Перетворення фігур

прямокутника. Прямі на яких лежать діагоналі ромба, є його осями

симетрії.        

Теорема: Перетворення симетрії відносно прямої є

рухом.      

Доказ. Приймемо дану пряму за вісь у декартової системи

координат. Нехай довільна точка A (x; y) фігури F переходить в точку A '

(X '; y') фігури F '. З визначення симетрії відносно  прямої слід,

що біля точок A і A 'рівні ординати, а абсциси  відрізняються тільки знаком: x'

=-X.      

Візьмемо  дві довільні точки A (x; y) і B (x; y). Вони перейдуть у

точки A '(-x; y) і B' (-x; y).      

Маємо:            

AB2 = (x2-x1) 2 + (y2-y1) 2            

A'B'2 = (-x2 + x1) 2 + (y2-y1) 2      

Звідси  видно, що AB = A'B '. А значить, що перетворення симетрії

відносно  прямої є рух. Теорема доведена.       
 
 

Симетрія  відносно площини      

Нехай a - довільна фіксована площину. З точки X фігури

опускаємо перпендикуляр XA на площину a і на його продовження за точку

Aоткладиваем  відрізок AX ', рівний XA. Точка X 'називається  симетричною точці

X відносно  площини a, а перетворення, яке  переводить X в

симетричну  їй точку X ', називається перетворенням  симетрії відносно

площині a.      

Якщо точка X лежить у площині a, то вважається, що точка X переходить

в себе. Якщо перетворення симетрії відносно площини a переводить

фігуру  в себе, то фігура називається симетричною  відносно площини a,

а площину a називається площиною симетрії цієї фігури.       

Поворот      

Поворот площини близько даної точки  називається такий рух, при

якому кожний промінь, що виходить із точки, повертається на один і той же

кут в  одному і тому ж напрямку. 

Це означає, що якщо при поворот близько точки O точка переходить у точку X ',

то промені OX і OX 'утворюють один і той же кут, яка б не була точка X.

Цей кут  називається кутом повороту. Перетворення фігур при повороті

площині також називається поворотом.      

Паралельний перенос у просторі        

Паралельним перенесенням в просторі називається  таке

перетворення, при якому довільна точка (x; y; z) фігури переходить в

точку (x + a; y + b; z + c), де числа a, b, c одні й ті ж  для всіх точок (x; y;

z). Паралельний  переносів просторі задається  формулами                       

x '= x + a, y' = y + b, z '= z + c,

виражають координати x ', y', z 'точки, в яку переходить точка (x; y;

z) при  паралельному перенесенні. Так  само, як і на площині, доводяться

такі властивості  паралельного переносу:      

1. Паралельні  перенесення є рух.      

2. При  паралельному перенесенні точки  зміщуються вздовж паралельних  (або

співпадаючим) прямим на одне і те ж відстань.      

3. При  паралельному перенесенні кожна  пряма переходить у паралельну

їй пряму (або в себе).       

4. Які  б не були точки A і A ', існує  єдиний

паралельний перенос, при якому точка A переходить в точку A '.      

Новим для  паралельного переносу в просторі є  наступне

властивість:        

5. При  паралельному перенесенні в просторі  кожна площина

переходить  або в себе, або в паралельну її площину.       
 

Дійсно, нехай (- довільна площину, проведемо в  цій

площині дві пересічні прямі a і b. При паралельному перенесенні прямі

a і b переходять  або в себе, або в паралельні  прямі a 'і b'. Площина

(Переходить  у деяку площину (', що проходить  через прямі a' і b '. Якщо

площину ('не збігається з (, то згідно теореми  про двох пересічних прямих

одній площині  відповідно паралельними з пересічними  прямими

іншій площині, вона паралельна a, що й потрібно було довести.