Дешифрування системи RSA

 

УДК 51

 

 

МІНІСТЕРСТВО  ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

 

 

 

 

 

Дешифрування системи RSA

 

 

Пояснювальна  записка до курсової роботи (проекту)

 

з дисципліни «Дискретна математика»

назва дисципліни

 

 

 

 

Виконав студент гр._________________

______________ (№ групи)             (П.І.Б.)

       (підпис, дата)

 

Керівник  ___________________________

                               (науковий ступінь, вчене звання)

___________________________________

       (підпис, дата)                                        (П.І.Б.)

Нормоконтролер ____________________

                               (науковий ступінь, вчене звання)

___________________________________

       (підпис, дата)                                        (П.І.Б.)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2007

Содержание

Содержание 2

Введение 3

1 Техническое задание 5

2 Алгоритм шифрования RSA 6

2.1 Описание RSA 6

2.2 Нахождение простых чисел 6

2.3 Нахождение взаимно простых чисел 7

2.4 Решение уравнения Диофанта 8

2.5 Большие числа и работа с ними 8

2.5.1 Хранение больших чисел, алгебраическое сложение, умножение 9

2.5.2 Алгоритм быстрого возведения в степень 9

2.5.3 BigInteger 10

3 Средства взлома 11

3.1 Алгоритм взлома основанный на факторинге 12

4 Руководство пользователя 13

Выводы 16

Список использованной литературы 17

Приложение А (листинг основных модулей) 18

Приложение Б (диск с программой и документацией) 31

 

 

Введение

Быстрое развитие процессов  автоматизации, проникновение компьютеров  во все сферы жизни повлекли за собой, помимо несомненных преимуществ, ряд специфических проблем. Одной  из таких проблем стала необходимость  обеспечения эффективной защиты информации. Особенно стоит отметить широкое распространение персональных компьютеров и создание компьютерных сетей. С целью предотвращения проникновения  злоумышленника в компьютеры организаций  и частных лиц было создано  немало различных систем безопасности. Однако полностью гарантировать  предотвращение несанкционированного доступа к данным, хранящимся на компьютерах, очень сложно. Очень  часто бреши в системе защиты возникают по вине тех, чьи секреты  эти системы охраняют. Еще большую  опасность с точки зрения несанкционированного доступа к информации представляет собой процесс передачи информации по сети. Стоит также отметить, что  после появления "электронных  денег" и возможности осуществления  торговых операций через Интернет злоумышленник  получил возможность не просто переписать или испортить данные, находящиеся  на компьютере или пересылаемые по сети, но и украсть деньги с электронного счета. В случае, когда настойчивый злоумышленник все-таки получил доступ к данным, последним средством, призванным защитить информацию, является шифрование.

В настоящее время проблемами шифрования и дешифрования занимается наука криптология, состоящая из двух ветвей: криптографии и криптоанализа. Соответственно, криптография – это наука о способах преобразования (шифрования) информации с целью ее защиты от незаконных пользователей, а криптоанализ – наука о методах и способах вскрытия шифров (и ее практическое применение).

Фактически, криптоанализ представляет собой набор математических методов  вскрытия алгоритмов шифрования. Здесь  явно прослеживается то же эволюционное противодействие, что и в случае брони и снаряда: появляются все более стойкие (без потери в других важных характеристиках – например, в быстродействии) алгоритмы шифрования, в ответ на которые изобретаются все более совершенные методы их взлома.

Современная криптография исходит  из принципа, что стойкость криптографического преобразования должна обеспечиваться только сохранением в тайне ключа. При проектировании криптографической  системы изначально предполагается, что алгоритм является открытым (или  как минимум известен вероятному противнику), а ключ, наоборот, надежно  защищен. Стойкость алгоритма шифрования обычно оценивают в количестве типовых операций, требующихся для дешифрования зашифрованного сообщения и/или подбора ключа шифрования наилучшим алгоритмом. Криптоанализ традиционно используется для решения таких задач, как восстановление исходной информации по ее криптограмме, вычисление закрытого ключа по известному открытому, формирование электронной цифровой подписи сообщения без знания закрытого ключа, а также создание фальшивого электронного документа, соответствующего известной подписи.

В данной работе рассмотрим алгоритмы шифрования и дешифрования системы RSA и проведём её криптоанализ.

1. Техническое задание

Реализовать алгоритм восстановления секретной части ключа и дешифровать текст. Исходными данными является открытая часть ключа (число не более ) и текст, закодированный с помощью алгоритма RSA.

2. Алгоритм шифрования RSA

RSA относится к так называемым  асимметричным алгоритмам, у которых  ключ шифрования не совпадает  с ключом дешифровки. Один из  ключей доступен всем (так делается  специально) и называется открытым  ключом, другой хранится только  у его хозяина. С помощью  одного ключа можно производить  операции только в одну сторону.  Если сообщение зашифровано с  помощью одного ключа, то расшифровать  его можно только с помощью  другого. Имея один из ключей  невозможно (очень сложно) найти  другой ключ, если разрядность  ключа высока.

1. Описание RSA

Алгоритм RSA состоит из следующих  пунктов:

1. Выбрать простые числа и .
2. Вычислить .
3. Вычислить .
4. Выбрать число взаимно простое с .
5. Выбрать число так, чтобы .

Числа и являются ключами. Шифруемые данные необходимо разбить на блоки – числа от до . Шифрование и дешифровка данных производятся следующим образом:

• шифрование: ;
• дешифровка: .

Следует также отметить, что  ключи  и равноправны, т. е. сообщение можно шифровать как ключом , так и ключом , при этом расшифровка должна быть произведена с помощью другого ключа.

2. Нахождение  простых чисел

В первом пункте алгоритма RSA сказано, что необходимо выбрать  два простых числа  и . Как это сделать, если числа имеют большую разрядность? Простой способ – деление предполагаемого простого числа на все числа меньшие его не работоспособен уже с 32-битными числами (требуется очень много времени на выполнение).

Для нахождения всех простых  чисел не больше заданного числа , рассмотрим метод Эратосфена, который реализуется следующим образом:

1. Выписать подряд все целые числа от двух до .
2. Пусть переменная изначально равна двум – первому простому числу.
3. Вычеркнуть из списка все числа от до , делящиеся на (то есть, числа , , , …)
4. Найти первое, не вычеркнутое число, большее чем , и присвоить значению переменной это число.
5. Повторять шаги 3 и 4 до тех пор, пока не станет больше, чем
6. Все не вычеркнутые числа в списке – простые числа.

На практике, алгоритм можно  немного улучшить следующим образом. На шаге 3, числа можно вычеркивать, начиная сразу с числа , потому что все составные числа меньше его уже будут вычеркнуты к этому времени. И, соответственно, останавливать алгоритм можно, когда станет больше, чем .

Так же для выработки простых чисел используют вероятностные методы, один из которых будет здесь представлен. Вероятностные методы не дают полной гарантии, что найденное число простое, но при достаточно небольшом количестве операций позволяют получить очень высокую вероятность этого.

Алгоритм поиска простых  чисел:

1. – нечетное число. Найти и , удовлетворяющие уравнению: .
2. Случайным образом выбрать число , .
3. Если делится на , перейти к пункту 6.
4. Если условие выполняется, перейти к пункту 2.
5. Если найдется такое , , что , перейти к пункту 2.
6. Число – составное: выбрать другое нечетное число , перейти к пункту 1.

Если для какого-либо числа  проверено чисел , то математически доказанная вероятность того, что число является составным, будет приблизительно равна . Следовательно, для числа , состоящего из бит, целесообразно проверить различных значений . Если во время этого не обнаружится, что – число составное, то вероятно число является простым.

Число не может превышать количества бит в числе. Числа и находятся при помощи двоичного сдвига числа , пока младший разряд не станет . В результате – количество сдвигов, – число после сдвига.

3. Нахождение  взаимно простых чисел

На шаге 4 алгоритма RSA необходимо найти число взаимно простое с . Число должно быть меньше , т. о. разрядность числа равна сумме бит в числах и . Для нахождения взаимно простых чисел используется алгоритм Евклида, который находит наибольший общий делитель двух чисел. Если найденный делитель больше единицы, то необходимо выбрать другое число и повторить проверку.

Алгоритм Евклида:

1. Исходные числа и .
2. Вычислить – остаток от деления на : .
3. Если , то – искомое число (наибольший общий делитель), конец.
4. Заменить пару чисел парой , перейти к пункту 2.

При вычислении наибольшего  общего делителя с помощью алгоритма  Евклида будет выполнено не более  операций деления с остатком, где есть количество цифр в десятичной записи меньшего из чисел и . На практике алгоритм работает очень быстро.

4. Решение уравнения Диофанта

В 5-м пункте алгоритма RSA предполагается нахождение такого числа , чтобы . Для этого нужно использовать модифицированный алгоритм Евклида, который работает только в том случае, если числа и взаимно просты. Вычисление числа сводится к решению уравнения в натуральных числах. Число не существенно.

Алгоритм решения уравнения :

1. Необходимо определить матрицу .
2. Вычислить – остаток от деления на : .
3. Если , то второй столбец матрицы дает решение , конец.
4. .
5. Заменить пару чисел , парой , перейти к пункту 2.

В данном алгоритме все  вычисления можно производить по модулю большего из чисел  и . Отрицательное число заменяется положительным, полученным путем вычитания числа из числа, взятого в качестве модуля. Например, если из чисел и большим является число , то все вычисления можно производить по модулю числа , при этом будет представлено как . Скорость работы алгоритма и количество производимых им операций примерно равно соответствующим параметрам алгоритма Евклида, описанного выше.

5. Большие числа  и работа с ними

На данный момент времени  рекомендуется в качестве чисел  и брать числа, длиной не менее бит. Чтобы подобрать ключ такой длины потребуется $1000000 и примерно год времени. Ключ в бит является достаточно надежным для обычных целей шифрования. Для повышенной безопасности рекомендуется брать ключи размером бит. Т. о. числа и должны иметь разрядность вдвое ниже чисел , , и ( и рекомендуется брать примерно одного порядка, но не слишком близко друг к другу).

Действия со столь большими числами требуют специальных  алгоритмов и структур данных. Основные вопросы этой области: как хранить эти числа, как их складывать, умножать, делить, брать остаток от деления, возводить в большую степень по модулю целого числа.

1. Хранение  больших чисел, алгебраическое сложение, умножение

Числа лучше всего хранить в массиве 2-х байтовых переменных. Об отрицательных числах можно забыть: использоваться не будут, т. к. их всегда можно заменить на обратные. Переменные в 2 байта удобны при умножении при работе с языками высокого уровня: результат будет 4-х байтовым и потом его можно разделить на две части для дальнейшей обработки.

Умножение производится с  помощью обычного алгоритма умножения "в столбик". Есть также и  более эффективные алгоритмы  умножения, но у них существует понятие "обменной точки" – необходимой длины числа для того, чтобы алгоритм начал выигрывать по скорости в сравнении с простым алгоритмом. Обычный алгоритм работает вполне нормально. Для ускорения работы лучше использовать более быстрый алгоритм, но и более сложный в реализации.

Сложение и вычитание  также производятся "в столбик".

2. Алгоритм  быстрого возведения в степень

В алгоритме RSA много возведений в степень по модулю натурального числа. Остаток от деления берется после каждого умножения. Таким образом, при перемножении двух чисел, состоящих из бит, потребуется -битное число, которое затем делится на модуль и получается остаток, опять же состоящий из бит (если модульное число состоит из бит).

Сложность этого алгоритма  может быть оценена как , где – модуль, по которому производится умножение. Запись означает, что для реализации алгоритма потребуется порядка операций. Например, если число имеет разрядность бит (при этом длина не менее бит), то умножение по модулю необходимо будет провести порядка раз, что относительно немного.

Алгоритм вычисления :

1. Число представить в двоичной системе счисления: , где – цифры в двоичном представлении, равные или ,
2. Положить , затем для вычислить
3. есть искомое число