Компьютерное моделирование

МОДЕЛИРОВАНИЕ в химической технологии, метод исследования химико-технол. процессов или систем путем построения и изучения их моделей, к-рые отличаются от объектов М. масштабами или физ. природой происходящих в них явлений, но достаточно точно (адекватно) отображающих представляющие интерес св-ва этих объектов. М. используют для решения разл. задач, важнейшие из к-рых: 1) исследование новых процессов; 2) проектирование произ-в; 3) оптимизация отдельных аппаратов и технол. схем; 4) выявление резервов мощности и отыскание наиб. эффективных путей модернизации действующих произ-в; 5) оптим. планирование произ-в; 6) разработка автоматизир. систем управления проектируемыми произ-вами; 7) построение автоматизированных систем научных исследований.

М. основано на св-ве подобия разных объектов, к-рое м. б. физическим и математическим. Процессы в физически подобных объектах имеют физ. природу. В математически подобных объектах процессы описываются одинаковыми ур-ниями.

Физическое  М. Метод сводится обычно к изучению моделей, к-рые отличаются от объекта М. масштабами (напр., лаб. и пром. реакторы). В основе физического М. лежат подобия теория и анализ размерностей.

Необходимым условием физического М. является равенство  в объекте и его модели т. наз. критериев подобия, представляющих собой определенные безразмерные комбинации разл. физ. величин, оказывающих влияние на параметры объекта и модели. На практике обеспечить указанное условие в случае равенства неск. критериев подобия чрезвычайно трудно, если только не делать модель тождественной объекту М. Поэтому используется приближенное физическое М., при к-ром второстепенные процессы, происходящие в объекте, либо не моделируются совсем, либо моделируются приближенно. Напр., массообменная тарельчатая колонна моделируется насадочной лаб. колонкой; при этом подобие гидродинамич. обстановки в объекте и модели игнорируется, а моделируется лишь разделит. способность аппарата, определяемая термодинамич. закономерностями межфазного равновесия.

Достоинства физического  М.: возможность изучения объектов с меньшими затратами (сырья, энергии, времени); возможность исследования объектов, в к-рых физ.-хим. сущность процессов мало изучена; возможность проведения на модели измерений, слишком сложных на объекте М.

Недостатки метода: возможность проявления собств. св-в модели вследствие несоответствия критериев подобия объекта и модели (напр., разл. условия перемешивания); необходимость применения аналогичных контрольно-изме-рит. приборов на модели и объекте; относит. сложность построения физ. модели, обычно представляющей собой значительно уменьшенную копию объекта; трудность достоверной экстраполяции результатов на др. масштабы из-за полного отсутствия надежных критериев достоверности масштабного перехода. Несмотря на перечисл. недостатки, физическое М. часто служит единств. ср-вом исследования химико-технол. процессов (особенно мало изученных). При этом оно во мн. случаях предшествует математическому М., являясь источником эксперим. данных для построения и проверки мат. моделей.

Математическое  М. Метод сводит исследование св-в объекта к изучению св-в мат. модели, представляющей собой систему мат. ур-ний (т. наз. мат. описание), к-рая отражает поведение объекта М. (см. Кибернетика). Мат. модель дает возможность прогнозировать это поведение при изменяющихся условиях функционирования объекта М. В данном случае аналогом эксперимента на модели при физическом М. служит вычислит. эксперимент, к-рый проводится, как правило, на ЭВМ.

В зависимости от целей  и исходной информации об объекте  М. и условиях его функционирования применяют различные по форме и структуре мат. описания модели. К числу наиб. распространенных типов моделей относят стохастические, статистические и детерминированные.

С т о х а с  т и ч е с к и е м  о д е л и. Строятся на основе вероятностных представлений о процессах в объекте М. и позволяют прогнозировать его поведение путем вычисления ф-ций распределения вероятностей для переменных, характеризующих исследуемые св-ва (при заданных ф-циях распределения вероятностей входных и возмущающих переменных).

Важнейшая область  применения стохастич. моделей-М. больших  систем (крупных агрегатов, химико-технол. процессов, произ-в, предприятий и  др.). При этом указанные модели используют для анализа функционирования объектов в условиях случайных возмущений, для решения сложных задач календарного планирования работы предприятия, исследования возможных последствий непредсказуемых аварийных отказов технол. оборудования, выявления наиб. эффективных схем резервирования для повышения надежности хим. произ-ва в целом и т.д.

С т а т и с  т и ч е с к и е м  о д е л и. Строятся на основе эксперим. данных, полученных на действующем  объекте (в условиях влияния на него случайных возмущений), и представляют собой системы соотношений, к-рые  связывают значения выходных и входных переменных объекта. Вид этих соотношений обычно задается априорно, и определению подлежат лишь значения нек-рых параметров в принятых зависимостях. Наиб. распространена зависимость, задаваемая в форме полинома степени не более 2.

При определении параметров этих моделей необходимо использовать аппарат мат. статистики, поскольку на результаты экспериментов и измерений, как правило, накладываются случайные ошибки, а также действие неучтенных факторов.

В случае построения статистич. моделей на основе данных, к-рые найдены в т. наз. пассивном эксперименте (регистрация значений входных и выходных переменных осуществляется без к.-л. вмешательства в процесс), рассчитываемые параметры моделей оказываются, как правило, статистически зависимыми, т.е. коррелированными. Это значительно усложняет точную интерпретацию полученных результатов экспериментов и ограничивает прогнозирующие возможности модели. Более надежные данные м. б. получены, если допустимо планомерное варьирование входных переменных в желаемых пределах путем применения спец. решений, или планов (напр., т. наз. ортогональных, обеспечивающих статистич. независимость определяемых параметров моделей).

Этапы общей процедуры  построения любой статистич. модели: 1) расчет их параметров, 2) проверка значимости найденных значений параметров, 3) проверка адекватности полученной модели объекту. Для проверки значимости параметров и адекватности модели обычно используют статистич. критерии проверки гипотез. Если к.-л. параметр модели при проверке оказывается незначимым, то его значение в ур-ниях модели полагают равным нулю, что приводит к соответствующему упрощению модели.

Адекватность мат. модели изучаемому объекту проверяется  путем сравнения эксперим. данных, полученных на объекте, и результатов  М. с привлечением методов статистич. проверки гипотез. В качестве критериев адекватности чаще всего используют квадратичные выражения, характеризующие отклонения опытных данных от расчетных.

Численное значение критерия адекватности само по себе, однако, еще  не дает возможности сделать к.-л. заключение об адекватности модели и должно быть обязательно соотнесено со всеми статистич. оценками измерений на объекте М. Если в результате проверки адекватности модель оказывается неадекватной, это означает, что к.-л. существ. входные переменные, оказались не включенными в модель или точность эксперим. данных недостаточна для установления искомой зависимости.

Достоинства статистич. моделей: возможность применения к  объектам с неизвестными механизмами  происходящих в них процессов, а  также в случае больших систем, детальное описание к-рых вызывает серьезные мат. трудности. Недостатки: сложность обобщения получаемых результатов даже при изучении однотипных объектов, невозможность обоснованной экстраполяции св-в модели за пределы измеренной области изменения входных переменных, трудность построения таких моделей для нестационарных объектов с большим временным запаздыванием р-ции на входные возмущения.

Важнейшие области  применения статистич. моделей-планирование оптим. условий экспериментов и  описание функционирования отдельных аппаратов или участков произ-ва для решения сложных задач управления и оптимизации.

Д е т е р м  и н и р о в а н н  ы е м о д е л и. Строятся на основе математически выраженных закономерностей, описывающих физ.-хим. процессы в объекте М. Они позволяют однозначно находить значения переменных (к-рые характеризуют представляющие интерес св-ва объекта) для любой заданной совокупности значений входных переменных и конструктивных параметров объектов М. и являются основой для решения задач масштабного перехода. Для вычислит. экспериментов с детерминир. моделями реальных объектов, как правило, требуются ср-ва вычислит. техники; при этом особое внимание должно уделяться разработке эффективных алгоритмов решения системы ур-ний мат. описания.

Для большинства процессов  хим. технологии характерно наличие  взаимод. потоков в-в, в к-рых возможны также хим. превращения. Поэтому  в основу мат. описания, как правило, кладутся ур-ния балансов масс и  энергии в потоках, записанные с учетом их гидродинамич. структуры.

Ур-ния гидродинамики  реальных потоков, как правило, чрезвычайно  сложны и имеют очень сложные  граничные условия (напр., ур-ния  Навье - Стокса). Это приводит к необходимости  использовать в мат. описании конкретных потоков упрощенные описания гидродинамики на основе идeализир. моделей - идеального смешения, идеального вытеснения и промежуточной, наз. диффузионной, к-рая в большинстве случаев более близка к реальным условиям.

В тех случаях, когда  и диффузионная модель неудовлетворительна, приходится применять более сложные комбинир. модели, определяющие структуру потока как нек-рое сочетание указанных идеальных моделей. При наличии в процессе неск. потоков в-в, а также потоков, состоящих из неск. фаз (напр., газ - жидкость, жидкость - твердое и т.п.), для каждого потока и для каждой фазы обычно записываются свои ур-ния гидродинамики.

Ур-ния балансов масс и энергии, записанные с учетом принятых гидродинамич. моделей потоков, включают источники в-ва и энергии в  потоках, интенсивность к-рых определяется конкретными физ.-хим. процессами, происходящими в объекте М. Поэтому в состав мат. описания входят также ур-ния для скоростей хим. р-ций, массо- и теплообмена и др.

Кроме того, мат. описание включает теоретич., полуэм-пирич. или эмпирич. соотношения, характеризующие разл. зависимости, напр. теплоемкости от состава потока, коэф. массопередачи от скоростей потоков фаз и т.д.

При построении детерминир. модели важное значение имеет разумное сочетание требуемой сложности  модели с допустимыми упрощениями. Слишком сложное мат. описание, учитывающее множество, возможно, второстепенных факторов и явлений, может оказаться неприемлемым из-за необходимости выполнения огромного объема вычислений при решении входящих в него ур-ний. Наоборот, слишком yпрощенное мат. описание может привести к принципиально неправильным выводам о св-вах объекта М.

А л г о р и  т м р е ш е н и я  системы ур-ний мат. описания, реализующий  возможность проведения вычислит. экспериментов  с мат. моделью, существенно зависит от типа входящих в нее ур-ний. Последний, в свою очередь, определяется принятыми исходными допущениями и задачами вычислит. эксперимента. Принято различать стационарные и нестационарные модели, в к-рых параметры соотв. не изменяются и изменяются во времени. Кроме того, принято выделять модели с распределенными и сосредоточенными параметрами, соотв. изменяющимися и не изменяющимися в пространстве. Основу мат. описания стационарных моделей с сосредоточенными параметрами составляют системы, в к-рых отсутствуют дифференц. ур-ния, поскольку переменные модели не зависят от пространств. координат и времени. Обыкновенные дифференц. ур-ния используют в моделях для описания нестационарных режимов в объектах при допущении сосредоточенности параметров или для описания стационарных режимов в объектах с параметрами, распределенными только по одной координате. Это отвечает зависимости переменных модели от одной пространств. координаты либо от времени.

Для мат. описания разл. нестационарных режимов объектов М., характеризующихся распределенными параметрами, а также стационарных режимов в случае распределенности более чем по одной координате, как правило, применяют дифференц. ур-ния в частных производных. В последних искомые переменные являются ф-циями неск. независимых переменных, что и определяет возможность применения этих ур-ний для объектов рассматриваемого класса.

Методы прикладной математики позволяют решать широкий  круг задач вычислит. эксперимента. С помощью этих методов для  любой задачи составляют алгоритм ее решения-набор инструкций, определяющих последовательность операций, к-рые позволяют из исходных данных получить искомый результат. При построении конкретного алгоритма, как правило, используют специфич. особенности решаемой задачи для создания эффективных (обычно итерационных) схем решения, в к-рых общие методы применяют для решения подзадач отдельных этапов общего алгоритма. Пример-при построении достаточно полной детерминир. мат. модели тарельчатой колонны для ректификации многокомпонентной смеси используют мат. описание, в к-рое включают ур-ния материальных балансов компонентов смеси для всех тарелок колонны, кипятильника и конденсатора; ур-ния тепловых балансов для тех же элементов; ур-ния, определяющие разделит. способность тарелок; описание условий парожидкостного равновесия; соотношения для расчета энтальпий потоков жидкости и пара.

В общем случае решение  полной системы ур-ний мат. описания сводится к решению системы нелинейных ур-ний высокого порядка относительно неизвестных значений переменных, напр. концентраций компонентов, т-р, потоков пара и жидкости на каждой тарелке и т.п. Выбор алгоритма решения задачи в значит. степени обусловливает объем памяти ЭВМ, необходимый для реализации алгоритма. Так, для случая ректификации смеси 5 компонентов в колонне с 50 тарелками необходимо размещать в памяти ЭВМ более 500 тыс. чисел, что и определяет класс машины, к-рую можно использовать для решения этой задачи. Вместе с тем, для рассматриваемой системы ур-ний мат. описания можно предложить достаточно эффективные алгоритмы, сводящие решение этой нелинейной системы к спец. итерационной процедуре. Необходимый объем памяти ЭВМ при этом значительно сокращается и для приведенного примера не превышает 800 чисел.

И д е н т и  ф и к а ц и я м о  д е л е й. При неудовлетворит. адекватности априорно построенной мат. модели решается задача ее идентификации, т. е. уточнения заданных приближенно значений параметров и, возможно, вида нек-рых зависимостей, включенных в состав мат. описания. Методы идентификации мат. моделей отличаются большим разнообразием, и выбор самого подходящего из них в каждом конкретном случае существ. образом определяется объектом М., а также имеющимися в распоряжении исследователя ресурсами. При этом учитывают возможность постановки не реализуемых по разным причинам на самом объекте исследования спец. экспериментов на физ. моделях; возможность использования для коррекции результатов опытов, полученных на объекте М. при проверке адекватности модели и т. п. Задача идентификации модели обычно сводился к задаче минимизации критерия адекватности объекту путем подбора подходящих значений уточняемых параметров и вида вызывающих сомнение зависимостей. При этом решение задачи минимизации принятого критерия адекватности, рассматриваемого как ф-ция параметров мат. модели, как правило, представляет собой достаточно трудную вычислит. проблему. Последняя осложнена специфич. "овражным" характером минимизируемой ф-ции и, следовательно, большим объемом необходимых вычислений (см. Оптимизация).