено необходимостью символьных преобразований при переходе к эквивалентной системе).Подход очень удобен и естественен для  описания типовых блоков физических систем. Недостатками являются необходимость  символьных преобразований, что резко  сужает возможности описания гибридного поведения, а также необходимость численного решения большого числа алгебраических уравнений, что значительно усложняет задачу автоматического получения достоверного решения.