Прямая в пространстве

     Иначе говоря, угол между скрещивающимися прямыми – это угол между двумя пересекающимися прямыми, параллельными данным. 

    Пусть даны две пересекающиеся или скрещивающиеся прямые:

:      и     : .

Обозначим  , – направляющие векторы первой и второй прямой соответственно. 

    Так как один из углов    между прямыми равен углу между их направляющими векторами, а второй угол  ,  то углы    и   могут быть найдены по формуле

,

или  , 

где знак плюс берется в том случае, когда  надо найти величину острого угла, а знак минус – когда надо найти величину тупого угла. 

     ЗАДАЧА 3. Найти расстояние от точки  до прямой в пространстве.

    Пусть дана прямая

    

:

и – точка, не принадлежащая этой прямой. Обозначим – направляющий вектор прямой , – точка на прямой , – расстояние от точки до  . 

    Рассмотрим  параллелограмм, построенный на векторах    и .  Тогда – высота этого параллелограмма, опущенная из вершины . Следовательно,

. 

    ПРИМЕР. Найти расстояние    от точки   до прямой : .

    Из  условия задачи имеем:  ,  . Тогда

,

,

,   ,

            – искомое расстояние. 

    ЗАДАЧА 4. Найти расстояние между скрещивающимися  прямыми.

    ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Расстоянием  между двумя скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра.

    Пусть даны две скрещивающиеся прямые

:      и     : ,

и  – расстояние между   и . 

Построим  плоскость  , проходящую через прямую параллельно .  Тогда   – расстояние от прямой    до плоскости .  Найти это расстояние можно по формуле:

,

где  – общее уравнение плоскости  ,

 – любая точка на прямой  .

    ПРИМЕР. Найти расстояние    между двумя прямыми

:    и   : .

    1) Прежде всего, установим взаимное  расположение данных прямых. По условию задачи:   и – направляющий вектор и фиксированная точка первой прямой,    и – направляющий вектор и фиксированная точка второй прямой; . Имеем:

    1) ∦ – прямые не параллельны;

    2) вычислим  :

.

Следовательно, данные прямые являются скрещивающимися.

    2) Запишем уравнение плоскости   ,  проходящей через прямую    параллельно :

   : .

Тогда    – расстояние от точки   до плоскости :

. 
 

    Замечание. Предложенный способ нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми – не единственный. Можно найти это расстояние, используя векторную алгебру.

     Действительно, построим на векторах  ,    и   пирамиду. 

    Тогда  – высота пирамиды, опущенная из точки   и, следовательно,

 
 

    ЗАДАЧА 5. Найти точку пересечения прямых.

    Пусть даны две пересекающиеся прямые

:      и     : ,

 – точка пересечения прямых.  Тогда   – решение системы уравнений

или, переходя к параметрическим уравнениям прямой,

 
 

    ПРИМЕР. Найти точку пересечения прямых

:       и     :  . 

    1) Прямые    и   не являются параллельными (их направляющие векторы не коллинеарны) и для них выполняется условие  (9):

.

Следовательно, прямые    и – пересекаются.

    2) Найдем точку пересечения прямых. Для этого перейдем к их  параметрическим уравнениям:

:      и     :

и решим  систему

      

  ,  ;

  ,  ,  .

    Таким образом, точкой пересечения прямых является точка 

5.  Взаимное  расположение  прямой  и  плоскости   
в  пространстве

    Пусть в пространстве заданы плоскость    и прямая  .  Они могут быть  1) параллельны;

     2) прямая может лежать в плоскости;

     3) прямая и плоскость могут пересекаться  в одной точке.

Выясним, как зная уравнения плоскости  и прямой, определить их взаимное расположение.

    Пусть     :       и     : .

Тогда   – нормальный вектор плоскости,

 – направляющий вектор прямой.

    Если  плоскость и прямая параллельны или прямая    целиком лежит в плоскости  ,  то  векторы   и – перпендикулярны. Следовательно    , (10)

или в  координатной форме

       . (11)

Если  условие  (10) (условие (11)) не выполняется, то геометрически это означает, что прямая и плоскость пересекаются в одной точке.

     Частным случаем пересечения прямой и плоскости в одной точке  является перпендикулярность прямой и плоскости.  В этом случае    и   будут параллельны, что аналитически означает справедливость равенства

.

    Теперь  укажем условие, которое позволит различать  случай параллельности прямой и плоскости и случай, когда прямая принадлежит плоскости. Пусть прямая    лежит в плоскости .  Тогда любая точка прямой лежит в плоскости и, следовательно, ее координаты удовлетворяют уравнению плоскости. В частности,

,

где  – некоторая фиксированная точка прямой  . Если же прямая параллельна плоскости, то она не имеет общих точек с плоскостью и, следовательно, для такой прямой

.

    Таким образом, если прямая лежит в плоскости, то должны выполняться два условия:

   и   ;

если же прямая параллельна плоскости, то

,   но   ,

где  – некоторая фиксированная точка прямой  .

    В заключение этого пункта вернемся к  случаю, когда прямая и плоскость  пересекаются в одной точке, и  получим формулу для нахождения угла между прямой и плоскостью.

     ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Углом между прямой    и плоскостью    называется угол    между прямой    и ее проекцией на плоскость .

    Из  определения следует, что угол между  прямой и плоскостью не превышает  , т.е. угол острый.

    Пусть  – угол между прямой    и плоскостью  ,  – их точка пересечения.

    Через    перпендикулярно плоскости   проведем прямую  .  Для   вектор    является направляющим и, следовательно, острый угол    между прямыми    и   может быть найден по формуле

.

Но    ,

          – формула для определения угла между прямой    и плоскостью  .