Исследование системы MathCad

              Введение

MathCAD предоставляет значительные возможности для разработки программ для решения инженерных задач. Созданные в пакете расчетные модели отличаются простотой и наглядностью, а также легко корректируются.

Одним  из важнейших факторов, определяющих уровень развития современного общества – оснащение его средствами информационно-вычислительной техники. Сфера использования ЭВМ в современном мире настолько широка, что нет такой области человеческой деятельности, где бы применение ЭВМ было бы нецелесообразным.

Использование ЭВМ значительно облегчило задачу при решении проблем, связанных с исследованием математических моделей на основе данных эксперимента.

С развитием компьютерной техники, а также с разработкой системы программирования MathCAD появилась возможность расчета с помощью ПК, что позволило упростить рутинные расчеты.

Применение современных методов и вычислительной техники позволяет находить оптимальные решения сложных задач по физике.

Целью данной курсовой работы является исследование математической модели электрической цепи с изменяющимися во времени параметрами в пакете MathCad.

В результате выполнения курсовой работы необходимо рассчитать значения функций заряда на конденсаторе в заданной электрической схеме и исследовать влияние значений изменяемого параметра на вид функции заряда на конденсаторе.

Курсовая работа призвана реализовать несколько задач, основными из них являются следующие :

- углубление и расширение теоретических знаний по математическому моделированию;

- приобретение навыков самостоятельного решения прикладной инженерной задачи с использованием компьютерных систем;

- умение формулировать выводы по проделанным исследованиям.

3

1.Численные методы решения дифференциальных уравнений в моделировании технических объектов

      1.1 Обзор численных методов  решения дифференциальных уравнений

При создании машин, технических комплексов и других объектов широко используется моделирование. Как средство познания и преобразования материального мира моделирование применяется в экспериментальных и теоретических научных исследованиях.

Моделирование согласно [1] представляет собой процесс замещения объ­екта исследования некоторой его моделью и проведение исследо­ваний на модели с целью получения необходимой информации об объекте. Модель — это физический или абстрактный образ моделируемого объекта, удобный для проведения исследований и позволяющий адекватно отображать интересующие исследовате­ля физические свойства и характеристики объекта. Удобство проведения исследований может определяться различными факторами: легкостью и доступностью получения информации, сокращением сроков и уменьшением материальных затрат на исследование.

Математическое моделирование позволяет посредством математических символов и зависимостей составить описание функционирования технического объекта в окружающей внешней среде, определить выходные параметры и характери­стики, получить оценку показателей эффективности и качества, осуществить поиск оптимальной структуры и параметров объекта. Применение математического моделирования при проектировании в большинстве случаев позволяет отказаться от физического моделирование, значительно сократить объемы испытаний и доводочных работ, обеспечить создание техниче­ских объектов с высокими показателями эффективности и качества. Одним из основных компонентов системы проектиро­вания в этом случае становится математическая модель.

Согласно [1] математическая модель — это совокупность математиче­ских объектов и отношений между ними, адекватно отображаю­щая физические свойства создаваемого технического объекта. В качестве математических объектов выступают числа, перемен­ные, множества, векторы, матрицы и т. п. Для осуществления вычислительного эксперимента на ЭВМ необходимо разработать алгоритм реализации математической модели.

4

              Алгоритмы решения многих физических задач, для которых не удается получить ответ в виде формулы, основаны на следующей процедуре: строится бесконечный процесс, сходящийся к искомому решению. Он обрывается на некотором шаге(вычисления нельзя продолжать бесконечно), и полученная таким образом величина приближенно принимается за решение рассматриваемой задачи.

С помощью математического моделирования решение научно - технической задачи сводится к решению математической задачи, являющейся ее моделью. Для решения математических задач используются следующие основные группы методов: графические, аналитические и численные.

Графические методы в ряде случаев позволяют оценить порядок искомой величины. Основная идея этих методов состоит в том, что решение находится путём геометрических построений. Например: для нахождения корней уравнения f(x)=0 строится график функции y=f(x), точки пересечения которого с осью абсцисс и будут искомыми корнями.

При использовании аналитических методов решение задачи удаётся выразить с помощью формул. В частности, если математически задача состоит в решении простейших алгебраических уравнений» дифференциальных уравнений и т.д., то использование известных из курса математики приемов сразу приводит к цели. К сожалению, па практике это слишком редкие случаи.

Главным инструментом для решения сложных математических задач в соответствии с [2]являются численные методы, позволяющие свести решение задачи к выполнению конечного числа арифметических действий над числами; при этом результаты получаются в виде числовых значений. Многие численные методы разработаны давно, однако при вычислении вручную они могли использоваться лишь для решения не слишком трудоёмких задач.

Методы Эйлера

Дифференциальные уравнения находят широкое применение в прикладных задачах. Если рассматриваемая задача сводит» к решению системы обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, как, например, большинство задач в теории электрических цепей, то ее решение может быть  найдено  в явном  виде.  Если же дифференциальные уравнения  имеют переменные  коэффициенты или являются нелинейными, то  их решение,  как правило,   приходиться   искать   численно. Использование   ЭВМ   значительно облегчило использование дифференциальных уравнений, позволяет решать такие задачи, к которым при ручном счете даже не приступали.

5

Рассмотрим дифференциальное уравнение

y'=f(x,y)                                                                                                                                     (1.1)

в предположении, что функция f(xty) дифференцируема в некоторой окрестности точки {х0,у0). Задача Коши для дифференциального уравнения (1.1) формулируется так: найти решение у(х) уравнения (1.1), удовлетворяющее условию y(xQ)= yQ.

Предположим, что известно решение у(х) уравнения (1.1) в точке хп и требуется найти у(хп + h). Из очевидного равенства

              хn +h

y(xn+h)=y(xn)+∫y’(x)dx                                                                                                     (1.2)

                xn

учитывая уравнение (2.1), получаем равенство

                          xn+h

у(хn+h)=у(хn)+∫ f(x,y(x))dx                                                                                   (1.3)

               xn

По формуле Тейлора:                

Отбрасывая в этом выражении члены порядка 0(h2) и получая хn+1= xn+h, yn=y(xn), yn+1=y(xn+1), выводим формулу Эйлера 

Yn+1=yn+hf(xn,yn); n=0,1,….                                                                                    (1.4)

Для получения более точной расчетной формулы, вычислим по формуле трапеций стоящей в правой части равенства (1.3) интеграл; имеем:

у(хn + h) = у(хn) + h/2 (f(xn, у(хn)) + f(хn+1, у(хn+1)))                                          (1.5)

По формуле Тейлора справедливо равенство

         f(xn+1,y(xn+1))=f(xn+1,yn+hf(xn,yn))+0(h2) .                                                        (1.6)

Отбрасывая в предыдущем выражении члены порядка о(h3) и получая

   y*n+1=yn+hf(xn,yn), выведем расчетную формулу

        yn+1=yn+h/2(f(xn,yn)+f(xn+1,y*n+1))                                                                      (1.7)

погрешность которых имеет величину порядка 0(h3). 

Формула (1.7) называется формулой Эйлера-Коши.

Методы Рунге-Кутта

Оценка погрешности на каждом шаге интегрирования уравнения, (1.1) по методу Рунге-Кутта   имеет   порядок    0(hs+1).   Полную   оценку   погрешности   можно произвести аналогично тому, как это было сделано выше для метода Эйлера.

6

Поскольку многие дифференциальные уравнения высших порядков могут быть сведены заменой переменных к системе дифференциальных уравнений первого порядка, рассмотренные методы могут быть использованы и для решения дифференциальных уравнений порядка выше первого.

1.2 Реализация численных методов решения дифференциальных уравнений в MathCad

Система  MathCAD разработана фирмой MathSoft(CШA)  и  является  на данный момент единственной математической системой, в которой описание решения математических задач задается с помощью привычных математических формул и знаков. В названии системы аббревиатура САД являющаяся сокращением от Computer Aided Design, указывает на принадлежность системы ж системам автоматизированного проектирования.

Вычислительные возможности системы применяются для решения множества задач из области математики, физики, экономики, инженерных расчётов, научных исследований.

Для решения обыкновенных дифференциальных уравнений в системах MathCAD согласно [3] предусмотрены четыре функции, обеспечивающие:

odesolve(x, x2,[m]) - решение одного обыкновенного дифференциального уравнения методом Рунге-Кутта с постоянным (по умолчанию) или адаптивно вычисляемым системой шагом интегрирования;

rkfixed(y0,xl,x2,m,D) - решение уравнений методом Рунге-Кутта с постоянным шагом интегрирования, равным (х2 - xl)/m;

Rkadapt(yO,xl,x2,m,D) - решение уравнений методом Рунге-Кутта с шагом интегрирования, адаптивно выбираемым в зависимости от характера изменения у(х);

Bulstoer(yO,xl,x2,m,D) - решение уравнений методом Булирш-Штоера.

Обозначения основных параметров, которые используются в качестве аргументов большинства встроенных функций:

у - (n х 1) - вектор результирующих переменных (n 1);

у0 - (n х 1) - вектор начальных значений переменных;

х, х1, х2 - аргумент, левая и правая границы его диапазона соответственно;

т - число точек, в которых находится решение внутри интервала (xl, х2);

D(x,y) - (n х 1) - вектор правых частей системы дифференциальных уравнений первого порядка, соответствующий первым производным вектора у. Этот вектор должен быть предварительно, до использования какой-либо функции, введен в виде выражения              D(х,у): = (правые части уравнений).

7

быть предварительно, до использования какой-либо функции, введен в виде выражения D(х,у): = (правые части уравнений).

При п = 1 решение ищется для одного дифференциального уравнения.

Результаты решения задач интегрирования систем дифференциальных уравнений    с    использованием    функций    rkfixed,    Rkadapt,    Bulstoer формируются системами MathCAD в виде (т+ 1) * (п + 1) - матрицы (таблицы), первый столбец которой содержит значения аргументов от x1 до x2, а остальные п ее столбцов образуются значениями элементов вектора у переменных   состояний, исследуемой   системы.   Таким   образом,   число элементов  каждого  из  столбцов  результирующей  матрицы  определяется параметром т, введенным в качестве аргумента соответствующей функции.

Функция  rkfixed имеет следующие аргументы:

Mathcad включает ряд функций для вычисления регрессии. Обычно эти функции создают кривую или поверхность определенного типа, которая в некотором смысле минимизирует ошибку между собой и имеющимися данными. Функции отличаются прежде всего типом кривой или поверхности, которую они используют, чтобы аппроксимировать данные согласно [4].

В отличие от функций интерполяции эти функции не требуют, чтобы аппроксимирующая кривая или поверхность проходила через точки данных. Функции регрессии гораздо менее чувствительны к ошибкам данных, чем функции интерполяции. Конечный результат регрессии — функция, с помощью которой можно оценить значения в промежутках между заданными точками.

Виды регрессии обычно называются по типу аппроксимирующих функций: полиномиальная, экспоненциальная, логарифмическая и т.п.

8

Линейная регрессия в системе Mathcad выполняется по векторам аргумента Х и отсчетов Y функциями:

                  intercept(X,Y) – вычисляет параметр а, смещение линии регрессии по вертикали;

                   slope(X,Y) – вычисляет  параметр b, угловой коэффициент линии регрессии.

9

2 Алгоритмический анализ задачи

     2.1  Постановка задачи

1.                            С использованием системы MathCAD рассчитать значения функций напряжения на конденсаторе в заданной электрической схеме. Построить графики функции сопротивления и функции напряжения.

2.                            Исследовать влияние значений изменяемого параметра на максимальное значение напряжения на конденсаторе.

3.                            Построить сводный график всех полученных функций напряжения на одном поле.

4.                            Подобрать аналитическую аппроксимирующую функцию по результатам исследований пункта 2. Построить графически исходную и аппроксимирующую зависимости

2.2   Описание математической модели

Электрическая цепь, приведенная на рисунке 2.1 описывается дифференциальным уравнением первого порядка вида

                                                                      (2.1)

Здесь R(t) определяется графически (рисунок 2.2)

Исходные данные:

Сила тока в источнике J = 11А 

Исходная емкость конденсатора С=5 мкФ    

Начальное значение напряжения на конденсаторе Uс0 = 10  

Время, равное полупериоду изменения R(t) t=6 мкс   

10

Время исследования Т= 2*2=4 мкс    

Функция для решения дифференциального уравнения- rkfixed

Вид аппроксимирующей зависимости и функция MathCAD 

для аппроксимации  - Ax2+С

Варьируемый параметр J

Функция исходного сопротивления, заданная графически

Рисунок 2.2 -График функции сопротивления

2.3 Графическая схема алгоритма и ее описание

Графическая схема алгоритма, изображенного на рисунке 2.3 имеет вначале линейный тип зависимости: ввод исходных данных, определение математической модели – дифференциального уравнения, решение этого уравнения и построение графиков, а затем циклический тип зависимости – решение уравнения и построение графиков для 10 опытов.

11

Рисунок 2.3- Графическая схема алгоритма

12

3 Описание реализации задачи в MathCAD

3.1 Описание реализации базовой модели в MathCAD

Рабочая область для ввода программы в MathCad представляет собой чистый лист, разбитый на отдельные страницы зелеными линиями.

Курсор представляет собой красный крест. После начала ввода формулы курсор принимает форму линии, а область ввода формулы выделяется прямоугольником. Место ввода очередного символа представляется черным квадратом. Любой введенный с клавиатуры символ (если курсор – красный крест) воспринимается как начало формулы. Ввод текста должен предваряться нажатием клавиши «“». Текстовый блок отчеркивается черным прямоугольником. С текстом можно производить следующие действия: изменять шрифт и размер, делать курсивным, жирным, подчеркнутым и т. д.

Создаем базовую модель в Mathcad

Определим  функцию сопротивления в зависимости от времени

График зависимости сопротивления от времени

Рисунок 3.1 –Базовая модель в MathCad

13

Построение графика начинается либо с нажатия клавиши «@», либо с вызова вида графика со специальной панели для построения графиков. После этого вместо квадратиков, расположенных посередине осей необходимо ввести переменные, для которых строится график. Для изменения параметров графика необходимо дважды щелкнуть на изображении графика.

Решаем дифференциальное уравнение при помощи функции rkfixed(y, х1, х2, п, F) — возвращает матрицу решений методом Рунге — Кутта системы обыкновенных дифференциальных уравнений Функция  rkfixed, подробно описана в п.1.2 записки.

- начальное условие 

Решаем дифференциальное уравнение первого порядка

   - производная

             - вычисление решения в 1000 точках на отрезке 0-4

Матрица ,полученная в результате решения, содержит два столбца: первый столбец

содержит значения t,в которых ищется решение; второй столбец содержит u(t)

По результатам расчета строим график и находим значение функции напряжения в точке с максимальным значением, в нашем случае t=4 мкс

Рисунок 3.2 –График в MathCad

14

3.2  Описание исследований

Исследуем влияние исходной силы тока на функцию напряжения. Для этого зададим ее в виде вектора Ji = 16-25 А с фиксированным шагом =1.

Для ввода ранжированной переменной необходимо после ввода первого значения диапазона нажать клавишу «;». Данная клавиша преобразуется на экране в вид «..».

И проведем расчет дифференциального уравнения для всех значений Ji

Значение силы тока  

Фукнкция заряда 

Построим сводный график (Приложение Б, рисунок Б.1) и сделаем выводы по результатам исследований о влиянии изменения силы тока  на функцию напряжения.

15

           Выполним аппроксимацию функции полученной зависимости при помощи стандартной функции genfit согласно заданной аппроксимирующей зависимости. Найдем коэффициенты А, С и построим графики исходной и аппроксимирующей функций

Определяем начальное приближение

Определяем функцию

Определяем коэффициенты регрессии

В результате проведенных исследований напряжения электрической цепи с изменяющимся во времени параметрами конденсатора мы рассчитали значение функции напряжения u(t) и построили графики зависимости данных функций от времени исследования. Можно сделать вывод о том, что с увеличением времени воздействия функция напряжения увеличивается до времени, равного времени полупериода исследования t=6 мкс .

Также, изменяя варьируемый параметр силы тока в сторону увеличения, мы сделали вывод о том, что при увеличении силы тока максимальное значение функции напряжения возрастает, т.е. сила тока прямо пропорциональна напряжению.

При проведении аппроксимации  нелинейной регрессией максимальных значений функции напряжения, полученной по результатам исследования, мы получили коэффициенты заданной зависимости и построили графики исходной и аппроксимирующей зависимости (Приложение Б, рисунок Б.2)

16

              Заключение

В результате выполнения курсовой работы мы разработали математическую модель электрической цепи и произвели исследование изменяющихся во времени параметров на функцию напряжения. Также мы определили, что с увеличением силы тока электрической цепи возрастает напряжение и произвели аппроксимацию полученной в результате исследований зависимости.

Создание математических моделей электрических цепей  позволяет ускорить и упростить весь процесс разработки, а также предположить поведение электрической цепи в различных условиях и режимах работы.

Построенная модель может быть использована для исследования процессов, происходящих в электрических цепях. Благодаря данной курсовой работе мы приобрели  навыки работы с ПК в системе Mathcad, умение работать с векторами, решать уравнения  и составлять графики в пакете Mathcad, а также убедились в эффективности системы Mathcad при проведении рутинных расчетов параметров математических моделей при изменении тех или иных параметров.

В первой главе приведен краткий обзор математических моделей и численных методов решения дифференциальных уравнений, а также описываются отличительные особенности пакета MathCAD и основные функции, используемые для решения дифференциальных уравнений.

Вторая глава посвящена алгоритмическому анализу задачи. В ней приводится исходные и результирующие данные, математическая модель, на основании которой разрабатывается графическая схема алгоритма решения задачи.

В третьей главе кратко описываются основные приемы создания документа в этой среде и выводы, полученные в результате выполнения данной работы. Документ MathCAD со всеми результатами приведен в приложении. Работа соответствует поставленному заданию.

Таким образом, используя разработанный программный продукт, пользователь может, избегая трудоемких расчетов, легко получить решения уравнений.

17

Список использованных источников

1.                  Тарасик В.П. Математическое моделирование технических систем : Учебник для вузов 2-е изд., испр. и доп./В.П. Тарасик  – Мн.:Дизайн-ПРО,2004-604с.

2.                  Очков В. Ф. Mathcad PLUS 6.0 для студентов и инженеров.- М.: Компьютер-Пресс, 1996 -238 с.Дьяконов В.П. Справочник по MathCAD PLUS 7.0 PRO:      Универсальная система математических расчетов. - М.: СК Пресс, 1998.-320с

3.                  Турчак  Л. И.     Основы численных методов: Учебное пособие для студентов высших учебных заведений / Л. И. Турчак, П. В. Плотников.- 2-е изд., перераб. и доп.- М.: Физматлит, 2003.- 304 с.

4.                  Трохова Т. А. Практическое руководство к курсовому проектированию по одноименному курсу для студентов технических специальностей дневной и заочной форм обучения/ Т. А. Трохова, Н.В. Самовендюк, Т.Л. Романькова - Гомель: ГГТУ им. П.О. Сухого, 2005-34с.

5.                  Бессонов Л.А. Демидова И.Г. Теоретические основы электротехники- М.: Высшая школа,1988-206с.

6.                  http://www.chebot.ru/history.php

7.                  http://www.mark-itt.ru/FWO/quick_r.html

18