Математическое моделирование ОиЭС

 

 

 

 

Контрольная работа

 

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ  МОДЕЛИРОВАНИЕ ОиЭС

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Суть математического моделирования систем. Примеры математических моделей систем.

Время функционирования системы разделяется на достаточно большое количество подинтервалов (единиц времени, в течение которых не может возникнуть более одной заявки или завершиться выполнение более одной заявки). Для каждого такого подинтервала последовательно моделируется факт появления новой заявки (да/нет), проверяется наличие свободного канала (закончено ли обслуживание какой-то заявки) и загрузка его заявкой из очереди, проверяется наличие мест в очереди с последующим выводом (принять в очередь/отказать в обслуживании) и т.д. При этом фиксируется число отказов, время ожидания заявок в очереди и в системе вообще, число заявок в очереди в каждый момент и другие значения, которые позволяют найти вероятность отказа, распределение времени ожидания и среднее время, вероятность простоя каналов и т.п. Для надежности выводов такое разовое моделирование повторяется достаточно много раз.

Очевидно, что ни о  каком ручном моделировании не может  быть речи (объем работы здесь слишком  велик для нормального индивида). Здесь приходится использовать компьютер  с встроенным или программным  датчиком псевдослучайных чисел  с равномерным законом распределения в интервале от 0 до 1. Псевдослучайные числа получаются по какому-то алгоритму, но в совокупности подчиняются всем законам проверки на случайность (мы не останавливаемся на методах их получения, так как есть отличные программные датчики во всех системах программирования).

В процессе моделирования  возникает необходимость генерации  случайных чисел с законом  распределения, отличным от вышеуказанного.

Пусть R - случайные числа  с равномерным законом распределения  в [0,1] и X - создаваемые случайные числа с плотностью распределения p(X). Между ними можно установить соотношение

Так для показательного распределения p(X)=lexp(-lx) для X>0 легко установить, что X= -ln(1-R)/l. Для равномерного распределения в [a,b] c очевидностью X=a+(b-a)R. Получение дискретных случайных чисел сводится к поиску наименьшего значения X, при котором

Если взятие интеграла  и представление X через R составит затруднение, можно воспользоваться методом  Неймана. Здесь при неограниченности области значений X усекаем ее до некоторого интервала [a,b]; например для  нормального распределения концы интервала берем отстоящими от среднего на 3-4 стандартных отклонения. Затем генерируется пара случайных чисел R₁ и R₂; если   то берем X=a+(b-a)R₂ и в противном случае берем следующую пару случайных чисел.

Таким путем мы можем  моделировать интервалы времени  между заявками входного потока, продолжительность  обслуживания заявки, вероятность выхода канала из строя и т.п.

Вопрос о числе N отдельных реализаций системы решается на основе закона больших чисел [30] и вывода о том, что погрешность оценок имеет порядок 

Cуществуют многочисленные  примеры успешного моделирования вполне реальных СМО.

Описанный подход к поиску характеристик сложной системы  называют методом статистических испытаний (методом Монте-Карло), который обычно используют там, где другие методы терпят фиаско (моделирование сложных систем, вычисление интегралов кратности 10 и выше, поиск экстремумов функций с очень большим числом переменных и др.). Примерами систем массового обслуживания могут служить:

1.  посты технического  обслуживания автомобилей; 

2.  посты ремонта  автомобилей;

3. персональные компьютеры,  обслуживающие поступающие заявки  или требования на решение тех или иных задач;

4.  станции технического  обслуживания автомобилей; 

5.  аудиторские фирмы; 

6. отделы налоговых инспекций,  занимающиеся приемкой и проверкой текущей отчетности предприятий;

7.  телефонные станции  и т. д. 

Основными компонентами системы массового обслуживания любого вида являются:

- входной поток поступающих требований или заявок на обслуживание;

-   дисциплина очереди; 

-   механизм обслуживания.

2. Определить верхнюю и нижнюю цену игры и наличие седловой точки.

1	0	10	7	0
2	3	8	3	3
9	3	3	7	3

 

                                           3x5

Определение 1.   Матрица,   составленная   из   величин   , , ,

 называется платежной матрицей, или матрицей игры.

Каждый элемент платежной матрицы , ,   равен выигрышу А (проигрышу В), если он выбрал стратегию , , а игрок В выбирал стратегию , .

Задача каждого из игроков —  найти наилучшую стратегию игры, при этом предполагается, что противники одинаково разумны, и каждый из них делает все, чтобы получить наибольший доход.

Найдем наилучшую стратегию  первого игрока. Если игрок А выбрал стратегию  , , то в худшем случае (например, если его ход известен В) он получит выигрыш . Предвидя такую возможность, игрок А должен выбрать такую стратегию, чтобы максимизировать свой минимальный выигрыш:                  

Определение 2. Величина - гарантированный выигрыш игрока А называется нижней ценой игры. Стратегия обеспечивающая получение выигрыша , называется максиминной.

                                   

Определение 3. Величина - гарантированный проигрыш игрока В называется верхней ценой игры. Стратегия , обеспечивающая получение проигрыша Д называется минимаксной.

Фактический выигрыш  игрока А (проигрыш игрока В) при разумных действиях партнеров ограничен  верхней и нижней ценой игры. Для  матричной игры справедливо неравенство 

Определение 4. Если , т.е.

то выигрыш игрока А (проигрыш игрока В) определяется числом v. Оно называется ценой игры.

Определение 5. Если , то такая игра называется игрой с седловой точкой, элемент матрицы , соответствующий паре оптимальных стратегий называется седловой точкой матрицы. Этот элемент является ценой игры.

Таким образом, получаем:

 нижняя цена игры

 верхняя цена игры

Следовательно, , т.е. матрица игры имеет седловую точку.

 

3. Задача 1. При изготовлении изделий И1 и И2 используются токарные и фрезерные станки, сталь и цветные металлы. По технологическим нормам на производство единицы изделия И1 требуется токарного и фрезерного оборудования соответственно 300 и 200 станко-часов, 40 кг стали и 20 кг цветных металлов. Для производства единицы изделия И2 требуется 400, 100, 70 и 50 соответствующих единиц тех же ресурсов. Цех располагает 12400 и 4400 станко-часами оборудования, 980 и 640 кг материалов. Прибыль от реализации единицы изделия И1 составляет 600 д.е., изделия И2 - 850 д.е.

Составить план выпуска  изделий, обеспечивающий максимальную прибыль.

Решение:

Составим модель задачи.

Введем обозначения:

х₁– количество изделий И1;

х₂– количество изделий И2;

Целевая функция  имеет вид:

f(x) = 600x₁ + 850x₂ → max

Выведем систему  ограничений:

300x₁ + 400x₂ ≤ 12400;

200x₁ + 100x₂ ≤ 4400;

40x₁ + 70x₂ ≤ 980;

20x₁ + 50x₂ ≤ 640;

 

Преобразуем полученные неравенства к виду:

.

-300x₁ - 400x₂ ≥ -12400;

-200x₁ - 100x₂ ≥ -4400;

-40x₁ - 70x₂ ≥ -980;

-20x₁ - 50x₂ ≥ -640;

 

Решаем задачу в Mathcad. 

Зададим целевую  функцию:

F(x) = 600x₀ + 850x₁ (т.к. в пакете Machсad индексация начинается с 0).

Зададим матрицу  коэффициентов системы ограничений  и вектор свободных членов :

                      

                

 

Задаем начальные  значения:

С помощью оператора Given и встроенной функции Maximize находим значения ограничений:

Given

A · x ≥ v

x ≥ 0

  

F(x) = 14300

Ответ: Таким образом, оптимальный план выпуска изделий  И1 х₁ =21 шт; и И2 х₂ = 2 шт. обеспечивающий максимальную прибыль, которая равна 14300 д.е.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Задача 2. Решить графически задачу линейного программирования

L = 2x₁ + 3x₂®min 
x₁ +  x₂  £  4 
3x₁ +  x₂  ³  4 
x₁ + 5x₂  ³  4 
0  £  x₁  £  3 
0  £ x₂  £  3

 

                            

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом минимальное  значение целевой функции достигается  в т. (1.14;0.57), следовательно L (1.14;0.57) = 3.99 оптимальное решение задачи.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  5.  Задача 3. Почтовое отделение имеет два обслуживающих окна и 4 кресла для ожидания. Клиенты прибывают на почтовое отделение с интенсивностью λ = 30 клиентов в час. Время обслуживания одного клиента минут. Дайте классификацию этой системы массового обслуживания. Найти все возможные ее функциональные характеристики. Сделайте выводы и дайте рекомендации.

Решение:

Для данной задачи

Определяем вероятность простоя по формуле:

Вероятность отказа в обслуживании определим по формуле:

Относительная пропускная способность, т.е. вероятность обслуживания:

Абсолютная пропускная способность (среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени):

Среднее число  занятых обслуживанием каналов:

Среднее число  заявок в очереди (средняя длина очереди)

 

Среднее время  ожидания обслуживания в очереди

 ч.

Среднее число  заявок в системе

.

Среднее время  пребывания заявки в системе

 ч.

 

Вывод:  Данная система массового обслуживания  является системой с ожиданием и ограниченной длиной  очереди, в которых время ожидания ограниченно какими – либо условиями или существуют ограничения  на число заявок, стоящих в очереди.

Из расчетов, приведенных  в таблице видно, что данная система будет работать более эффективно при n равное 3.

N –канальная СМО	P0 – вероятность простоя	Ротк  – вероятность отказа	L- среднее число заявок в очереди	t – среднее время ожидания	М- среднее число заявок в системе	Т- среднее время пребыв. заявки в  системе
1	0,006169	0,602	3,364	0,112	4,358	0,145
2	0,034	0,262	0,238	0,007942	2,084	0,069
3	0,063	0,079	0,00568	0,0001893	2,309	0,077
4	0,076	0,019	0,004199	0,00014	2,457	0,082

 

 

Дополнительное задание.

Построение модели типа «черный ящик» для исследуемой системы.

Описание организации: компания «E’llips» работает с 1991 года. Сейчас уже нет сомнений, где купить косметику в Томске по доступным ценам и отличного качества. «E’llips» является первопроходцем среди компаний, предлагающих купить парфюмерию в Томске т.к. первые открыли магазин, с косметикой и парфюмерией в открытом доступе.

При формировании ассортимента, представленного  в пространстве 20 магазинов, делается ставка на три важных момента в своей работе: действенность, доступность и качество.

Вектор выходов: компания является официальным представителем таких марок, как  L'oreal, Garnier, Lumene,  Nivea, Schwarzkopf, Maybelline и др. В магазинах сети вы найдете самый полный ассортимент указанных фирм.