Математикалық логиканың негізгі функциялары

Жоспар

•   Математикалық логиканың негізгі функциялары: Коньюнкция, дизьюнкция, инверсия
• Логикалық – функцияларының кестесінің мәндері
• ЦЭМ және АЭМ негізгі элементтері

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 Математикалық  логиканың негізгі функциялары

        ЦЕМ  қарапайым амалдарды орындайтын бөлек элементтерден құралады. Элемент – ол әдетте электрондық схема. ЦЕМ-нің барлық элементтерін атқаратын қызметтеріне байланысты топтарға бөлуге болады: логикалық, есте сақтаушы, күшейтетін және арнайы элементтер.

        Логикалық элементтерден, арифметикалық және басқа амалдарды қамтамасыз ететін амалдар схемасын құрайды. «Логикалық элемент» деп аталу себебі, жеке дара элементтің анықталған байланысты жүзеге асыруына  мүмкіншілік беруінде немесе жеке логикалық функцияларды орындауында.

        Кейбір аса маңызды функцияларды және оларды іске асыратын логикалық элементтерді қарастырайық.

        Логикалық функция «ЖӘНЕ»

       Коньюнкция  (бірігу) – «ЖӘНЕ» логикалдық функциясы. Екі (немесе одан да көп) пікірлер бір күрделі пікір болып бірігуі мүмкін. Ақиқат болатын, екі пікірдің коньюнкциясын күрделі пікір дейміз, егер құрамдас екі пікірде ақиқат болса, және жалған егер құрамдас пікірдің ең болмаса біреуі жалған болса.

       Күрделі пікір: «Ол оған келді, және олар болашақ туралы әңгімелесті» тек сонда ғана ақиқат, егер құрамдас пікірлердің екеуі де ақиқат болса: 1- ол оған келді және 2- олар болашақ туралы әңгімелесті. Пікірлердің ең болмағанда біреуі жалған болған жағдайда, күрделі пікірде жалған болады. Коньюнкцияны «ЖӘНЕ» логикалық функциясы деп атайды. Жоғарыда көрсетілген мысал «ЖӘНЕ» шылауының атқаратын міндетін көрсетеді.

        Ақиқат пікірді (1) бірмен,  ал  жалған пікірді нольмен (0) белгілейік. Екі пікірдің конюнкциясын «&»  немесе «^» таңбаларымен белгілейік. Екі пікірдің коньюнкциясын логикалық көбейту ережесімен жазуға (табуға) болады:

        0*0=0 (екі пікірде жалған және  күрделі пікірде жалған);

        0*0=0 (бірінші пікір жалған, екінші – жалған, күрделі пікір жалған);

        1*0=0 (бірінші пікір ақиқат, екінші-жалған, күрделі пікір жалған);

        1*1=1 (екі пікірде ақиқат және күрделі  пікірде ақиқат).

        Техника  жүзінде, коньюнкция коньюнктор  деп аталатын құрылғысымен іске  асырылуы мүмкін. Коньюнктордың  қарапайым моделі болып, бірнеше  электрлік кілттердің (k₁,k₂) 6-суреттегі тізбектеліп қосылуы табылады. Бұл жағдайда қарапайым ақиқат пікірге кілттің тұйықталуы, ал ақиқат күрделі пікірге – Л жанып тұрған электр шамы сәйкес келеді.

        Логикалық элемент  – коньюнкторды – жартылай  өткізгішті диоттарда жүзеге асыруға болады. 7-суретте үш қарапайым пікірге есептелген жартылай өткізгіштік схема көрсетілген. Ақиқат пікірге үлкен потенциал сәйкес келеді, ал жалған пікірге – кіші потенциал сәйкес келеді. Е нүктесіне потенциал қосылған; егер барлық диодтарға осындай потенциал қосылса (А,В және С нүктелері), онда тізбекте ток болмайды және Д нүктесінің потенциалы Е нүктесіндегідей, яғни үлкен болады. Бұл күрделі пікірдің ақиқат болуына сәйкес келеді. Егер, ең болмағанда бір диотқа аз потенциал қосылса (жалған пікір), онда диод арқылы ток өтеді, ол R резисторы арқылы өтеді. Сөйтіп, Д нүктесінің потенциалы азайып қалады. Бұл күрделі пікірдің жалған болуына сәйкес келеді. Коньюнктордың шартты бейнеленуі 8-суретте көрсетілген.                                           Е

           K_{1                                                                           R}   

                                   A                                д                  А

                    Л            В                                                    В                         Д

          K₂                                                                                                                     С       

     6-сурет.                 С                            7-сурет                         8-сурет                                         

          Логикалық функция «НЕМЕСЕ».

Дизьюнкция (бөлу) – «НЕМЕСЕ» логикалық функциясы. Егер ең болмағанда оны құрайтын пікірлердің біреуі ақиқат болған жағдайда ақиқат болатын және егер күрделі пікірді құрайтын пікірлердің екеуі де жалған болған жағдайда жалған болатын күрделі пікірді дизьюнкция деп атаймыз. Дизьюнкция «+» таңбаларымен белгіленеді, ол немесе деп оқылады. Екі пікірдің дизьюнкциясы логикалық қосу ережесі болып жазылады:

     0+0=0 (екі пікірде  жалған, және күрделі пікірде  жалған);

     0+1=1 (бір пікір  жалған, екіншісі-ақиқат, күрделі пікір  ақиқат);

     1+0=1 (бір пікір  ақиқат, екіншісі-жалған, күрделі пікір  ақиқат);

     1+1=1 (бір пікір  ақиқат және күрделі пікірде ақиқат)

       Техника жүзінде, дизьюнкция дизьюнктор деп аталатын құрылғымен іске асырылуы мүмкін. Дизьюнктордың қарапайым моделі болып бірнеше электр кілттерінің (k₁,k₂,k₃) (9-сурет) паралель қосылуы болып табылады. Бұл жағдайда ақиқат қарапайым пікірге кілттің тұйықталған күйі, ал күрделі ақиқат пікірге – Л жанып тұрған электр шамы сәйкес келеді. Көрініп тұрғандай, бір тұйық кілт болғанның өзінде де, шам жанып тұрады.

        Логикалық элемент – дизьюнкторды жартылай өткізгіштік диодтарда іске асыруға болады. Үш қарапайым пікірге есептелген схема 10-суретте бейнеленген.

        А,В және  С нүктелердің ең болмағанда  біреуіне үлкен потенциал берілсе,  онда сәйкестелетін диод арқылы  ток өтеді, резисторға кернеу  түседі де, Д нүктесінің потенциалы Е нүктесіне қарағанда үлкейеді (нольге қарағанда). Бұл күрделі пікірдің ақиқат болуына сәйкес келеді. Егер барлық қарапайым пікірлер жалған болса, онда диодта Д нүктесіндегідей аз потенциал болады. Ток болмай, Д нүктесінде потенциал төмен болса, ол күрделі пікірдің жалған болуына сәйкес келеді. Дизьюнктордың шартты бейнеленуі 11-суретте көрсетілген. көрсетілген.                                          

                                                                                                                                                                                                                                                                            

                                   A                                                    А

                     л            В                                                    В                         Д

                                                                                          _Д                                        С       

     9-сурет.                 С                         R                               11-сурет       

                                                                Е

                                    11-сурет

         Логикалық функция «ЕМЕС»

         Бұл байланыс, қандай да бір пікірге лайықты, ақиқатты жоққа шығаруды білдіреді. Символдық ЕМЕС логикалық функцясы символ үстінен сызықшамен белгіленеді: А («А емес» деп оқылады). Егер А ақиқат (А=1), мысалы «Науқас ангинамен ауырады», онда А-жалған (А=0): «Науқас ангинамен ауырмайды». Егер А жалған (А=0),онда А ақиқат.

         Логикалық  элемент, ЕМЕС логикалық функциясын  іске асыратын құрылғы инвертор  деп аталады.

 

         Қазіргі ЦЕМ-дың логикалық элементтері  интегралдық схемаларда жасалады  немесе үлкен интегалдық схемаларда. Интегралдық технологияның дамуы  жоғарыда көрсетілген схемаларға  қарағанда, едәуір күрделі логикалық  схемаларды құрастыруға мүмкіндік  береді.

         Логикалық функциялардың кестесінің мәндері

        Логикалық өрнектің нәтижесі ақиқат (True) немесе жалған (False) болады. Логикалық өрнек логикалық тұрақты, логикалық айнымалы, логикалық функциялардан, қатынас және логикалық амалдардан, жақшалардан құралады.

        Қатынас амалдары (= , < > ,< , > , <= , >=) екі арифметикалық өрнектің  нәтижелерін салыстырып, ақиқат  немесе жалған екендігін анықтайды.  Мысалы: 14<11+3- ақиқат, себебі алдымен  арифметикалық өрнектер есептелініп,  сонан соң нәтиже салыстырылады. Салыстырылатын шамалар файлдық типтен басқа кез келген типте болады.

        Логикалық амалдарға қатысты шамалардың типі логикалық болуы қажет. Берілген кестеде  Паскальда қолданылатын логикалық амалдар көрсетілген.

        Амалдардың орындалу басымдылығы: not, and, or

        Паскальда логикалық логикалық  амалдар қатынас амалдарынан  бұрын орындалады. Мысалы, А<10 and B<100 өрнегінде алдымен «10 and B» амалы  орындалуы керек, логикалық амал  логикалық типті шамалармен орындалатын  болғандықтан, бұл жерде қателік туады, сондықтан амалдардың орындалу ретін жақшамен көрсеткен жөн, яғни былай жазған дұрыс: ( A<10) and (B<100). Математикада жиі кездесетін қос теңсіздікпен берілген өрнекті жақша мен логикалық and амалы көмегімен логикалық өрнек түрінде: мысалы, 1<=x<=50 былайша (1<=x) and (x<=50) түрінде жазылады.

         Программалау тілдерінде логикалық  өрнектер шартты операторлардың  жұмысын ұйымдастыруда пайдаланылады.

                                  Логикалық амалдар

                

Амал	Мысал	А-ның мәні	В-ның мәні	Нәтиже	Амалдың аты
Not	Not A	True False		False True	Логикалық «ЕМЕС»
And	A and B	True True False False	True False True False	True False False False	Логикалық «ЖӘНЕ»
Or	A and B	True True False False	True False True False	True True True False	Логикалық «НЕМЕСЕ»

 

АЕМ және ЦЕМ негізгі элементтері

     Электрондық есептеу машиналары берілген программа бойынша есептеу амалдарын орындауға арналған құрылғы. Қазіргі уақыттағы электрондық есептеуіш машиналар – өзінің жаңа технологиялық жетілгендігімен және әртүрлі физикалық жұмыс жасау принциптерімен таң қалдыратын, құрылғылардың күрделі кешені.

       Есептеуіш машиналар ақпараттың  берілу тәсілдеріне байланысты  екі үлкен топқа бөлінеді: үздіксіз  орындайтын есептеуіш машиналар,  немесе аналогтық есептеуіш машиналар (АЕМ), және дискретті орындайтын есептеуіш машиналар, немесе цифрлық есептеуіш машиналар (ЦЕМ). АЕМ-де кіру, шығу және аралық шамалар токтар немесе кернеулер түрінде беріледі, олардың мәндері белгілі бір масштабтағы сандарға сәйкес келеді. АЕМ-де сандармен орындалатын математикалық амалдар, электр токтарының немесе кернеулердің әртүрлі түрленуімен алмастырылады.

        Электр кернеулерін  пайдаланып, математикалық амалдарды  қалай орындауға болатынын қарапайым  мысалмен көрсетейік. Егер R₁ резисторына (3-сурет) U₁ кернеуін, ал R₂-ге U₂кернеуін қоссақ, онда осы резисторлардағы кернеулерді өлшей отырып, табамыз: U_шығ=U₁+U₂

                            _{R1                                           R2}

                                                   _U      

            Cөйтіп, жай электр тізбегінің көмегімен (резисторлардың тізбектеле қосылуы) қосу, азайту және т.б. математикалық амалдарды орындауға болады. АЕМ негізгі шешуші блоктардан, олардың атқаратын қызметтерін, осы блоктардың құрылғыларына тоқтамай, схемалық бейнесін көрсетіп, атап өтейік.

         Сызықтық шешуші блоктар

1.Масштабтық күшейткіш U_кір кіру      сигналының тұрақты k                        коэффициенттеріне көбейтуін орындайды.                                                                                                                       U_шығ =-kU_k     

    k-масштабтық күшейткіштің  тасымалдау коэффициенті

   k=1 болғанда масштабтық күшейткіш инвентарь деп аталады, ол кіру шамасының тек таңбасының өзгеруін орындайды.                                    

          U_к     k                   U_шығ 

 

                  k₁