Лекция по "Информатике"

Вариант 7

Раздел 1.

1. Игровые методы и их использование в экономическом анализе.

В экономическом анализе используются и специфически математические способы и методы. Находит применение также теория игр. Так же, как и теория массового обслуживания, теория игр представляет собой один из разделов прикладной математики. Теория игр изучает оптимальные варианты решений, возможные в ситуациях игрового характера. Сюда относятся такие ситуации, которые связаны с выбором оптимальных управленческих решений, с выбором наиболее целесообразных вариантов взаимоотношений с другими организациями, и т.п.

Для решения подобных задач в  теории игр используются алгебраические методы, которые базируются на системе  линейных уравнений и неравенств, итерационные методы, а также методы сведения данной задачи к определенной системе дифференциальных уравнений.

Одним из экономико-математических методов, применяемых в анализе хозяйственной  деятельности организаций, является так  называемый анализ чувствительности. Данный метод зачастую применяется в процессе анализа инвестиционных проектов, а также в целях прогнозирования суммы прибыли, остающейся в распоряжении данной организации.

В целях оптимального планирования и прогнозирования деятельности организации необходимо заранее  предусматривать те изменения, которые в будущем могут произойти с анализируемыми экономическими показателями.

Например, следует заранее прогнозировать изменение величин тех факторов, которые влияют на размер прибыли: уровень  покупных цен на приобретаемые материальные ресурсы, уровень продажных цен на продукцию данной организации, изменение спроса покупателей на эту продукцию.

Анализ чувствительности состоит  в определении будущего значения обобщающего экономического показателя при условии, что величина одного или нескольких факторов, оказывающих влияние на этот показатель, изменится.

Так, например, устанавливают, на какую  величину изменится прибыль в  перспективе при условии изменения  количества продаваемой продукции  на единицу. Этим самым мы анализируем  чувствительность чистой прибыли к изменению одного из факторов, влияющих на нее, то есть в данном случае фактора объема продаж. Остальные же факторы, влияющие на величину прибыли, являются при этом неизменными. Можно определить величину прибыли также и при одновременном изменении в будущем влияния нескольких факторов. Таким образом анализ чувствительности дает возможность установить силу реагирования обобщающего экономического показателя на изменение отдельных факторов, оказывающих влияние на этот показатель.

 

Раздел II.

2. Этапы исследования сложных систем

3. Этапы разработки модели СЭП.
4. Функции Маршалла, Стоуна.

 

2. 1 этап. Четкое определение цели исследования объекта, т.е. с какой целью проводится исследование.

2 этап. Точное и полное определение  цели функционирования объекта  с позиций системы более высокого уровня. Необходимо определить общие и частные цели, осуществимость, требуемые ресурсы для осуществления цели, причем все это необходимо делать взаимосвязанно.

3 этап. Выделение и изучение  структуры системы, и среды.  Выделение системы осуществляется разделением (точным) на две части. Процедура не формальная, носит итеративный характер. Основой отнесения элементов к системе и среде является характер связей между элементами. Так как внутренние связи значительно сильнее внешних, то это дает право относить элементы с внутренними связями к системе. При этом определяется состав системы, состав среды, характер внутренних и внешних связей. Процесс выделения элементов и связей называется структуризацией.

4 этап. Последовательное раскрытие  механизма функционирования системы. При этом рассматривается функционирование всей системы в целом и функционирование ее отдельных подсистем; определяется набор функций и их возможные изменения на различных этапах исследования, а также взаимодействие элементов системы между собой и со средой. В результате работы по этапу должны быть получены: набор функций, которые реализует система; функции отдельных подсистем; функции отдельных элементов; описание процесса функционирования системы в целом.

5 этап. Система рассматривается на всех этапах жизненного цикла: происхождение, развитие, разрушение (гибель).

6 этап. Осуществляется сравнение  системы с другими, в какой  то степени близкими ей системами  для обнаружения сходства. В случае  обнаружения сходства, полученные  ранее свойства переносятся или могут быть перенесены на систему и (или) наоборот.

 

3. 1. Постановка экономической проблемы и ее качественный анализ.

На этом этапе требуется сформулировать сущность проблемы, принимаемые предпосылки и допущения. Необходимо выделить важнейшие черты и свойства моделируемого объекта, изучить его структуру и взаимосвязь его элементов, хотя бы предварительно сформулировать гипотезы, объясняющие поведение и развитие объекта.

2. Построение математической  модели.

Это этап формализации экономической проблемы, т. е. выражения ее в виде конкретных математических зависимостей (функций, уравнений, неравенств и др.). Построение модели подразделяется в свою очередь на несколько стадий. Сначала определяется тип экономико-математической модели, изучаются возможности ее применения в данной задаче, уточняются конкретный перечень переменных и параметров и форма связей. Для некоторых сложных объектов целесообразно строить несколько разноаспектных моделей; при этом каждая модель выделяет лишь некоторые стороны объекта, а другие стороны учитываются агрегированно и приближенно. Оправдано стремление построить модель, относящуюся к хорошо изученному классу математических задач, что может потребовать некоторого упрощения исходных предпосылок модели, не искажающего основных черт моделируемого объекта.

Однако возможна и такая ситуация, когда формализация проблемы приводит к неизвестной ранее математической структуре.

3. Математический анализ модели.

На этом этапе чисто математическими приемами исследования выявляются общие свойства модели и ее решений. В частности, важным моментом является доказательство существования решения сформулированной задачи. При аналитическом исследовании выясняется, единственно ли решение, какие переменные могут входить в решение, в каких пределах они изменяются, каковы тенденции их изменения и т. д. Однако модели сложных экономических объектов с большим трудом поддаются аналитическому исследованию; в таких случаях переходят к численным методам исследования.

4. Подготовка исходной информации.

В экономических задачах это, как правило, наиболее трудоемкий этап моделирования, так как дело не сводится к пассивному сбору данных. Математическое моделирование предъявляет жесткие требования к системе информации; при этом надо принимать во внимание не только принципиальную возможность подготовки информации требуемого качества, но и затраты на подготовку информационных массивов. В процессе подготовки информации используются методы теории вероятностей, теоретической и математической статистики для организации выборочных обследований, оценки достоверности данных и т.д. При системном экономико-математическом моделировании результаты функционирования одних моделей служат исходной информацией для других.

5. Численное решение. 

Этот этап включает разработку алгоритмов численного решения задачи, подготовку программ на ЭВМ и непосредственное проведение расчетов; при этом значительные трудности вызываются большой размерностью экономических задач. Обычно расчеты на основе экономико-математической модели носят многовариантный характер. Многочисленные модельные эксперименты, изучение поведения модели при различных условиях возможно проводить благодаря высокому быстродействию современных ЭВМ. Численное решение существенно дополняет результаты аналитического исследования, а для многих моделей является единственно возможным.

5. Анализ численных результатов и их применение.

На этом этапе прежде всего решается важнейший вопрос о правильности и полноте результатов моделирования и применимости их как в практической деятельности, так и в целях усовершенствования модели. Поэтому в первую очередь должна быть проведена проверка адекватности модели по тем свойствам, которые выбраны в качестве существенных.

4. Функции потребительского предпочтения Р. Стоуна имеют вид:

      (1)

Здесь - минимально необходимое количество i–го блага, которое приобретается в любом случае и не является предметом выбора: для этого необходимо, чтобы доход I был больше - количества денег, необходимого для покупки этого набора. Коэффициенты степени >0 характеризуют относительную «ценность» благ для потребителя.

Рассмотрим функции  Стоуна при f(x) = x. Тогда соответствующая модели Стоуна функция спроса Маршалла имеет вид:

       (2)

Вычисления показывают, что прямые коэффициенты эластичности спроса по цене и доходу удовлетворяют  неравенствам:

       (3)

Следовательно, спрос на все товары неэластичен, причем это товары, которые  могут быть и нормальными товарами, и товарами высшей категории.

 

Задание 1. Функция спроса имеет вид D(p)  = 7*exp(-0,2*p²), где D – количество товара, которое население готово купить по цене p. Определить при какой цене p спрос будет эластичным. (Рекомендация: рассмотреть функцию на отрезке [0;4], Dp = 0,2).

См.приложение

 

Раздел III.

 

5. Матричная форма постановки задачи линейного программирования.

 

 Если задача математического программирования содержит только линейные функции, то ее называют задачей линейного программирования. 

В общем виде задача линейного программирования (ЗЛП) может быть сформулирована как  задача нахождения вектора x = (х₁, х₂, …, х_n) Eⁿтакого, что функция линейного вида z(x)=c₁x₁+ c₂x₂+ c₃x₃+ … + c_nx_n→max (или min), т.е. достигает своего максимального или минимального значения, при этом вектор x = (х₁, х₂, …, х_n) должен удовлетворять системе линейных неравенств:  

 

                (1.1) 

 

Таким образом, модель задачи линейного  программирования (ЛП) может быть записана в виде (1.2). Функцию z в задаче (1.2) является целевой функцией (ЦФ) задачи.  

 

                         (1.2) 

 

Линейные неравенства в модели ЛП  вида 

 

 

 

называют функциональными ограничениями. Необходимо заметить, что в частных случаях некоторые из функциональных ограничений могут быть равенствами, т.е. уравнениями. Без ограничения на общность рассматриваемой модели будем предполагать, что левая часть ограничения меньше или равна правой.

Ограничения на неотрицательность  переменных, а именно:   в силу особой структуры обычно выделяют отдельно (часто их  тривиальными ограничениями).

Дополнительно следует заметить, что  в математическом смысле задача поиска максимума функции эквивалентна задаче поиска минимума.

   Þ     .

Модель задачи  ЛП (1.2) можно представить в матричной форме: 

 

       (1.3) 

 

где c,x,b – векторы-столбцы из пространства Eⁿ, А-матрица коэффициентов условий {a_ij} размерности m´n. 

 

,  ,  ,   

 

                                                                                                                                 0,1  0,2 0,4  

Задание 2. Матрица коэффициентов прямых затрат МОБ имеет вид А =      0,5  0    0,2    

                                                                                                                                 0,2  0,1  0

Используя второй критерий продуктивности определить, является ли матрица продуктивной.

См.приложение

 

6. Многопродуктовая модель предприятия.

Предприятие выпускает n видов изделий, на которые расходуется т видов ресурсов. Запас i-ro ресурса составляет b_i. Известны нормы расхода ресурсов a_ip которые показывают, сколько единиц i-ro вида ресурса (i = 1, m) требуется для производства единицы изделия у'-го вида (у = 1,   n). Нормы расхода всех ресурсов в совокупности образуют технологическую матрицу производства. Прибыль от реализации у'-го изделия равна с.

Требуется составить производственную программу, обеспечивающую предприятию максимальную прибыль.

Обозначим объем выпуска продукции  у'-го вида через х.

Задание 3. Спрос на товар задается функцией Q=120/(p^0,17 +2*p^0,18 +1,11), издержки на производство Q единиц товара вычисляются по формуле С = Q² -18*Q+15. Валовой доход R=Q*p, валовая прибыль П=R-C.  Вычислить значение функции Q в диапазоне P=[1,9], при Dp= 0,2. Построить графики C, R, П. Найти максимум прибыли.