Компиляция программы

Уточнение корней. На данном этапе задача состоит в получении приближенного значения корня, принадлежащего отрезку , с заданной точностью (погрешностью) e. Это означает, что вычисленное значение корня должно отличаться от точного не более чем на величину e:

 

.

 

Процедура численного определения  приближенных значений корней нелинейных уравнений, как правило, состоит  в выборе начального приближения к корню и вычислении по некоторой формуле последующих приближений , и т.д. Каждый такой шаг называется итерацией (от латинского iteratio – повторение), а сами методы уточнения – итерационными методами. В результате итераций получается последовательность приближенных значений корня , которая называется итерационной последовательностью. Если эти значения с ростом k стремятся к точному значению корня :

 

,    (2.3)

 

то говорят, что итерационный процесс сходится.

Сходимость итерационного  процесса означает, что погрешность  каждого последующего приближения  должна быть меньше погрешности предыдущего  приближения, т.е. погрешность приближенных значений с каждым шагом должна уменьшаться:

 

 

В общем случае это неравенство  можно представить в виде:

 

,     (2.4)

 

где и – некоторые числа, значения которых определяются методом уточнения корня. От значений q и a зависит насколько с каждым шагом уменьшается погрешность приближенных значений и, соответственно, насколько быстро можно получить приближенное значение с заданной точностью. Главным показателем скорости сходимости метода является значение a, называемое порядком сходимости. При погрешность с каждым шагом убывает линейно, в этом случае говорят о линейной сходимости. Если , то говорят, что имеет место сверхлинейная сходимость.

 

 

 

 

 

 

 

Разработка алгоритмов решения задачи

Алгоритмом называют формально описанную последовательность действий, которые необходимо выполнить для получения требуемого результата.

Суть метода: значение переменной величины изменяется с некоторым достаточно большим шагом. Как только целевая функция перейдет искомое значение, отходим на шаг назад и начинаем движение с уменьшенным в R раз шагом (при R = 10 метод называется методом подекадного приближения). Процесс повторяется до достижения требуемой точности.

Общая структура программы, для решения нелинейных и трансцендентных  уравнений, методом подекадного  приближения должна выглядеть следующим  образом:

• Ввод исходных данных.
• Проверка принадлежности x к промежутку поиска корней.
• Определение наличия корней на промежутке.
• Задание допустимой погрешности, уточнение корня.
• Вывод результата.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пошаговая детализация

Шаг 1 (Ввод исходных данных).

• Ввод исходных данных, т.к. исследуемый метод предназначен для решения нелинейных и трансцендентных уравнения, то необходимо ввести функцию вида  y=f(x), где f(x)=0.
• Выбираем отрезок [a,b] , на котором будет производиться поиск корней.
• Задаем шаг решения c=h.
• Принимаем х=а.
• Задаем номер итерации k=0.
• Находим значение W=sgn f(x).

 

 

Функция (другое обозначение: ), читается «сигнум» (от лат. signum — знак) — кусочно-постоянная функция, определённая следующим образом:   Функция не является элементарной. Часто используется представление: При этом производная модуля в нуле, которая, строго говоря, не определена, доопределяется средним арифметическим соответствующих производных слева и справа. Функция применяется в  теории обработки сигналов, в математической статистике и других разделах математики, где требуется компактная запись для индикации знака числа.

Область определения: . Область значений: {-1;0;+1}. Гладка во всех точках, кроме нуля. Функция нечётна. Точка x=0 является точкой разрыва первого рода, так как пределы справа и слева от нуля равны +1 и -1 соответственно. для .

 

Шаг 2 (Проверка принадлежности x к промежутку поиска корней).

• Задаем значение  и проверяем условие . Если оно выполняется, заканчиваем счет, иначе переходим к шагу 3.

Шаг 3 (Определение наличия корней на промежутке).

• Вычисляем f(x) и проверяем условие . Если оно выполняется, идем к шагу 2, иначе переходим к шагу 4.

Шаг 4 (Задание допустимой погрешности, уточнение корня).

• Задаем погрешность вычисления корня  , где R — показатель разрядности (уменьшении шага с, в случае подекадного приближения, R=10), и проверяем выполнение условия . Если это условие выполняется, идем к шагу 2, иначе переходим к шагу 5.

Шаг 5 (Вывод результата).

• Задаем и выводим на печать (индикацию) значение k-гo корня . Затем полагаем , и идем к шагу 2.

 

Таким образом программа  будет проделывать итерации, искать и выводить на печать корни, пронумеровав их от 1-го до n-го, пока не будет достигнут  конец промежутка.

 

 

 

Блок-схема алгоритма

Начало

Ввод y=f(x)

Ввод c=h

 

 

W=sgn f(x)

x=x+c

(x-c)≥b

 

 

 

 

 

 

Конец

Тексты и описание программных модулей

clear all

clc

 

%Тема

disp ('Вычисление всех корней нелинейного уравнения F(X)=0')

disp ('в интервале (A,B) методом подекадного приближения');

 

%Ввод функции

s=input('введите функцию F(X)=', 's');

f=inline(s);    %Перевод строки в функцию

 

flag=0;

while (flag==0)

    %Промежуток поиска

    disp ('Задайте границы интервала (A,B)');

    A=input('A=');

    B=input('B=');

    if A>B disp ('Неверный промежуток'); flag=0;

    else flag=1;

    end

end

   

    flag=0;

while (flag==0)

    %Погрешность

    while (flag==0)

        E=input('Задайте погрешность вычислений E='); 

        if E>0.01 disp ('Слищком большое значение погрешности'); flag=0;

        elseif E<0.0001 disp ('Слишком маленькое значение погрешности'); flag=0;

        else flag=1;

        end

    end

 

    flag=0;

    %Шаг

    while (flag==0)

        H=input('Задайте шаг начального поиска H=');

        if H>1.1 disp ('Слишком большое шаг'); flag=0;

        elseif H<0.0001 ('Слишком маленький шаг'); flag=0;

        else flag=1;

        end

    end

 

    flag=0;

    if E>=H disp ('Погрешность больше или равна шагу'); flag=0;

    else flag=1;

    end

end

 

%Стартовые данные

C=H;

K=0;

X=A;

F=f(X);    %Взятие функции от X

W=sign(F);

X=X+C;

 

flag=1;    %Ограничитель на значение X

%Цикл

while (flag==1)

    while A<B

        while abs(C)>E/10

            while F*W/C>0

                X=X+C;

                    if X-C>=B break;    %Ограничитель на значение X

                    end

                F=f(X);

            end

            F=f(X);

            C=C/10;

                if X-C>=B break;

                end

        end

        F=f(X);

        if X<B disp ('Найден корень уравнения! Х=');

            disp(X);

            disp('±');

            disp(E)

        else flag=0;

        end

        A=X;

        C=H;

        W=-W;

        X=X+C;

    end

end

disp ('Корней больше нет');

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тестирование  разработанных программных модулей

 

Пример №1

 

Вычисление всех корней нелинейного  уравнения F(X)=0

в интервале (A,B) методом подекадного  приближения

введите функцию F(X)=X^5-X^2-4

Задайте границы интервала (A,B)

A=-10

B=10

Задайте погрешность вычислений E=0.0001

Задайте шаг начального поиска H=0.01

Найден корень уравнения! Х=

    1.4400

±

  1.0000e-004

Корней больше нет

 

Пример №2

 

Вычисление всех корней нелинейного  уравнения F(X)=0

в интервале (A,B) методом подекадного  приближения

введите функцию F(X)=X^4-225

Задайте границы интервала (A,B)

A=-100

B=100

Задайте погрешность вычислений E=0.001

Задайте шаг начального поиска H=0.01

Найден корень уравнения! Х=

   -3.8700

±

  1.0000e-003

Найден корень уравнения! Х=

    3.8800

±

  1.0000e-003

Корней больше нет

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список использованной литературы

 

1. Дьяконов В.П. Справочник по алгоритмам и программам для ПЭВМ. М.: Наука, 1987. 240 с. (издание 1989 г. – стереотипное)