Розклад вектора на складові на площині і в просторі. Декартові система координат

Тема: Розклад  вектора на складові на площині і  в просторі. Декартові система  координат.

 

Мета. Ознайомитись з поняттям про базис на площині і в просторі; та координати  вектора.

1. Розклад вектора з двома не колінеарними векторами на площині.
2. Система координат на площині.
3. Розклад вектора за трьома не колінеарними векторами в просторі.
4. Система координат в просторі.

 

1. Теорема.

Будь – який на площині можна подати, про чому єдиним чином, у вигляді лінійної комбінації двох не колінеарних векторів.

, де 

- не колінеарні вектори

- числа.

Доведемо це. Нехай маємо на площині  три вектори  , причому не колінеарні.

 

Покажемо, що

 

 

 

Відкладемо їх від  спільної точки і на як на діагоналі будуємо паралелограм

 

        

                                                                    

колінеарні

                                        

тому

                                     

 

 

2. Найчастіше базисні вектори вибирають одиничними і взаємно перпендикулярними, позначають їх  .

Тоді  , де x, y – координати вектора в базисі . Якщо відкласти ці вектори в певному порядку від однієї точки і через них провести прямі (осі координат), то одержимо прямокутну систему координат на площині.

 

 

 

 

 

 

 

Щоб побудувати в системі координат, треба відкласти точку з цими координатами і ця точка буде кінцем вектора, а початком – початок координат

 

3. Теорема.

Будь – який вектор в просторі можна подати, при чому єдиним чином, у вигляді лінійної комбінації трьох некомпленарних векторів

, де 

- не колінеарні вектори

- числа

(див задачу з попереднього  уроку)

 

4. Найчастіше їх вибирають одиничними і взаємно перпендикулярними, позначають  .

     Тоді  , де 

     - координати в базисі .

     , х – абсцис, у – ордината, z – апліката

якщо відкласти ці вектори в певному порядку  від однієї точки і через них  провести прямі (осі координат), то одержимо прямокутну систему координат в  простора.