Комбинаторика

План: 

 

      Предмет комбинаторики.

     Наблюдаемые нами события (явления) можно подразделить на следующие три вида: достоверные, невозможные и случайные.

     Достоверным называют событие, которое обязательно произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность условий S. Например, если в сосуде содержится вода при нормальном атмосферном давлении и температуре 20°, то событие «вода в сосуде находится в жидком состоянии» есть достоверное. В этом примере заданные атмосферное давление и температура воды составляют совокупность условий S.

     Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдет, если будет осуществлена совокупность условий S. Например, событие «вода в сосуде находится в твердом состоянии» заведомо не произойдет, если будет осуществлена совокупность условий предыдущего примера.

     Случайным называют событие, которое при осуществлении совокупности условий S может либо произойти, либо не произойти. Например, если брошена монета, то она может упасть так, что сверху будет либо герб, либо надпись. Поэтому событие «при бросании монеты выпал «герб» — случайное. Каждое случайное событие, в частности выпадение «герба», есть следствие действия очень многих случайных причин (в нашем примере: сила, с которой брошена монета, форма монеты и многие другие). Невозможно учесть влияние на результат всех этих причин, поскольку число их очень велико и законы их действия неизвестны. Поэтому теория вероятностей не ставит перед собой задачу предсказать, произойдет единичное событие или нет, — она просто не в силах это сделать.

     По-иному  обстоит дело, если рассматриваются  случайные события, которые могут  многократно наблюдаться при  осуществлении одних и тех  же условий S, т. е. если речь идет о массовых однородных случайных событиях. Оказывается, что достаточно большое число однородных случайных событий независимо от их конкретной природы подчиняется определенным закономерностям, а именно вероятностным закономерностям. Установлением этих закономерностей и занимается теория вероятностей.

     Итак, предметом теории вероятностей является изучение вероятностных закономерностей массовых однородных случайных событий.

     Знание  закономерностей, которым подчиняются  массовые случайные события, позволяет  предвидеть, как эти события будут  протекать. Например, хотя, как было уже сказано, нельзя наперед определить результат одного бросания монеты, но можно предсказать, причем с небольшой погрешностью, число появлений «герба», если монета будет брошена достаточно большое число раз. При этом предполагается, конечно, что монету бросают в одних и тех же условиях.

     Методы  теории вероятностей широко применяются  в различных отраслях естествознания и техники: в теории надежности, теории массового обслуживания, в теоретической  физике, геодезии, астрономии, теории стрельбы, теории ошибок наблюдений, теории автоматического управления, общей теории связи и во многих других теоретических и прикладных науках. Теория вероятностей служит также для обоснования математической и прикладной статистики, которая в свою очередь используется при планировании и организации производства, при анализе технологических процессов, предупредительном и приемочном контроле качества продукции и для многих других целей.

     В последние годы методы теории вероятностей все шире и шире проникают в  различные области науки и техники, способствуя их прогрессу.

 

      Краткая историческая справка.

     Первые  работы, в которых зарождались  основные понятия теории вероятностей, представляли собой попытки создания теории азартных игр (Кардано, Гюйгенс, Паскаль, Ферма и другие в XVI—XVII вв.).

     Следующий этап развития теории вероятностей связан с именем Якоба Бернулли (1654—1705). Доказанная им теорема, получившая впоследствии название «Закона больших чисел», была первым теоретическим обоснованием накопленных ранее фактов.

     Дальнейшими успехами теория вероятностей обязана  Муавру, Лапласу, Гауссу, Пуассону и  др.

     Новый, наиболее плодотворный период связан с именами П. Л. Чебышева (1821—1894) и  его учеников А.А.Маркова(1856—1922) и  А. М.Ляпунова (1857—1918). В этот период теория вероятностей становится стройной математической наукой. Ее последующее развитие обязано в первую очередь русским и советским математикам (С. Н. Бернштейн, В. И. Романовский, А. Н. Колмогоров, А. Я. Хинчин, Б. В. Гнеденко, Н. В. Смирнов и др.). В настоящее время ведущая роль в создании новых ветвей теории вероятностей также принадлежит советским математикам.

 

      Основные  комбинаторные задачи.

     Основными и типичными операциями и связанными с ними задачами комбинаторики являются следующие:

1) образование  упорядоченных множеств, состоящее в установлении определенного порядка следования элементов множества друг за другом, - составление перестановок;

2) образование  подмножеств, состоящее в выделении  из данного множества некоторой  части его элементов, - составление  сочетаний;

3) образование  упорядоченных подмножеств - составление  размещений.

     ТИПЫ  КОМБИНАТОРНЫХ ЗАДАЧ.

1. Магический квадрат - квадратная таблица (n * n) целых чисел от 1 до n¤ такая, что суммы чисел вдоль любого столбца, любой строки и двух диагоналей таблицы равны одному и тому же числу s=n(n¤+1)/2. Число n называют порядом магического квадрата.

     Доказано, что магический квадрат можно  построить для любого n Є 3. Уже  в средние века был известен алгоритм построения магических квадратов нечетного  порядка. Существуют магические квадраты, удоволетворяющие ряду дополнительных условий, например магический квадрат с n=8 , который можно разделить на четыре меньших магических квадрата 4x4. В Индии и некоторых других странах магические квадраты употреблялись как талисманы. Однако общей теории магических квадратов не существует. Неизвестно даже общее число магических квадратов порядка n.

2. Латинский квадрат - квадратная матрица порядка n, каждая строка и каждый столбец которой являются перестановками элементов конечного множества S, состоящего из n элементов.

3. Задача размещения - одна из классических комбинаторных задач, в которой требуется определить число способов размещения m различных предметов в n различных ячейках с заданным числом r пустых ячеек. Это число равно

       r n-r m

       C (r)=C дельта O , r=0,1,2,...,n,

      nm n

     где 

       k m k j j m

       дельта O =сигма (-1) C (k-j)

      j=0 k 

4. Задача коммивояжера, задача о бродячем торговце – комбинаторная задача теории графов. В простейшем случае формулируется следующим образом: даны n городов и известно расстояние между каждыми двумя городами; коммивояжер, выходящий из какого-нибудь города, должен посетить n-1 других городов и вернуться в исходный. В каком порядке должен он посещать города (по одному разу каждый) чтобы общее пройденное расстояние было минимальным?

     Методы  решения задачи коммивояжера, по существу, сводятся к организации полного  перебора вариантов.

     МЕТОДЫ  РЕШЕНИЯ КОМБИНАТОРНЫХ ЗАДАЧ

1. Метод рекуррентных  соотношений.

     Метод рекуррентных соотношений состоит  в том, что решение комбинаторной задачи с n предметами выражается через решение аналогичной задачи с меньшим числом предметов с помощью некоторого соотношения, которое называется рекуррентным. Пользуясь этим соотношением, искомую величину можно вычислить, исходя из того, что для небольшого количества предметов решение задачи легко находится.

2. Метод включения  и исключения.

     Пусть N(A) - число элементов множества A. Тогда методом математической индукции можно доказать, что

N(A1 U A2 U ... An) = N(A1) + ... + N(An) -

- {N(A1 П A2) + ... + N(An-1 П An)} +

+ {N(A1 П A2 П A3) + ... + N(An-2 П An-1 П An)} - ...

... +(-1)^n-1*N(A1 П A2 П ... П An-1 П An).

     Метод подсчета числа элементов объединения  множеств по этой формуле, состоящий  в поочередном сложении и вычитании, называется методом включения и исключения.

3. Метод траекторий.

     Для многих комбинаторных задач можно  указать такую геометрическую интерпретацию, которая сводит задачу к подсчету числа путей (траекторий), обладающих определенным свойством.

 

      Основные  формулы комбинаторики

     Комбинаторика изучает количества комбинаций, подчиненных  определенным условиям, которые можно  составить из элементов, безразлично  какой природы, заданного конечного  множества. При непосредственном вычислении вероятностей часто используют формулы  комбинаторики. Приведем наиболее употребительные из них.

     Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же n различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок

     P_n = n!, 

     где n! = 1 * 2 * 3 ... n.

     Заметим, что удобно рассматривать 0!, полагая, по определению, 0! = 1.

     Размещениями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком. Число всех возможных размещений

     A^m_n = n (n - 1)(n - 2) ... (n - m + 1). 

     Сочетаниями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом. Число сочетаний

     С ^m_n = n! / (m! (n - m)!). 

     примеры перестановок, размещений, сочетаний

     Подчеркнем, что числа размещений, перестановок и сочетаний связаны равенством

     A^m_n = P_mC ^m_n. 

     З а м е ч а н и е. Выше предполагалось, что все n элементов  различны. Если же некоторые элементы повторяются, то в этом случае комбинации с повторениями вычисляют по другим формулам. Например, если среди n элементов есть n₁ элементов одного вида, n₂ элементов другого вида и т.д., то число перестановок с повторениями

     P_n (n₁, n₂, ...) = n! / (n₁! n₂! ... ),  

     где n₁ + n₂ + ... = n.

     При решении задач комбинаторики  используют следующие правила:

Правило суммы.

     Если  некоторый объект А может быть выбран из совокупности объектов m способами, а другой объект В может быть выбран n способами, то выбрать либо А, либо В можно m + n способами.

     Суммой А + В двух событий А и В называют событие, состоящее в появлении события А, или события В, или обоих этих событий. Например, если из орудия произведены два выстрела и А — попадание при первом выстреле, В — попадание при втором выстреле, то А + В — попадание при первом выстреле, или при втором, или в обоих выстрелах.

     В частности, если два события А  и B — несовместные, то А + В — событие, состоящее в появлении одного из этих событий, безразлично какого.

     Суммой  нескольких событий называют событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий. Например, событие А + В + С состоит в появлении одного из следующих событий: А, В, С, А и В, А и С, В и С, А и В и С.

     Пусть события A и В — несовместные, причем вероятности этих событий известны. Как найти вероятность того, что наступит либо событие A, либо событие В? Ответ на этот вопрос дает теорема сложения.

     Теорема. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

     Р (А + В) = Р (А) + Р (В).

     Доказательство:

     Введем  обозначения: n — общее число возможных  элементарных исходов испытания; m₁ — число исходов, благоприятствующих событию A; m₂— число исходов, благоприятствующих событию В.

     Число элементарных исходов, благоприятствующих наступлению либо события А, либо события В, равно m₁ + m₂. Следовательно,