Исследование устойчивости линейных САУ

Министерство образования  и науки РФ

Новосибирский государственный  технический университет

Кафедра ССОД

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Лабораторная  работа № 2

Исследование  устойчивости линейных САУ

 

 

 

 

 

 

Факультет: АВТ       Преподаватель:

Группа:        

Студенты:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Новосибирск

2012

 

1. Исходные данные:

Вариант: 4.

Номер варианта	k1	k2	T2	k3	T3	d
4	3	2	0.3	2	1.5	1.5

 

k₁

         k₂

  T₂p+1

                k₃

  T₃² p²+ 2 dT₃ р+1  

V

D

Y

2. Цель работы: Исследование влияния параметров линейной системы (рис.1) на ее устойчивость.

 

 

 

 

Рис.1. Структурная схема  исследуемой системы.

 

Система содержит пропорциональное звено (k₁), апериодическое звено первого порядка и колебательное звено .

 

3. Ход работы:

Рис.2. Модель исследуемой  системы.

 

3.1. Исследование переходного процесса системы.

На вход системы подаем единичное ступенчатое воздействие, на выходе получаем входную и выходную переменные и ошибку Δ.

Рис.3. График переходного  процесса в системе.

 

3.2.1. Экспериментальное определение критического значения коэффициента передачи k₁.

 

Необходимым условием устойчивости является положительность коэффициентов  характеристического уравнения (т.е. коэффициенты должны быть одного знака). Если хотя бы один корень располагается  на мнимой оси, а все остальные  лежат в мнимой полуплоскости, то система находится на границе  устойчивости.

 

Наличие незатухающих колебаний постоянной амплитуды на выходе свидетельствует  о положении системы на границе  устойчивости, при этом значение параметра  называется граничным или критическим.

 

Рис.4. График входного, выходного  сигнала и ошибки при k₁=6.15.

 

Из графика видно, что  при данном значении коэффициента передачи k₁=6.15 система находится на границе устойчивости.

 

3.2.2. Определение  критического значения коэффициента передачи k₁ с помощью критерия Найквиста.

 

Критерий Найквиста позволяет  судить об устойчивости системы по частотной характеристике разомкнутой системы.

Если разомкнутая система  устойчива, то замкнутая система  также будет устойчивой в том  случае, когда АФХ разомкнутой  системы W_раз(jω) не охватывает точку (-1, j0) при изменении ω от 0 до ∞.

Если разомкнутая система  неустойчивая, то замкнутая система  устойчива, если разность между положительными и отрицательными переходами АФХ  разомкнутой системы участка  действительной оси была равна половине числа корней характеристического уравнения с положительной действительной частью (правых корней).

Следовательно, замкнутая  система находится на границе  устойчивости, если АФХ разомкнутой  системы проходит через точку 

 

 

k₁

         k₂

  T₂p+1

                k₃

  T₃² p²+ 2 dT₃ р+1  

V

D

Y

 

 

 

Рис.5. Структурная схема  разомкнутой системы.

 

 

 

Следовательно, критическое  значение коэффициента k₁=6.14, вычисленное с помощью критерия Найквиста, совпадает со значением, найденным экспериментально.

 

 

 

 

 

 

 

 

Переходный процесс  при k₁=0.8k_1кр=4.92.

Рис.6. График входного, выходного сигналов и ошибки при k₁=0.8k_1кр.

 

3.2.3. Определение критического значения коэффициента передачи k₁ при увеличении коэффициента демпфирования d в два раза.

 

Рис.7. График входного, выходного  сигнала и ошибки при d=3.

 

Для значения коэффициента демпфирования d=3 критическим значением коэффициента передачи является k₁=16.8.

 

 

 

 

 

 

 

 

3.2.4. Определение критического значения коэффициента k1 при уменьшении коэффициента d в два раза.

Рис.8. График входного, выходного  сигналов и ошибки при d=0.75.

 

Для значения коэффициента демпфирования d=0.75 критическим значением коэффициента передачи является k₁=2.513.

 

3.2.5. Построение  зависимости критического значения  коэффициента передачи k₁ от коэффициента демпфирования d.

d	0.75	1.5	3
k1кр	2.513	6.15	16.8

 

Рис.9. График зависимости k_1кр=k_1кр(d).

 

 

 

3.3.1. Экспериментальное определение критического значения коэффициента демпфирования d.

Рис.10. График входного, выходного  сигналов и ошибки при d=0.8655.

 

По графику видно, что d=0.8655 является критическим значением коэффициента демпфирования.

 

3.3.2. Определение критического значения коэффициента демпфирования d с помощью критерия Гурвица.

 

Алгебраический критерий устойчивости Гурвица предполагает исследование матрицы, составленной из коэффициентов характеристического  уравнения:

 

 

Система устойчива, если все  диагональные миноры матрицы Гурвица  положительны.

Передаточная функция  замкнутой системы:

Характеристическое уравнение:

 

Коэффициент демпфирования  не может быть отрицательным, следовательно, все коэффициенты положительны.

 

 

Следовательно, d_кр =0.8648, что практически совпадает со значением коэффициента демпфирования, найденным экспериментально.

 

3.4.1. Определение критического значения постоянной времени T₂ с помощью критерия Михайлова.

Анализ устойчивости по критерию Михайлова предполагает построение на комплексной плоскости годографа при изменении ω от 0 до ∞. Система будет устойчива, если годограф, начинаясь на положительной вещественной полуоси ω=0, проходит последовательно n квадрантов против часовой стрелки, нигде не обращаясь в нуль и устремляясь в n-м квадранте в ∞.

Аналитические критерии границы  устойчивости:

Передаточная функция  замкнутой системы:

 

D<0, следовательно, действительных положительных корней не существует, следовательно, критическое значение постоянной времени T_2кр не существует.

 

4. Выводы.

Критическое значение коэффициента передачи k₁, найденное с помощью его изменения, равно k_1кр=6.15, при неизменных остальных параметрах. Значение коэффициента k₁, найденное с помощью критерия Найквиста, равно k₁=6.14, что практически совпадает со значением, установленным экспериментально.

При уменьшении параметра k₁ до 0.8k_1кр система приобретает устойчивость (колебания на выходе затухают с течением времени).

 

Критическое значение коэффициента демпфирования, найденное с помощью  изменения d, равно d_кр=0.8655. Значение коэффициента d, найденное с помощью критерия Гурвица, равно d=0.8648, что практически совпадает со значением, найденным экспериментально.

По графику зависимости k_1кр=k_1кр(d) можно определить, что с увеличением коэффициента демпфирования d критическое значение коэффициента k₁ увеличивается.

 

При заданных параметрах не удалось определить экспериментальное  и расчетное значения постоянной времени T₂, следовательно, T₂ не существует и изменение постоянной времени не влияет на устойчивость системы.