Игровые подходы к принятию решения

Задача  фермера.

В данной игре участвуют 2 игрока: фермер и природа (климатические факторы).

У первого  игрока – фермера имеется 100 га земли, и он должен принять решение о  посеве на этой земле 3 видов зерновых культур: А1, А2,А3.

У фермера  также имеются все сведения по урожайности этих культур на своих площадях в сочетании с основными климатическими факторами (количество осадков и средняя температура в летний сезон). Для упрощения анализа фермер выделяет три градации количества осадков:

Н-нормальное

З-засушливое

Д-дождливое.

Для фактора  температуры фермер выделяет две  градации:

Н-нормальная

Ж-жаркая.

Известна  статистика по урожайности ц/га и  предлагаемые цены реализации.

Таблица №1. 

Таблица№2. 

Перемножая  цены на урожайности, получаем таблицу  доходности фермера для всех культур в различных вариантах климатических условий – платежную матрицу игры фермера сл вторым игроком – природой.

 Таблица  №3.

 

Проведем  анализ этой матрицы с точки зрения наличия седловой точки. Фермер будет  получать гарантированно не меньше минимального дохода по каждой культуре с одного га. Таким образом, наилучшим выбором для фермера будет культура А2 (см.таблицу3), так как ее посев гарантирует максимальный из минимальных доходов. Этот доход (α=9) является нижней ценой игры.

Второй  же игрок (природа) выбирает наименьший из проигрышей (для него проигрыш там ,где у первого игрока наименьший выигрыш), то есть верхняя цена β = 15

Как мы видим, α≠β, следовательно, седловой точкой не наблюдается.

Далее введем вектор смешанной стратегии  первого игрока: 
 
 

∑xi=1

0≤xi≤1

x₁ – доля всех га, засеваемая данной культурой

 Для второго игрока вектора Y 

∑yi=1

0≤yi≤1

 Проведём  анализ платежной матрицы на  присутствие доминирующих стратегий   для упрощения игры. 

Сначала сравним между собой столбцы  – стратегия второго игрока.

1 и  2: 12=12; 15<18; 12<15

Набор проигрышей второго игрока при выборе им второй стратегии хуже набора при  первой стратегии, следовательно, первая стратегия доминирующая. 

5 и 6: 21=21; 12<9; 21<18

Пятая стратегия доминирующая

Остальные стратегии несравнимы.

В оставшейся платежной матрице первая стратегия  первого игрока является доминирующей по отношению к третьей ( х3=0) ,а  первая и вторая не сравнимы. 

Таблица 4

Оставшаяся  матрица 

Таблица 5

Найдем  смешанную стратегию при помощи графического метода решения матричных игр.

Если  первый игрок будет сажать культура А,  то его выигрыш составит:

Случай 1 климатического сценария γ(β₁)=15-3X₁

Случай 3 климатического сценария γ(β₃)=24-15X₁

Случай 4 климатического сценария γ(β₄)=30-27X₁

Случай 5 климатического сценария γ(β₅)=12X₁+9

Отобразим их на графике: 
 

Фермер  может себе гарантировать результаты нижней огибающей семейства средних  выигрышей и среди этих результатов, естественно, выбирает максимальный, т.е. максимум функций по огибающей. 

Найдем этот максимум с помощью программы МатКад

Вставка 

Получаем  оптимальную смешанную стратегию  первого игрока

X1= 0.4

X2=1-x1=0.6

X3=0

 Это  означает ,что оптимальная стратегия  фермера – засеять 40% земли  первой злаковой культурой .а  60% второй, а третью культуру- не засевать вообще. При этом средний доход с одного га будет равен 13800 рублей.