Платоновы тела

 
 
 
 
 
 

РЕФЕРАТ

тема: «Платоновы тела» 
 
 
 
 

                   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

СОДЕРЖАНИЕ 
 

1.  ПЛАТОНОВЫ ТЕЛА – ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ  

      1.1. Пять правильных многогранников      

     1.2. Доказательство существования только 

            пяти правильных многогранников              
 

2.  СОЕДИНЕНИЯ ПЛАТОНОВЫХ ТЕЛ             

  
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

             1.  ТЕЛА ПЛАТОНА – ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ

       

     Многогранники - тела, ограниченные плоскими многоугольниками, они окружают нас повсюду: ведь самая популярная форма современного здания, радиоприемника, телевизора, шкафа – параллелепипед. Среди  разнообразных форм многогранников выделяют правильные многогранники.

     ПРАВИЛЬНЫЙ  МНОГОГРАННИК - это выпуклый многогранник, все грани которого являются равными правильными многоугольниками и в каждой вершине сходится одинаковое количество таких многоугольников.    В правильном многограннике все ребра, все плоские углы и все двугранные углы равны между собой.

     Правильных многогранников пять: тетраэдр (четырёхгранник), составленный из четырёх правильных треугольников, куб или гексаэдр (шестигранник), составленный из шести квадратов, октаэдр (восьмигранник), составленный из восьми правильных треугольников, икосаэдр (двадцатигранник), составленный из двадцати правильных треугольников, и загадочный додекаэдр (двенадцатигранник), составленный из двенадцати правильных пятиугольников.

      Интересен «закон взаимности» для правильных многогранников. Если соединить отрезками  центры соседних граней  правильного   многогранника, то эти отрезки станут рёбрами   другого   правильного многогранника: у куба - октаэдр, а у октаэдра - куб; у икосаэдра - додекаэдр, а у додекаэдра -икосаэдр; а у тетраэдра - снова тетраэдр.

  Правильные многогранники привлекают совершенством своих форм, полной симметричностью, что дало возможность венгерскому инженеру Эрне Рубику создать свой знаменитый «кубик Рубика», а затем и аналогичные головоломки из остальных  Платоновых  тел.  

1.1. Пять правильных  многогранников 

   Тетраэдр – правильный многогранник, поверхность которого состоит из четырех правильных треугольников. Имеет 4 вершины и 6 ребер. В каждой вершине сходится 3 ребра  (рис.1).

                

Рис. 1

 

     Октаэдр – правильный многогранник, поверхность которого состоит из 8 правильных треугольников. Имеет 6 вершин, 12 ребер. В каждой вершине сходится по 4 ребра (рис.3).

     

     

             

Рис. 3 

     Додекаэдр – правильный многогранник, все грани которого являются правильными пятиугольниками. Имеет 12 граней, 20 вершин и 30 рёбер. (рис.4).

                                                 

Рис. 4 

     Икосаэдр – правильный многогранник, поверхность которого состоит из 20 правильных треугольников. Имеет 12 вершин, 30 ребер. В каждой вершине сходится по 5 ребер (рис.5).

        

      Рис. 5

     Куб или правильный гексаэдр – правильный многогранник. Все грани квадраты. Имеет 6 граней, 8 вершин, 12 ребер. Существует лишь один тип правильного многогранника, грани которого являются квадратами (рис.2). 

                        

Рис. 2 
 

         В эпоху Возрождения  учёный Иоганн Кеплер называл куб "родителем" всех правильных многогранников. На основе куба он смог построить все другие виды правильных многогранников.

      Если провести в противоположных гранях куба скрещивающиеся диагонали, то их концы окажутся вершинами тетраэдра (рис. 7), а вершины октаэдра – это центры граней куба (рис. 6). Полученные многоугольники действительно правильные, так как их грани – правильные треугольники. Равенство же двугранных углов следует из того, что при повороте куба ребро многогранника можно перевести в любое другое.

   Для того чтобы построить икосаэдр, на каждой грани куба нужно построить отрезок так, чтобы он был параллелен двум сторонам своей грани и перпендикулярен таким же отрезкам на соседних гранях. Середина его должна совпадать с центром грани. Соединим концы этих отрезков между собой, и мы получим двадцатигранник, грани которого – треугольники, и при каждой вершине их пять.

        Правильный додекаэдр получается из куба построением «крыш» на его гранях (способ Евклида), вершинами тетраэдра являются любые четыре вершины куба, попарно не смежные по ребру. Так получаются из куба все остальные правильные многогранники.

      Сам факт существования всего пяти действительно  правильных многогранников удивителен - ведь правильных многоугольников на плоскости бесконечно много! 

    

    

    

                   

Рис. 6                                                                 Рис. 7 
 

                                                                                      
 
 
 
 

     1.2. Доказательство существования только пяти правильных многогранников. 

       Выясним, из каких многоугольников можно составить поверхность правильного многогранника. Т.к. многогранник должен иметь не менее трех граней и сумма плоских углов при вершине правильного многоугольника (грани многогранного угла) должна быть не больше 360 градусов, такими многоугольниками могут быть только правильный треугольник (угол при вершине 60 градусов), квадрат (90 градусов), правильный пятиугольник                 (108 градусов). Значит, только из этих видов правильных многоугольников может быть образована поверхность правильного многогранника.  

     В тетраэдре в каждой  вершине  сходятся три ребра, иными словами,  каждая вершина окружена тремя  треугольниками. Если развернуть эти треугольники  на плоскость, можно подсчитать, сколько  градусов содержит полученный при этом  их общий угол. Поскольку внутренний угол равностороннего  треугольника  равен 60 градусам, три таких угла дадут  в сумме 3 x 60 = 180 градусов. Если мы приложим к нему ещё один равносторонний треугольник, то получим в сумме 240 градусов. Но в таком случае мы придём к развёртке вершины октаэдра. Добавление ещё одного треугольника даёт 300  градусов, и мы получаем развёртку вершины икосаэдра. Наконец,  добавление шестого треугольника даёт полный угол в 360 градусов – и  мы сразу убеждаемся, что  он не может соответствовать никакой вершине многогранника.

     Перейдём  к квадратам. Естественно, что наименьшее их число равно трём. Три по 90 градусов дают в сумме 270 градусов; так получается вершина куба. Добавляя ещё один квадрат, мы  приходим  к полному углу в 360 градусов. Следовательно, существует только один тип правильного многогранника, грани которого являются квадратами.

     Для пятиугольников минимальное число  граней – три – даёт нам вершину  додекаэдра; если же мы возьмём более  трёх пентаграмм, то суммарный   угол даже превзойдёт 360 градусов.

     Для шестиугольников  уже и минимальное их число – три – слишком велико: три раза по 120 градусов сразу 360 градусов. Поэтому правильного многогранника  с шестиугольными гранями не существует. Тем более не подходят  правильные многоугольники с числом сторон, большим шести.

     Таким образом, мы убеждаемся, что может  существовать лишь пять правильных многогранников.

 
 
 
 

  
 
 
 
 
 
 

2.  СОЕДИНЕНИЯ ПЛАТОНОВЫХ ТЕЛ 

      Если использовать не только  обычные правильные многоугольники, но и звёздчатые многоугольники  и разрешить им пересекаться, то можно  получить очень красивые правильные звездчатые многогранники. Существует большое количество звездчатых многогранников, которые имеют общий корень со словом «звезда», что указывает на их происхождение.

      Если взять правильные многогранники и продолжить их грани, то у каждого правильного многогранника получится своя звездчатая форма, а у некоторых тел, например,  у додекаэдра даже несколько. В 1810 году французский математик Пуансо построил  четыре  правильных звёздчатых  многогранника: малый звёздчатый додекаэдр, большой звёздчатый додекаэдр, большой  додекаэдр (рис. 8) и большой икосаэдр. Два из них знал И.Кеплер (1517-1630), а в 1812  году  французский математик  О. Коши доказал, что кроме пяти «Платоновых тел» и четырёх  «тел Пуансо» больше нет правильных  многогранников.

                               

                                                                Рис. 8 

       Так, к пяти правильным многогранникам, известным ещё  древним учёным, математики более близкой нам эпохи добавили четыре звездчатых многогранника, гранями которых могут быть правильные  или звездчатые многоугольники.

     Кроме правильных многогранников существует большое число полуправильных  многогранников, которые носят название «тел Архимеда», поскольку он первым их описал. Это тела, составленные из многоугольников двух видов, причём в каждой вершине сходится  одно и то же число многоугольников  каждого вида. Примером такого  многогранника является футбольный мяч, он составлен из пяти шестиугольников. Существует 13 полуправильных многогранников, открытие которых приписывается Архимеду, впервые перечислившему их в не дошедшей до нас рукописи. Множество Архимедовых тел можно разбить на несколько групп. Первую из них составят  многогранники, которые получаются из платоновых тел в результате их усечения. Другая группа – это многогранники одного типа, окруженные многогранниками другого типа.