Контрольная работа по "Информатике"

Автор: Пользователь скрыл имя, 15 Марта 2013 в 07:58, контрольная работа

Описание работы

Задача 1.
Используя метод наименьших квадратов функцию y=f(x) , заданную таблично, аппроксимировать
a. многочленом первой степени у=Р1(х)=а1+а2х
b. многочленом второй степени у=Р2(х)=а1+а2х+а3х2
c. экспоненциальной зависимостью у=а1*еа2 х

Скачать полностью (121.14 Кб) Сколько стоит заказать работу?

Работа содержит 1 файл

Контрольная работа по информатике.docx

— 143.13 Кб (Скачать)

Контрольная работа по информатике.

Задача 1.

Используя метод наименьших квадратов функцию y=f(x) , заданную таблично, аппроксимировать

многочленом первой степени у=Р₁(х)=а₁₊а₂х
многочленом второй степени у=Р₂(х)=а₁+а₂х+а₃х²
экспоненциальной зависимостью у=а₁*е^а² ^х

Функция y=f(x) задана таблицей 1.

Таблица 1.

Значения хi	Значения уi	Значения хi	Значения уi	Значения хi	Значения уi	Значения хi	Значения уi	Значения хi	Значения уi
0,51	4,57	3,33	15,11	4,87	20,87	7,44	32,15	8,87	41,82
1,11	6,22	3,39	16,03	5,35	23,83	7,98	33,32	10,65	43,76
1,62	8,99	3,51	16,51	5,94	26,18	8,87	37,84	10,76	45,36
2,65	13,09	3,99	18,42	6,87	26,76	8,90	37,96	11,03	45,97
2,74	13,45	4,42	20,13	7,12	30,88	9,54	42,65	11,76	49,34

Решение.

1. Поскольку в данной задаче каждая пара значений (x_i;y_i) встречается один раз, то корреляционная таблица примет вид единичной матрицы. Значит условное среднее Ӯi совпадет со значением y_i. . Отсюда следует,что корреляционное отношение η²_х|y равно 1 и следовательно между х и у существует функциональная зависимость.

Для проведения расчётов воспользуемся средствами Microsoft Excel.

Результаты расчётов приведены в таблице 2.

Аппроксимируем функцию y=f(x) линейной функцией у=а₁₊а₂х. Для определения коэффициентов а₁ и а₂ воспользуемся системой 1.

Решив которую получим а₁ = 2,154087068, а₂= 4,029224796 (см.Таблица 3)

Таким образом, линейная аппроксимация имеет вид y=2,154087068+ +4,029224796*х

Таблица 2.

Таблица значаний функции y=f(x)
Значения хi	Значения уi	xi^2	xi*yi	xi^3	xi^4	(xi^2)*yi	ln(yi)	xi*In(yi)
0,510	4,570	0,260	2,331	0,133	0,068	1,189	1,520	0,775
1,110	6,220	1,232	6,904	1,368	1,518	7,664	1,828	2,029
1,620	8,990	2,624	14,564	4,252	6,887	23,593	2,196	3,558
2,650	13,090	7,023	34,689	18,610	49,316	91,925	2,572	6,815
2,740	13,450	7,508	36,853	20,571	56,364	100,977	2,599	7,121
3,330	15,110	11,089	50,316	36,926	122,964	167,553	2,715	9,042
3,390	16,030	11,492	54,342	38,958	132,068	184,218	2,774	9,405
3,510	16,510	12,320	57,950	43,244	151,785	203,405	2,804	9,842
3,990	18,420	15,920	73,496	63,521	253,450	293,248	2,913	11,625
4,420	20,130	19,536	88,975	86,351	381,671	393,268	3,002	13,270
4,870	20,870	23,717	101,637	115,501	562,491	494,972	3,038	14,797
5,350	23,830	28,623	127,491	153,130	819,248	682,074	3,171	16,965
5,940	26,180	35,284	155,509	209,585	1244,932	923,725	3,265	19,394
6,870	26,760	47,197	183,841	324,243	2227,547	1262,989	3,287	22,581
7,120	30,880	50,694	219,866	360,944	2569,922	1565,443	3,430	24,422
7,440	32,150	55,354	239,196	411,831	3064,021	1779,618	3,470	25,820
7,980	33,320	63,680	265,894	508,170	4055,193	2121,831	3,506	27,979
8,870	37,840	78,677	335,641	697,864	6190,055	2977,134	3,633	32,228
8,900	37,960	79,210	337,844	704,969	6274,224	3006,812	3,637	32,365
9,540	42,650	91,012	406,881	868,251	8283,111	3881,645	3,753	35,804
8,870	41,820	78,677	370,943	697,864	6190,055	3290,268	3,733	33,115
10,650	43,760	113,423	466,044	1207,950	12864,664	4963,369	3,779	40,243
10,760	45,360	115,778	488,074	1245,767	13404,453	5251,672	3,815	41,045
11,030	45,970	121,661	507,049	1341,920	14801,375	5592,752	3,828	42,223
11,760	49,340	138,298	580,238	1626,380	19126,226	6823,604	3,899	45,849
С у м м ы
153,22	671,21	1210,287	5206,566	10788,3	102833,607	46084,946	78,168	528,312

Таблица 3.

Аппроксимация линейной функцией
а1	а2	f(x)
25	153,22	671,21
153,22	1210,29	5206,57

Обратная матрица			a1=	2,154087
0,178487	-0,0226		a2=	4,029225
-0,0226	0,003687

Далее аппроксимируем заданную функцию квадратичной функцией. у=а₁+а₂х+а₃х². Для определения коэффициентов а₁, а₂ и а₃ решим систему 2. Её решение приведено в таблице 4.

Система 2.

Таблица 4.

Аппроксимация квадратичной функцией
25,000	153,220	1210,287	671,210
153,220	1210,287	10788,300	5206,566
1210,287	10788,300	102833,607	46084,946
Обратная матрица
0,505831	-0,169174	0,0117947		а1=	2,264941419
-0,16917	0,069321	-0,0052814		а2=	3,979586544
0,011795	-0,005281	0,000425		а3=	0,003994272

Получим а₁=2,264941419 ; а₂=3,979586544 и а₃=0,003994272

Таким образом, квадратичная аппроксимация имеет вид

у=2,264941419 +3,979586544 *х + 0,003994272* х²

Наконец аппроксимируем заданную функцию экспоненциальной функцией у=а₁*е^а² ^х. Для определения коэффициентов решим систему 3.

Система 3. ^, где с=In(а₁)

Решиние системы приведено в таблице 5.

Таблица 5.

Аппроксимация экспоненциальной функцией
25,000	153,220	78,168
153,220	1210,287	528,312
Обратная матрица			с=	2,014147585
0,178487	-0,022596		а2	0,181531033
-0,0226	0,003687		а1=	7,494336372

Решив систему 3 получим с= 2,014147585, а₂= 0,181531033, тогда

а₁= 7,494336372.

Экспоненциальная аппроксимация имеет вид

у=7,494336372*е ^{0,181531033*х}

Вычислим среднее арифметическое значение х и ӯ по формулам

Средние арифметические значения х и у

Хср.= 6,1288

Уср.= 26,8484

2-3. Построим дополнительную таблицу 6. С помощью неё вычислим коэффициент корреляции, коэффициент детерминированности (линейная аппроксимация), коэффициент детерминированности (квадратичная аппроксимация), коэффициент детерминированности (экспоненциальная аппроксимация). Результаты вычислений в таблице 6.

Таблица 6.

Коэффициент корреляции	0,996164
коэффициент детерминированности (линейная аппроксимация)	0,992342
коэффициент детерминированности (квадратичная аппроксимация)	0,99235
коэффициент детерминированности (экспоненциальная аппроксимация)	0,875636

4,6. Линия тренда для линейной аппроксимации (Рисунок 1)

Рисунок 1

Таблица 6.

Таблица значений
Значения хi	Значения уi	(Хi-Хср)* (Уi-Уср)	(Хi-Хср)^2	(Уi-Уср)^2	ЛИН.(a1+a2*Xi-Yi)^2	КВАД (a1+a2Xi+a3Xi^2-Yi)^2	ЭКС (а1exp(а2Хi)-Yi)^2
0,51	4,57	125,1779	31,5709	496,3271	0,1303	0,0753	13,3320
1,11	6,22	103,5298	25,1884	425,5309	0,1653	0,2183	8,6868
1,62	8,99	80,52	20,3293	318,9225	0,0952	0,0716	1,1376
2,65	13,09	47,8627	12,1020	189,2936	0,0668	0,0631	0,9327
2,74	13,45	45,4045	11,4840	179,5171	0,0655	0,0630	1,2680
3,33	15,11	32,8534	7,8333	137,7900	0,2129	0,2036	1,9401
3,39	16,03	29,6294	7,5010	117,0378	0,0470	0,0521	4,6770
3,51	16,51	27,0742	6,8581	106,8825	0,0455	0,0518	5,4627
3,99	18,42	18,0267	4,5745	71,0379	0,0358	0,0453	8,7433
4,42	20,13	11,4804	2,92	45,1369	0,0278	0,0389	11,6385
4,87	20,87	7,5256	1,5846	35,7413	0,8216	0,7574	7,4446
5,35	23,83	2,3507	0,6065	9,1107	0,0143	0,0256	16,2957
5,94	26,18	0,1262	0,0356	0,4468	0, 85	0,0183	17,2158
6,87	26,76	-0,0655	0,5494	0,0078	9,4548	9,2004	0,4590
7,12	30,88	3,9961	0,9825	16,2538	0,0014	0,0061	12,8630
7,44	32,15	6,9515	1,7192	28,1070	0,0003	0,0031	10,3946
7,98	33,32	11,9802	3,4269	41,8816	0,9748	0,9147	2,0020
8,87	37,84	30,1302	7,5142	120,8153	0,0028	0,0015	0,1159
8,90	37,96	30,7925	7,6795	123,4677	0,0029	0,0016	0,0654
9,54	42,65	53,9024	11,6363	249,6906	4,2317	4,2283	0,0904
8,87	41,82	41,0401	7,5142	224,1488	15,4189	15,5383	18,6666
10,65	43,76	76,4607	20,4412	286,0022	1,7039	1,7972	64,6940
10,76	45,36	85,7309	21,4480	342,6793	0,0221	0,0352	56,0714
11,03	45,97	93,7188	24,0218	365,6356	0,3924	0,4566	90,8758
11,76	49,34	126,6547	31,7104	505,8721	0,0391	0,0769	196,7733
С у м м ы					О с т а т о ч н ы е с у м м ы
153,22	671,21	1092,8542	271,2319	4437,3367	33,9817	33,9441	551,8462

График линии тренда для квадратичной аппроксимации представлен на рисунке 2.

График линии тренда для экспоненциальной аппроксимации представлен на рисунке 3.

Сравнивая результаты, полученные при помощи функции ЛИНЕЙН, с предыдущими вычислениями видим, что они совпадают. Это указывает на то, что вычисления верны. Несовпадение значений коэффициента детерминированности для экспоненциальной зависимости , полученного вычислениями и при построении линии тренда объясняется тем, что при вычислении с помощью функции ЛИНЕЙН используются не истинные значения у, а преобразованные значения In y, в результате чего накапливаются ошибки вычисления.

Рисунок 2

Рисунок 3

5. Определение числовых характеристик зависимости с помощью функции ЛИНЕЙН. Полученные результаты приведены в таблице 7.

Таблица 7

	А	В
1	4,0292	2,1541
2	0,0738	0,5135
3	0,9923	1,2155
4	2980,3454	23,0000
5	4403,3550	33,9817

Здесь А1:В5 =ЛИНЕЙН(изв_знач_у; изв_знач_х;;истина), где изв_знач_у - значения Yi из таблицы 1,

изв_знач_х - значения Хi из таблицы 1

Коэффициент детерминированности— 0,9923

F-наблюдаемое значение—2980,3454

Число степеней свободы —23

Регрессионная сумма квадратов — 4403,3550

Остаточная сумма квадратов — 33,9817

7. Анализ результатов расчётов показывает, что квадратичная аппроксимация наилучшим образом описывает экспериментальные данные.

Информация о работе Контрольная работа по "Информатике"