Зеркальная симметрия в пространстве

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ДОКЛАД  ПО ГЕОМЕТРИИ НА ТЕМУ:

«ЗЕРКАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ» 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Семёновой Екатерины 11 «В» 

Симметрия относительно плоскости

(зеркальная  симметрия) 
 
 
 

Понятие: 

 Рассмотрим произвольную  плоскость α  в пространстве и такое отображение пространства на себя, при котором каждая точка M этой плоскости остается на месте, а точка , не принадлежащая α, переходит в такую точку M₁, что плоскость α перпендикулярна отрезку MM₁ и проходит через его середину. Это отображение называется симметрией пространства относительно плоскости .  

Можно доказать, что  симметрия относительно плоскости  есть движение, т.е. при этой симметрии  сохраняются расстояния между точками. Поэтому прямые переходят в прямые, отрезки --- в равные им отрезки, плоскости --- в плоскости. 

Говорят, что фигура симметрична относительно некоторой  плоскости, если при симметрии относительно этой плоскости фигура переходит  сама в себя. Такая плоскость называется плоскостью симметрии фигуры. Например, сфера и шар симметричны относительно любой плоскости, проходящей через  их центр, прямой круговой цилиндр и  прямой круговой конус симметричны  относительно любой плоскости, проходящей через их ось, правильная n-угольная пирамида при четном n  симметрична относительно любой плоскости, проходящей через ее высоту и наибольшую диагональ основания. Аналогично для правильной призмы.

      

Математически верное определение: 

 Пусть α --- произвольная фиксированная плоскость. Из точки X  фигуры опускаем перпендикуляр XA  на плоскость α  и на его продолжении за точку A  откладываем отрезок AX’, равный XA. Точка X’  называется симметричной точке X относительно плоскости α, а преобразование, которое переводит точку X в симметричную ей точку X’, называется преобразованием симметрии относительно плоскости α. 

Если точка X’  лежит в плоскости α, то считается, что точка X  переходит в себя. 

Если преобразование симметрии относительно плоскости  α переводит фигуру в себя, то фигура называется симметричной относительно плоскости α, а плоскость α называется плоскостью симметрии этой фигуры.  

Осевая  симметрия: 

На плоскости говорят об осевой симметрии. 

Для фигуры, переходящей  в себя при осевой симметрии, прямая, образованная неподвижными точками  движения, называется осью симметрии  этой фигуры. Примером оси симметрии  отрезка является его серединный перпендикуляр. 
 

Истроическая  справка: 

 Греч. σνμμϵτρια --- соизмеримость. В обиходе: соразмерность, правильное соотношение частей. В древности понятия симметрии не существовало; в частности, у Евклида не рассмотрены свойства симметрии квадрата, ромба, прямоугольника, параллелограмма и правильных тел. В "Элементах геометрии" Лежандра (1752-1833) впервые введено понятие симметрии (многогранников относительно плоскости); рассматривается два вида равенства; доказана теорема: "Если P симметричен Q, а Q --- R, то P конгруэнтен R". 

Это математическое понятие описывает соотношение  в оптике объектов и их (мнимых) изображений  при отражении в плоском зеркале, а также многие законы симметрии (в кристаллографии, химии, физике, биологии и т. д., а также в искусстве  и искусствоведении)  

_{Примеры зеркальной симметрии:} 
 

СИММЕТРИЯ В  ФИЗИКЕ. 

Принципы симметрии  являются в физике инструментом для  отыскания новых законов природы. К числу симметрийных принципов  относится принцип относительности  Галилея и Эйнштейна В 1894 г. на свет появилась последняя работа Пьера Кюри, посвящённая симметрии физических явлений. Статья называлась "О симметрии физических явлений: симметрия электрического и магнитного поля" Именно в этой работе и были сформулированы наиболее глубокие идеи учёного, касающиеся универсальной роли симметрии в природе

 Пьер Кюри.

 
 
 

Во взаимоперпендикулярных плоскостях симметрично и распространение  электромагнитных волн  

 
 

Ещё одним учёным, который пытался объяснить симметрию  с точки зрения физики, был Е.С.Фёдоров. Исходя из принципов симметрии, он доказал, что существует конечное число типов  кристаллов.

 
 
 
 
 

СИММЕТРИЯ В  ХИМИИ. 

Симметрия обнаруживается также и на атомном уровне изучения вещества. Она проявляется в недоступных  непосредственному наблюдению геометрически  упорядоченных атомных структурах молекул. 

В 1810 году Д.Дальтон, желая показать своим слушателям как атомы комбинируясь образуют химические соединения, построил деревянные модели шаров и стержней. Эти модели оказались превосходным наглядным  пособием. 

Молекула воды имеет  плоскость симметрии (прямая вертикальная линия). Ничто не изменится, если поменять местами парные атомы в молекуле; такой обмен эквивалентен операции зеркального отражения 

 
 
 

Исключительно важную роль в мире живой природы играют молекулы ДНК (дезоксирибонуклеиновая кислота). Это двуцепочечный высокомолекулярный полимер, мономером которого являются нуклеотиды. Молекулы ДНК имеют структуру  двойной спирали, построенной по принципу комплементарности). 
 

 
 
 
 
 

В молекуле метана СН4 атом углерода связан с четырьмя одинаковыми  атомами водорода. Физическое равноправие  всех четырёх связей между атомами  углерода и водорода естественным образом  согласуется с пространственной структурой молекулы метана в виде тетраэдра, в вершине которого находятся  атомы водорода, а в центре - атом углерода

 
 
 

СИММЕТРИЯ В  БИОЛОГИИ. 

На явления симметрии  в живой природе обратили внимание ещё в Древней Греции пифагорейцы  в связи с развитием учения о гармонии (V век до н.э.). В XIX веке появились единичные работы, посвящённые  симметрии в растительном и животном мире. 

В XX веке усилиями российских учёных - В Беклемишева, В Вернадского, В Алпатова, Г.Гаузе - было создано  новое направление в учении о  симметрии - биосимметрика, которое, исследуя симметрии биоструктур на молекулярном и надмолекулярном уровнях, позволяет  заранее определить возможные варианты симметрии в биообъектах, строго описывать внешнюю форму и  внутреннее строение любых организмов. 

СИММЕТРИЯ У  РАСТЕНИЙ. 

Характерная для  растений симметрия конуса хорошо видна  на примере любого дерева. 

Дерево поглощает  из почвы влагу и питательные  вещества за счёт корневой системы, то есть внизу, а остальные жизненно важные функции выполняются кроной, то есть наверху. Поэтому направления "вверх" и "вниз" для дерева, существенно различны. А направления  в плоскости, перпендикулярной к  вертикали, для дерева фактически неразличимы: по всем этим направлениям к дереву в равной мере поступают воздух, свет, и влага. В результате появляется вертикальная поворотная ось и вертикальная плоскость симметрии 

 

У цветковых растений в большинстве проявляется радиальная и билатеральная симметрия. Цветок считается симметричным, когда каждый околоцветник состоит из равного  числа частей. Цветки, имея парные части, считаются цветками с двойной  симметрией и т.д. Тройная симметрия  обычна для однодольных растений, пятерная - для двудольных  
 
 

СИММЕТРИЯ У  ЖИВОТНЫХ. 

Под симметрией у  животных понимают соответствие в размерах, форме и очертаниях, а также  относительное расположение частей тела, находящихся на противоположных  сторонах разделяющей линии. 

Сферическая симметрия  имеет место у радиолярий и  солнечников, тела которых сферической  формы, а части распределены вокруг центра сферы и отходят от неё. У таких организмов нет ни передней, ни задней, ни боковых частей тела, любая  плоскость, проведённая через центр, делит животное на одинаковые половинки. 

При радиальной или  лучистой симметрии тело имеет форму  короткого или длинного цилиндра либо сосуда с центральной осью, от которого отходят в радиальном порядке части тела. Это кишечнополостные, иглокожие, морские звёзды. 

При билатеральной  симметрии осей симметрии три, но симметричных сторон только одна пара. Потому что две другие стороны - брюшная  и спинная - друг на друга не похожи. Этот вид симметрии характерен для  большинства животных, в том числе  насекомых, рыб, земноводных, рептилий, птиц, млекопитающих  
 

СИММЕТРИЯ У  ЧЕЛОВЕКА. 

Тело человека построено  по принципу двусторонней симметрии. Большинство  из нас рассматривает мозг как  единую структуру, в действительности он разделён на две половины. Эти  две части - два полушария - плотно прилегают друг к другу. В полном соответствии с общей симметрией тела человека каждое полушарие представляет собой почти точное зеркальное отображение  другого. 
 
 
 
 

Управление основными  движениями тела человека и его сенсорными функциями равномерно распределено между двумя полушариями мозга. Левое полушарие контролирует правую сторону мозга, а правое - левую  сторону. 

Физическая симметрия  тела и мозга не означает, что  правая сторона и левая равноценны во всех отношениях. Достаточно обратить внимание на действия наших рук, чтобы  увидеть начальные признаки функциональной симметрии. Лишь немногие люди одинаково  владеют обеими руками; большинство  же имеет ведущую руку. 

Женщины более склонны  к леворукости, чем мужчины. У  них потрясающая интуиция, которая  живёт в правом полушарии, но слабее пространственная функция, логика, воля самоконтроль.  

Среди мужчин много  композиторов, художников, что говорит  о развитии левого полушария. 

СИММЕТРИЯ В АРХИТЕКТУРЕ. 

В геометрических орнаментах всех веков запечатлены неиссякаемые фантазия и изобразительность художников и мастеров, чьё творчество было ограничено жёсткими рамками, установленными неукоснительным следованием принципам  симметрии. Трактуемые несравненно  шире идеи симметрии нередко можно  встретить в живописи, скульптуре, музыке и поэзии. Во многих случаях  именно язык симметрии оказывается  особенно пригодным для обсуждения произведений искусства, даже если последние  отличаются отклонениями от симметрии  или их создатели стремились умышленно  её избежать.