Машина Тьюринга

2.1 Сложность проблем 

     Теория  сложности также классифицирует и сложность самих проблем, а  не только сложность конкретных алгоритмов решения проблемы. Теория рассматривает  минимальное время и объем  памяти, необходимые для решения  самого трудного варианта проблемы на теоретическом компьютере, известном  как машина Тьюринга. Машина Тьюринга представляет собой конечный автомат  с бесконечной лентой памяти для  чтения записи и является реалистичной моделью вычислений.

     Проблемы, которые можно решить с помощью  алгоритмов с полиномиальным временем, называются решаемыми, потому что для  разумных входных данных обычно могут  быть решены за разумное время. (Точное определение "разумности" зависит  от конкретных обстоятельств) Проблемы, которые невозможно решить за полиномиальное время, называются нерешаемыми, потому что вычисление их решений быстро становится невозможным. Нерешаемые проблемы иногда называют трудными. Проблемы, которые  могут быть решены только с помощью  суперполиномиальных алгоритмов, вычислительно  нерешаемы, даже при относительно малых  значениях n.

     Что еще хуже, Алан Тьюринг доказал, что  некоторые проблемы принципиально  неразрешимы. Даже отвлекаясь от временной  сложности алгоритма, невозможно создать  алгоритм решения этих проблем.

     Задачи  можно разбить на классы в соответствии со сложностью их решения. Вот важнейшие  из них и предполагаемые соотношения  между ними:

     P<=NP<=EXPTIME

     Находящийся слева класс P включает все задачи, которые можно решить за полиномиальное время. В класс NP входят все задачи, которые можно решить за полиномиальное время только на недетерминированной  машине Тьюринга (это вариант обычной  машины Тьюринга, которая может делать предположения). Такая машина предполагает решение задачи – либо “удачно  угадывая”, либо перебирая все предположения  параллельно – и проверяет  свое предположение за полиномиальное время.

     Класс NP включает в себя класс P, поскольку  любую задачу, решаемую за полиномиальное время на детерминированной (обычной) машине Тьюринга, можно решить и  на недетерминированной за полиномиальное время, просто этап предположения опускается.

     Если  все задачи класса NP решаются за полиномиальное время и на детерминированной  машине, то P=NP. Тем не менее, никем  не доказано, что P<>NP (или P=NP). Однако, большинство специалистов, занимающихся теорией сложности, убеждены, что  это классы неравны.

     Как ни странно, можно доказать, что некоторые NP-задачи настолько же трудны, что  и любая задача этого класса. Такие  задачи называются NP-полными. То есть, если такая задача решается за полиномиальное время, то P=NP.

     Таким образом, для программиста NP-полнота  означает полный перебор, причем сложность  этого перебора будет экспоненциальной или факториальной. Но следует понимать, что не всякий полный перебор имеет  такую сложность. Например, если решать задачи из предыдущего выпуска полным перебором, то сложность полученных алгоритмов будет полиномиальной - O(n2) для задачи про подпоследовательности и O(n6) для задачи про подматрицы.

     Наконец, существует класс задач EXPTIME. Эти  задачи решаются за экспоненциальное время. В настоящее время можно  доказать, что EXPTIME-полные задачи невозможно решить за детерминированное полиномиальное время. Кроме того, доказано, что P<>EXPTIME.  

 

3. Машина  Тьюринга и алгоритмически  неразрешимые проблемы 

     За  время своего существования человечество придумало множество алгоритмов для решения разнообразных практических и научных проблем. Зададимся  вопросом – а существуют ли какие-нибудь проблемы, для которых невозможно придумать алгоритмы их решения?

     Утверждение о существовании алгоритмически неразрешимых проблем является весьма сильным – мы констатируем, что  мы не только сейчас на знаем соответствующего алгоритма, но мы не можем принципиально  никогда его найти.

     Успехи  математики к концу XIX века привели  к формированию мнения, которое выразил  Д. Гильберт – "в математике не может  быть неразрешимых проблем", в связи  с этим формулировка проблем Гильбертом на конгрессе 1900 года в Париже была руководством к действию, констатацией отсутствия решений в данный момент.

     Первой  фундаментальной теоретической  работой, связанной с доказательством  алгоритмической неразрешимости, была работа Курта Гёделя – его известная  теорема о неполноте символических  логик. Это была строго формулированная  математическая проблема, для которой  не существует решающего ее алгоритма. Усилиями различных исследователей список алгоритмически неразрешимых проблем  был значительно расширен. Сегодня  принято при доказательстве алгоритмической  неразрешимости некоторой задачи сводить  ее к ставшей классической задаче – "задаче останова".

     Имеет место быть следующая теорема: не существует алгоритма (машины Тьюринга), позволяющего по описанию произвольного  алгоритма и его исходных данных (и алгоритм и данные заданы символами на ленте машины Тьюринга) определить, останавливается ли этот алгоритм на этих данных или работает бесконечно.

     Таким образом, фундаментально алгоритмическая  неразрешимость связана с бесконечностью выполняемых алгоритмом действий, т.е. невозможностью предсказать, что для  любых исходных данных решение будет  получено за конечное количество шагов.

     Тем не менее, можно попытаться сформулировать причины, ведущие к алгоритмической  неразрешимости, эти причины достаточно условны, так как все они сводимы  к проблеме останова, однако такой  подход позволяет более глубоко  понять природу алгоритмической  неразрешимости:

     а) Отсутствие общего метода решения задачи

     Проблема 1: Распределение девяток в записи числа;

     Определим функцию f(n) = i, где n – количество девяток  подряд в десятичной записи числа, а i – номер самой левой девятки  из n девяток подряд: =3,141592… f(1) = 5.

     Задача  состоит в вычислении функции f(n) для произвольно заданного n.

     Поскольку число является иррациональным и  трансцендентным, то мы не знаем никакой  информации о распределении девяток (равно как и любых других цифр) в десятичной записи числа. Вычисление f(n) связано с вычислением последующих  цифр в разложении, до тех пор, пока мы не обнаружим n девяток подряд, однако у нас нет общего метода вычисления f(n), поэтому для некоторых n вычисления могут продолжаться бесконечно –  мы даже не знаем в принципе (по природе  числа) существует ли решение для  всех n.

     Проблема 2: Вычисление совершенных чисел;

     Совершенные числа – это числа, которые  равны сумме своих делителей, например: 28 = 1+2+4+7+14.

     Определим функцию S(n) = n-ое по счёту совершенное  число и поставим задачу вычисления S(n) по произвольно заданному n. Нет  общего метода вычисления совершенных  чисел, мы даже не знаем, множество совершенных  чисел конечно или счетно, поэтому  наш алгоритм должен перебирать все  числа подряд, проверяя их на совершенность. Отсутствие общего метода решения не позволяет ответить на вопрос о останове алгоритма. Если мы проверили М чисел  при поиске n-ого совершенного числа  – означает ли это, что его вообще не существует?

     Проблема 3: Десятая проблема Гильберта;

     Пусть задан многочлен n-ой степени с  целыми коэффициентами – P, существует ли алгоритм, который определяет, имеет  ли уравнение P=0 решение в целых  числах?

     Ю.В. Матиясевич показал, что такого алгоритма  не существует, т.е. отсутствует общий  метод определения целых корней уравнения P=0 по его целочисленным  коэффициентам.

     б) Информационная неопределенность задачи

     Проблема 4: Позиционирование машины Поста на последний помеченный ящик;

     Пусть на ленте машины Поста заданы наборы помеченных ящиков (кортежи) произвольной длины с произвольными расстояниями между кортежами и головка  находится у самого левого помеченного  ящика. Задача состоит установке  головки на самый правый помеченный ящик последнего кортежа.

     Попытка построения алгоритма, решающего эту  задачу приводит к необходимости  ответа на вопрос – когда после  обнаружения конца кортежа мы сдвинулись вправо по пустым ящикам на М позиций и не обнаружили начало следующего кортежа – больше на ленте кортежей нет или они  есть где-то правее? Информационная неопределенность задачи состоит в отсутствии информации либо о количестве кортежей на ленте, либо о максимальном расстоянии между  кортежами – при наличии такой  информации (при разрешении информационной неопределенности) задача становится алгоритмически разрешимой.

     в) Логическая неразрешимость (в смысле теоремы Гёделя о неполноте)

     Проблема 5: Проблема "останова" (см. теорема);

     Проблема 6: Проблема эквивалентности алгоритмов;

     По  двум произвольным заданным алгоритмам (например, по двум машинам Тьюринга) определить, будут ли они выдавать одинаковые выходные результаты на любых  исходных данных.

     Проблема 7: Проблема тотальности;

     По  произвольному заданному алгоритму  определить, будет ли он останавливаться  на всех возможных наборах исходных данных. Другая формулировка этой задачи – является ли частичный алгоритм Р всюду определённым?

 

ГЛАВА II

Решение задачи

1.Решение  задачи: нахождение произведения  двух чисел.

В этом главе мы построим пример исчисления алгоритма. Дадим первоначальное образное описание этого исчисления.

И так, представим себе машину, состоящую  из бесконечной ленты, разбитой на ячейки и считывающей - записывающей каретки.

В каждую ячейку ленты записано либо по одной  букве некоторого алфавита, либо символ пустой ячейки

 

В некоторый  момент времени считывающая каретка  находится над одной из ячеек. Она читает содержимое текущей ячейки и выполняет некоторые действия, руководствуясь прочитанным, и своим  внутренним состоянием (умонастроением, как говорил Тьюринг)

. 

Действия состоят  в следующем: в текущую ячейку записывается новое значение (переписывается старое), машина переходит в новое  внутреннее состояние и сдвигается влево или вправо на одну ячейку (остается на месте)

с

Следующий шаг (такт) машины обусловлен содержимым новой  ячейки и новым «умонастроением» машины. Для того, чтобы машина остановилась, имеется специальное внутреннее состояние – конечное состояние.

 

 

Пусть на ленте  записано слово 6  7

 

в начальный  момент времени считывающая каретка  находится над первым справа  (6). Нам удобно записать это в таком  виде: Из функциональной схемы видно, что машина должна переписать в текущую  ячейку пробел и перейти в состояние  q6, и сдвинуться на одну ячейку влево, машина будет переходить в лево пока не встретит символ

 
 
 

Эти шаги повторяются  до тех пор, пока  не появиться  не пустое значение  в ячейке, мы получим ситуацию:

Т. е. каретка  машины дойдет до ячейки, в которой  записано число ,перепишет в текущую  ячейку   2 в данном примере  и перейдет в состояние Q15 где запишет 4 и перейдёт в состояние остановки.

 

Заключение

Теория сложности  также классифицирует и сложность  самих проблем, а не только сложность  конкретных алгоритмов решения проблемы. Теория рассматривает минимальное время и объем памяти, необходимые для решения самого трудного варианта проблемы на теоретическом компьютере, известном как машина Тьюринга. Машина Тьюринга представляет собой конечный автомат с бесконечной лентой памяти для чтения записи и является реалистичной моделью вычислений.