Взаимное пересечение многогранников

     Построение  линии взаимного пересечения  многогранных поверхностей можно производить  двумя способами, комбинируя их между  собой или выбирая из них тот, который в зависимости от условий  задания дает более простые построения. Эти способы следующие:

     1.Определяют  точки, в которых ребра одной  из многогранных поверхностей  пересекают грани другой и  ребра второй пересекают грани  первой (задача на пересечение прямой с плоскостью). Через найденные точки в определенной последовательности проводят ломаную линию, представляющую собой линию пересечения данных многогранников. При этом можно соединять прямыми проекции лишь тех точек, полученных в процессе построения, которые лежат в одной и той же грани.

     2. Определяют отрезки прямых, по которым грани одной поверхности пересекают грани другой (задача на пересечение двух плоскостей между собой); эти отрезки являются звеньями ломаной линии, получаемой при пересечении  многогранных поверхностей.

     Если  проекция ребра одной из поверхностей не пересекает проекции грани другой, хотя бы на одной из проекций, то данное ребро не пересекает этой грани. Однако пересечение проекций ребра и грани еще не означает, что ребро и грань пересекаются в пространстве.

     На  примере (рис.1) показано пересечение поверхности треугольной призмы с треугольной пирамидой. Построение основано на нахождении точек пересечения ребер одного многогранника с гранями другого. На эпюре (рис. 1 б) показано построение линии пересечения пирамиды АВСS и треугольной призмы DEFD*E*F*. 

     Для нахождения точек 1 и 2 в которых ребро пирамиды AS пересекает грани DD*EE* и EE*FF* призмы, через проекцию ребра A₂S₂ проведена фронтально проецирующая плоскость α_П2, которая пересекает ребра призмы в  трех точках, горизонтальные проекции  этих точек пересечения плоскости α с ребрами призмы, образуют треугольник. Проекция ребра пирамиды  A₁S₁ пересекает полученный треугольник в точках 1₁ и 2₁.

     С помощью  фронтально проецирующей плоскости β, находим точки 5 и 6  пересечения ребра пирамиды  SC с гранями призмы EE*FF* и EE*DD*, а при помощи горизонтально проецирующей плоскости γ находим точки 3 и 4 пересечения ребра призмы с гранями пирамиды. Соединив полученные точки, с учетом видимости, получим пространственную ломаную линию – линию пересечения данных многогранников.