Тригонометрия

Тригонометрия

Бірлік шеңбердегі тригонометриялық функциялар. Тригонометрия туралы түсінікТригонометрия(грек. trіgōnon – үшбұрыш және metreo – өлшеу) – геометрияның үшбұрыш элементтерінің арасындағы метрикалық қатыс тригонометриялық функциялар арқылы өрнектелетін саласы. Тригонометрияның негізгі мәселесі үшбұрыштың белгісіз шамаларын берілген шамалар арқылы есептеу болып табылады. Тригонометрия жазық, түзу сызықты және сфералық Тригонометрия болып бөлінеді. Евклидтік кеңістіктің сфералары қарастырылатын Тригонометрия сфералық тригонометрия деп аталады. Жазық Тригонометрия сфералық Тригонометриядан кейінірек дами бастады. Мысалы, Евклидтің «Негіздерінің» 2-кітабында косинустар теоремасы жайында айтылған. Тригонометрияны әл-Баттани (9–10 ғасырлар), Әбу-л-Вефа (10 ғасыр), Бхаскара (10 ғасыр) және ат-Туси (13 ғасыр), т.б. одан әрі дамытты. Оларға синустар теоремасы белгілі болған. Тангенстер теоремасын Региомонтан (15 ғасыр) тапқан. Одан кейін Тригонометрияны дамытуға Н.Коперник (16 ғасырдың 1-жартысы), Т.Браге (16 ғасырдың 2-жартысы), Ф.Виет (16 ғасыр), И.Кеплер (16–17 ғасырлар), т.б. үлес қосты. Қазіргі түріндегі Т. Л.Эйлердің еңбектерінде баяндалды.

Кейбір тригонометриялық функциялар

Бірлік шеңбердегі Ө бұрышына қатысты  тригонометриялық функциялар..Бастапқы кезден тригонометриялық функциялар тік бұрышты үшбұрыштағы қабырғаларының қатынастарымен байланыста болғаны белгілі. Олардың жалғыз аргументі сол үшбұрыштың бір сүйір бұрышы болып табылады.

Синус — қарама-қарсы жатқан катеттің гипотенузаға қатынасы.Косинус — жанама катеттің гипотенузаға қатынасы.Тангенс — қарама-қарсы жатқан катеттің жанама катетке қатынасыКотангенс — жанама катеттің қарама-қарсы жатқан катетке қатынасы.Секанс — гипотенузаның жанама катетке қатынасы.Косеканс — гипотенузаның қарама-қарсы жатқан катетке қатынасы.Берілген анықтамалар функциялардың сүйір бұрыштарға (0-ден радиан) қатысты мендерін есептеуге арналған.

Тригонометриялық функциялардың  графиктері.

Бірлік шеңбердегі Ө бұрышына қатысты тригонометриялық функцияларды қарастырсақ (суреттіқара):θ бұрышының Синусы "A" нүктесінің ординатасы ретінде анықталады.Косинус — "A" нүктесінің абсциссасы.Тангенс — синустың косинусқа қатынасы.Котангенс — косинустың синусқа қатынасы.Секанс — косинуска кері өлшем.Косеканс — синуска кері өлшем.

Косинус.Уикипедия — ашық энциклопедиясынан алынған мәліметМында өту: шарлау, іздеу Косинус [жаңа лат. cosіnus, co (mplementі) sіnus – қосымша синус] – 1) тригонометриялық функциялардың бірі. Белгіленуі: cos; 2) тікбұрышты үшбұрыштың сүйір бұрышының Косинусы – сол сүйір бұрышқа іргелес жатқан катеттің гипотенузаға қатынасы.

Котангенс

Уикипедия — ашық энциклопедиясынан  алынған мәлімет

Мында өту: шарлау, іздеу Котангенс [жаңа лат. cotangens, co(mplementі) tangens – қосымша тангенс] – 1) тригонометриялық функциялардың бірі. Белгіленуі: ctg; 2) тікбұрышты үшбұрыштың сүйір бұрышының Котангенсы – сол бұрышқа іргелес жатқан катеттің сол бұрышқа қарсы жатқан катетке қатынасы.

Секанс

Уикипедия — ашық энциклопедиясынан  алынған мәлімет

Мында өту: шарлау, іздеу

Секанс [латынша secans, мұнда — қиюшы (түзу)] — 1) тригонометриялық функциялардың бірі; белгіленуі: sec. 2) Тік бұрышты үшбұрыштың сүйір бұрышының секансы деп гипотенузаның осы бұрышқа іргелес жатқан катетке қатынасын айтады.

Косеканс

Уикипедия — ашық энциклопедиясынан  алынған мәлімет

Мында өту: шарлау, іздеу

Косеканс [жаңа лат. cosеcans, co(mplementі) secans – қосымша секанс] – 1) тригонометриялық функциялардың бірі. Белгіленуі: cosec; 2) тікбұрышты үшбұрыштың сүйір бұрышының Косекансы – гипотенузаның сол сүйір бұрышқа қарсы жатқан катетке қатынасы.

Негізгі тригонометриялық формулалар

Формула	аргументтің мүмкін болатын мәндері	Нөмірі
		(1)
		(2)
		(3)

(1) формула Пифагор теоремасының салдары болып табылады. (2) жіне (3) формулалар (1) формуланы мен сәйкесінше бөлгенде шығады.

Аргументтерді қосу формуласы

Аргументтерді қосу формуласы
	(5)
	(6)
	(7)
	(8)

(7) Формула (5) формуласын (6) формуласына бөлгенде шығады. Ал (8) — (6) формуласын (5) формуласынаФормулаларды қорыту  [жасыр ▼]

4 суретте төрт тік бұрышты  үшбұрыштар берілген: ABC, ABE, ADE и CDE.

Сурет:Sum of angle.png

4 сурет. Аргументтерді  қосу формулаларын қорыту

AE = 1, .

Сондықтан

(BE) = sin α

(AB) = cos α

(DE) = sin β

(AD) = cos β.

Үшбұрыш ABC-дан шығатыны:

Үшбұрыш CDE-ден шығатыны:

.

(14) пен (16) теңдеулерінің оң жақтарын теңестірсек:

(15) пен (17) теңдеулерінің оң жақтарын теңестіріп шыққанды теңдеуді CE-ге қатысты шешейік:

.

(CE) мәнін (19)дан (18)ге  салсақ:

.

Шыққан CD мәнін (15)ке саламыз:

.

Сонымен:

cos(α + β) = cos(α)cos(β) −  sin(α)sin(β).

(15)тен шығатыны:

Ал (16) пен (17) өрнектерінен:

(21) мен (22) теңдеулерінің оң жақтарын теңестірсек табатынымыз sin(α + β):

cos(α + β) мәнін қоямыз:

Сонымен:

sin(α + β) = sin(α)cos(β) + cos(α)sin(β).

Қос бұрыш формуласыҚос бұрыш формулалары (5), (6) , (7) және (8) формулаларынан β =α десек шығады:

Қос бұрыш формулалары
	(23)
	(24)
	(25)

формуласы үшін:

формуласы үшін:

Үш бұрыштың формуласы

Үш бұрыштың формулалары

формуласы үшін:  
формуласы үшін: ;

Дәреже төмендету  формулалары

Дәреже төмендету формулалары (24) формулаларынан шығады:

Синус		Косинус		Көбейтінді
	(26)		(27)

Функциялар көбейтіндісін  түрлендіру формулалары

Функциялар көбейтіндісін  түрлендіру формулалары
	(28)
	(29)
	(30)

Функциялар көбейтіндісін  түрлендіру формулаларын қорыту  ]Функцияларды қосу формулалары (5), (6) және (7) аргументтерді қосу формулаларынан қорытылады. Мысалы (5) формуласынан шығатыны:

sin(α + β) + sin(α − β) = sin αcos β + cos αsin β + sin αcos β − cos αsin β =

= 2sin αcos β.

Демек:

   — (29) формула.

Дәл осылай қалған функцияларды қосу формулаллары шығады.

Функциялар қосындысы  формулалары

Функциялар қосындысы  формулалары
	(31)
	(32)
	(33)
	(34)
	(35)

Функциялар қосындысы  формулаларын қорыту Функциялар қосындысы формулалары (28), (29), (30) және (31) функциялар көбейтіндісін түрдлендіру формулаларынан алмастыру арқылы қорытылады:

және

.

Осы өрнектерді (28) формуласына  қойсақ:

, яғни

   — (33) формула.

Дәл сола синус пен косинус үшін де қорытуға болады. (7)ден шығатыны:

, демек

  — (34) формула.

Үш әр-түрлі бүрыш синустар қосындысын көбейтіндіге түрлендіру : болғанда:

Қарапайым тригонометриялық теңдеулерді шешу

sin x = a.

Егер | a | > 1 — нақты шешуі жоқ.

Егер  — мына түрдегі сандар шешімі болып табылады

cos x = a.

Егер | a | > 1 — нақты шешуі жоқ.

Егер  — мына түрдегі сандар шешімі болып табылады

Мына  түрдегі сандар шешімі болып табылады

Мына  түрдегі сандар шешімі болып табылады

Әмбебап тригонометриялық алмастыру

Үйлесімдіктер тек екі  жағы (тяғни  ) бар болғанда ғана мағыналы болады.

Қосымша аргумент (Юнис тәсілі)

Тригонометриялық  функциялардың комплекс түріндедегі  түрі

Толық мақаласы: Эйлер формуласы

Эйлер формуласы кез келген нақты x үшін келесі теңдік орындалады дейді:

мұндағы e — натурал логарифм негізі,

i — жалған бірлік.

Эйлер формуласымен sin x пен cos x функцияларын былай анықтауға болады:

,

.

Содан: