Трикутник Паскаля .Біном Ньютона

Трикутник Паскаля — це геометрично, на зразок трикутника, розміщені біноміальні коефіцієнти. Це математичне поняття названо на честь Блеза Паскаля. Таку назву вживають переважно в західному світі, адже математики Індії, Персії, Китаю та Італії знали цей трикутник ще за кілька століть перед Паскалем.

Ряди трикутника Паскаля умовно пронумеровані згори, починаючи з нульового, й числа в нижньому ряді відносно чисел у попередньому ряді завжди розміщені ступінчасто й навскіс. Побудувати цей трикутник просто. Кожне число в кожному ряді одержуємо, додавши два числа, розміщені вгорі (зліва і справа). Якщо зліва або справа немає числа, підставляємо нуль на його місце. Наприклад, перше число в першому ряді 0 + 1 = 1, тоді як числа 1 і 3 в третьому ряді утворюють число 4 в четвертому ряді: 1 + 3 = 4.

Правило Паскаля стверджує: якщо

k-й біноміальний коефіцієнт в біноміальному ряді для (x + y)ⁿ, тоді

для будь-якого додатного цілого n і будь-якого цілого k між 0 і n.

 

Біном Ньютона-це  формула для розкладання на окремі складові цілої неотрицательнойступеня суми двох змінних, що має вигляд 
,

 

 
де - біноміальні коефіцієнти, n - невід'ємне ціле число. 
В такому вигляді ця формула була відома ще індійським та ісламським математикам;Ньютон вивів формулу бінома для більш загального випадку, коли показник ступеня -довільне раціональне число (можливо, негативне). В цьому випадку біном являєсобою нескінченний ряд (див. нижче).

Доказ

 

 
Доведемо це рівність індукцією  по n: 
База індукції: n = 1 
(a + b)¹ = a + b 
 
Крок індукції: Нехай твердження для n вірно:

 

 
 
Тоді треба довести твердження для n + 1:

 

 
 
Почнемо доказ:

 

 
 
Винесемо з першої суми доданок  при k = 0

 

 
 
Винесемо з другої суми доданок  при k = n

 

 
 
Тепер складемо перетворені суми: 

 

 
 
Що й треба було довести 

Коментар: 
 - Одне з тотожностей біноміальних коефіцієнтів 
 
Формула бінома Ньютона є окремим випадком розкладання функції (1 + x) r в ряд Тейлора: 

 

 
де r може бути комплексним числом (зокрема, негативним або речовим). Коефіцієнти цього розкладання знаходяться за формулою: 

 

 
При цьому ряд 
.

 

сходиться при.  
Зокрема, при і   виходить тотожність 

 
 
Переходячи до межі при та використовуючи другий чудовий межа , виводимо тотожність

 

 
 
яке саме таким чином було вперше отримано Ейлером. 

Мультіноміальная теорема 

Біном Ньютона може бути узагальнений до полінома Ньютона - зведення в ступінь  суми довільного числа доданків: 

 

 
де  
 
це мультіноміальние коефіцієнти. Сума береться по всіх невід'ємним цілим індексам, сума яких дорівнює n. При використанні полінома Ньютона, вважається, що вирази, навіть у випадку. 
Мультіноміальная теорема легко доводиться або по індукції по m, або з комбінаторних міркувань і комбінаторного сенсу мультіноміального коефіцієнта. 
При, висловлюючи через, отримуємо біном Ньютона.

 
Біноміальні многочлени

 
Сімейство многочленів G називається  біноміальних, якщо воно представляється  у вигляді суми добутків набору множників g: 

 
де   
 
g0 ≠ 0. 
Біноміальні многочлени мають біноміальних розкладанням:

 

 

 

 

 

Биномиальна група

Група з одномірних матриць  , з нульовим елементом заданої на ньому операцією,  

 
де  
 
Одиницею групи є, E^k(1,0,0,...,0), нулём — O^k(0,0,0,...,0). -Зворотний елемент 

 
де  
 
Історія 
 
Довгий час вважалося, що для натуральних показників ступеня цю формулу, як і трикутник, що дозволяє знаходити коефіцієнти, винайшов Блез Паскаль, який описав її в XVII столітті. Однак історики науки виявили, що формула була відома ще китайському математику Яну Хуею, що жив в XIII столітті, а також ісламським математикам ат-Тусі (XIII століття) і ал-Каші (XV століття). 
Ісаак Ньютон близько 1676 узагальнив формулу для довільного показника ступеня (дробового, негативного та ін.) З біноміального розкладання Ньютон, а пізніше і Ейлер, виводили всю теорію нескінченних рядів. 

У художній літературі 
 
      У художній літературі «біном Ньютона» з'являється в декількох пам'ятних контекстах, де мова йде про щось складне.  
     В оповіданні А. Конан Дойля «Остання справа Холмса» Холмс говорить про математику професора Моріарті: 
      Коли йому виповнився двадцять один рік, він написав трактат про біном Ньютона, який завоював йому європейську популярність. Після цього він отримав кафедру математики в одному з наших провінційних університетів, і, цілком ймовірно, його чекала блискуча майбуття. 
      Знаменита цитата з «Майстра і Маргарити» М. А. Булгакова: «Подумаєш, біном Ньютона!». Пізніше цей же вираз згадано у фільмі «Сталкер» А. А. Тарковського. 
      Біном Ньютона згадується:

• у фільмі «Розклад на післязавтра»;
• в повісті Льва Толстого «Юність» в епізоді здачі вступних іспитів в університет Миколою Іртеньєва;
• в романі Е.І.Замятіна «Ми».

 

 

 

 

 

Міністерство освіти та науки України

ЕПТ при МАУП

 

 

 

 

 

Реферат на тему:

«Трикутник Паскаля. Біном Ньютона»

 

 

 

 

 

 

 

Виконала:

Студентка гр.КП-22

Яценко Я.В.

 

 

 

 

Київ 2012