Шпаргалка по "Геометрии"

Лист ответов

к листу опроса № 3

 

1. Отрезок, для которого указано, какой из его концом считается началом, а какой – концом называется направленным отрезком или вектором.
2. Начало нулевого вектора совпадает с его концом, на рисунке нулевой вектор изображается одной точкой. Длина нулевого вектора равна нулю.
3. Длиной или модулем ненулевого вектора называется длина отрезка AB.
4. Ненулевые векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.
5. Коллинеарные векторы делятся на сонаправленные и противоположно направленные. Два ненулевых вектора, называются сонаправллеными, если они коллинеарны и одинаково направлены. Два ненулевых вектора, называются противоположно направленными, если они коллинеарны и противоположно направлены.
6. Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны.
7. От любой точки можно отложить вектор, равный данному вектору, и притом только один.
8. Правило треугольника

    

   

 

 

 

 

9. Правило параллелограмма

   

 

 

 

 

 

 

 

 

10. Разностью векторов и называется такой вектор, сумма которого с вектором равна вектору .

   

 

 

 

 

 

 

 

 

11. Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины ее боковых сторон.
12. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
13. Любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.
14. Координаты равных векторов соответственно равны.
15. Каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.
16. Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов.
17. Каждая координата произведения векторов на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число.
18. Каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала.

Если А(х₁; у₁) и В(х₂; у₂), то

19. Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов.

Если А(х₁; у₁) и В(х₂; у₂) и С – середина отрезка АВ, то С

20. Длина вектора равна квадратному корню из суммы квадратов его соответствующих координат.

Если  ; , то .

21. Расстояние между двумя точками равно квадратному корню из суммы квадратов разности его соответствующих координат.

Если М₁(х₁; у₁) и М₂(х₂; у₂), то М₁М₂ = .

22. Уравнение окружности радиуса r c центром в точке С (х₀; у₀) меет вид ( x – x₀)² + ( y – y₀)² = r². Уравнение окружности радиуса r c центром в начале координат имеет вид x² + y² = r².
23. Уравнение прямой имеет вид ax + by +c = 0.
24. Для любого угла α из промежутка 0⁰ ≤ α ≤ 180⁰ синусом угла α называется ордината точки M.
25. Для любого угла α из промежутка 0⁰ ≤ α ≤ 180⁰ косинусом угла α называется абсцисса точки M.
26. Тангенсом угла α (α ≠ 90⁰) называется отношение , т. е. .
27. Основное тригонометрическое тождество имеет вид sin² α + cos² α = 1.
28. Формулы приведения имеют вид

, при 0°£ a £ 90°;

, при 0°£ a £ 180°.

29. Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.
30. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
31. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
32. Ход решения треугольника по двум сторонам и углу между ними.
33. Ход решения треугольника по стороне и прилежащим к ней углам.
34. Ход решения треугольника по трем сторонам.
35. Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними.
36. Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.
37. Скалярное произведение ∙ называется скалярным квадратом вектора и обозначается ² . Скалярный квадрат равен квадрату его длины.
38. Скалярное произведение векторов {х₁; y₁} и {x₂ ; y₂} выражается формулой

 ∙ = x₁x₂ + y₁y₂.

39. Косинус угла α между ненулевыми векторами {x₁ ; y₁} и {x₂ ; y₂} выражается формулой

                            x₁x₂ + y₁y₂

cos α =            

                           x₁²+y₁²   ∙         x₂²+y₂²      

   

40. Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все углы и все стороны равны.
41. Сумма углов правильного n-угольника равна (n - 2)·180⁰.
42. Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну.
43. В любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну.
44. Окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается сторон многоугольника в их серединах. Центр окружности, описанной около правильного многоугольника, совпадает с центром окружности, вписанной в тот же многоугольник.
45. Формула для вычисления площади правильного n-угольника.

S = ,  где Р – периметр правильного n-угольника, r – радиус окружности, описанной около правильного n-угольника.

46. Формула для вычисления стороны правильного n-угольника.

, где R – радиус окружности, вписанной в правильный n-угольник.

47. Формула для вычисления радиуса окружности, вписанной в правильный n-угольник.

r =

48. Таблица «Правильные многоугольники».

	an	P	r	S
n = 3	R	3 R	R	R2
n = 4	R	4 R	R	2R2
n = 6	R	6R	R	R2

 

49. Формула для вычисления длины окружности. C = 2πR
50. Формула для вычисления длины дуги окружности. l =
51. Формула для вычисления площади круга. S = πR²
52. Круговым сектором или просто сектором называется часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.
53. Дуга, которая ограничивает сектор, называется дугой сектора.
54. Площадь кругового сектора. S = .
55. Осевая симметрия представляет собой отображение плоскости на себя.

 

56. Центральная симметрия также является движением.
57. При движении  отрезок отображается на отрезок. При движении треугольник отображается на равный ему треугольник.
58. Наложение – это отображение плоскости на себя. Любое движение является наложением. При движении любая фигура отображается на равную ей фигуру.
59. Параллельным переносом на вектор а называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка М отображается в такую точку М₁, что вектор ММ₁ равен вектору а.
60. Поворотом плоскости вокруг точки О на угол α называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка М отображается в такую точку М₁, что ОМ = ОМ₁ и угол МОМ₁ равен α.

                         

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

57) Многогранник – это поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающая некоторое геометрическое тело. Это тело также называется многогранником.

58) Раздел геометрии, в котором  изучаются свойства фигур в  пространстве, называется стереометрией.

             59) Куб – один из простейших многогранников.

             60) Капли жидкости в невесомости  принимают форму геометрического  тела, называемого шаром.

             61) Консервная банка имеет форму  геометрического тела, называемого  цилиндром.

             62) Часть пространства, отделенное от остальной части пространства поверхностью – границей этого тела.

             63) Плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного тела, называется секущей плоскостью этого тела.

             64) Фигура, которая образуется при пересечении тела с секущей плоскостью, называется сечением тела.

             65) Многоугольники, из которых составлен  многогранник, называются его гранями.

             66) Стороны граней называются  ребрами.

             67) Концы ребер называются вершинами многогранника.

             68) Выпуклые и невыпуклые.

             69) Многогранник называется призмой.

             70) n-угольной призмой называется многогранник А₁А₂…А_nВ₁В₁...В_n, составленный из двух равных n-угольников А₁А₂…А_n и В₁В₂…В_n

                  71) Прямая, наклонная, правильная.

            72) Четырехугольная призма, основаниями которой являются параллелограммы, называется параллелепипедом.

            73) Прямой, прямоугольный.

            74) Четыре диагонали параллелепипеда  пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

            75) Куб с ребром 1 см называется  кубическим сантиметром и обозначается  так: 1 см³.

Аналогично определяется кубический метр (м³), кубический миллиметр (мм³) и т. д.

           

76) 1. Равные тела имеют равные объемы.

      2. Если тело составлено  из нескольких тел, то его  объем равен сумме объемов  этх тел.

77) 1. Квадрат диагонали прямоугольного  параллелепипеда равен сумме  квадратов трех его измерений.

      2. Объем прямоугольного  параллелепипеда равен произведению трех его измерений.

      3. Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

78) Многогранник, составленный из  n-угольника А₁А₂…А_n и этих угольников, называется пирамидой.

79) Тетраэдром – треугольная пирамида.

80) Высота боковой грани правильной  пирамиды, проведенная из ее вершины,  называется апофемой.

81) Объем пирамиды равен одной  трети произведения площади основания  на высоту.

82) Площадь боковой поверхности  цилиндра равна площади ее  развертки, т. е. S_бок=2πrh.

83) Возьмем прямоугольный треугольник  ABC и будем вращать его вокруг катета АВ. В результате получится тело, которое называется конусом.

84) Объем конуса равен одной  трети произведения площади основания  на высоту.

85) Развертка боковой поверхности конуса представляет собой круговой сектор.

86) Площадь боковой поверхности  конуса равна площади ее развертки.

87) Сферой называется поверхность,  состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии  от данной точки.

88) Данная точка называется центром сферы.

89) Данное расстояние называется  радиусом сферы.

90) Отрезок, соединяющий две точки  сферы и проходящий через ее  центр, называется диаметром сферы.

91) Объем шара радиуса R равен четыре третьих πR²

92) S = 4 πR²