Неевклідова геометрія

                            Мирненська ЗОШ

 

 

 

 

 

 

 

реферат

 

 

                               на тему: Неевклідова геометрія

 

 

 

 

 

                            Виконала: Ковалькова Юлія

                                                                                                

 

                                 Перевірила: Ніна Григорівна

 

 

 

 

 

      2013р.

 

                           Вступ

      Геометрія - це одна з найдавніших наук. Дослідити різні просторові форми здавна спонукало людей їх практична діяльність. Давньогрецький вчений Едем Родоський в IV столітті до нашої ери писав: «Геометрія була відкрита єгиптянами, і виникла при вимірі Землі. Це вимір було їм необхідно внаслідок розлиття річки Ніл, постійно змиває кордону. Немає нічого дивного, що ця наука, як і інші, виникла із потреби людини ».

 

    Багато початкові геометричні відомості отримали також шумеро-вавилонські, китайські та інші вчені найдавніших часів. Встановлювалися вони спочатку тільки досвідченим шляхом, без логічних доказів.

 

     Як наука, геометрія вперше сформувалася в Стародавній Греції, коли геометричні закономірності і залежності, знайдені раніше дослідним шляхом, було наведено в належну систему і доведені.

 

    У III столітті до нашої ери грецький учений Евклід привів в систему відомі йому геометричні відомості у великому творі «Начала». Ця книга більше двох тисяч років служила підручником геометрії в усьому світі.

 

    У своєму рефераті я хочу показати, що крім геометрії, яку вивчають в школі (Геометрії Евкліда чи вживаної геометрії), існує ще одна геометрія, геометрія Лобачевського. Ця геометрія істотно відрізняється від евклідової, наприклад, у ній стверджується, що через дану точку можна провести нескінченно багато прямих, паралельних даній прямій, що сума кутів трикутника менше 180 ° . У геометрії Лобачевського не існує прямокутників, подібних трикутників і так далі.

 

  Я вибрав цю тему з кількох причин: теорія геометрії Лобачевського допомагає глянути по-іншому на навколишній світ, це цікавий, незвичайний і прогресивний розділ сучасної геометрії, вона дає матеріал для роздумів - у ній не все просто, не все ясно з першого погляду, щоб її зрозуміти, потрібно володіти фантазією і просторовою уявою.  Ситуація з геометрією Лобачевського і геометрією Евкліда багато в чому схожа на ситуацію з Теорією відносності Ейнштейна і класичної фізикою. Геометрія Лобачевського і ОТП Ейнштейна це прогресивні взаємопов'язані теорії, що виконуються на величезних величинах і відстанях, і залишаються вірними на наближеннях до нуля. У просторової моделі ОТП використовується не звичайна евклідова площину, а викривлений простір, на якому вірна теорія Лобачевського.

 

    Неевклидова геометрія з'явилася внаслідок довгих спроб довести V постулат Евкліда, аксіому паралельності. Ця геометрія багато в чому дивовижна, незвичайна і багато в чому не відповідає нашим звичним уявленням про реальний світ. Але в логічному відношенні дана геометрія не поступається Серед аксіом Евкліда була аксіома про паралельність прямих, а точніше, п'ятий постулат про паралельні лінії: якщо дві прямі утворюють з третьою за одну її сторону внутрішні кути, сума яких менше розгорнутого кута, то такі прямі перетинаються при достатньому продовженні з одного боку.

 

      

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

      Походження неевклідової геометрії

 

  У сучасній формулюванні вона говорить про існування не більше однієї прямої, що проходить через дану точку поза даною прямою і паралельної цій даної прямої.

 

   Складність формулювання п'ятого постулату породила думку про можливу залежності його від інших постулатів, і тому виникали спроби вивести його з інших передумов геометрії. Всі спроби закінчувалися невдачею. Були спроби докази від протилежного: прийти до протиріччя, припускаючи вірним заперечення постулату. Однак і цей шлях був безуспішним.

 

   Виявилося те, що п'ятий постулат не залежить від попередніх, а значить, його можна замінити на йому еквівалентний. І на початку X I X століття, майже одночасно відразу в декількох математиків: у К. Гаусса в Німеччині, у Я. Больяи в Угорщині та у Н. Лобачевського в Росії, виникла думка про існування геометрії, в якій вірна аксіома, що замінює п'ятий постулат: на площині через точку, не лежить на даній прямій, проходять, принаймні, дві прямі, не перетинають дану.

 

    У силу пріоритету Н. Лобачевського, який першим виступив з цією ідеєю в 1826, і його внеску у розвиток нової, відмінної від евклідової геометрії остання була названа на його честь «геометрією Лобачевського».

 

    Аксіоматика планіметрії Лобачевского відрізняється від аксіоматики планіметрії Евкліда лише однією аксіомою: аксіома паралельності замінюється на її заперечення - аксіому паралельності Лобачевского:

 

    Знайдуться така пряма a і така не лежить на ній точка A, що через A проходять принаймні дві прямі, не перетинають a.

 

    Несуперечність системи аксіом доводиться виглядом моделі, в якій реалізуються в три моделі геометрії Лобачевського.

       

 

        Три  моделі геометрії Лобачевського:

 

   1) Модель Пуанкаре

 

   2) Модель Клейна

 

   3) Відображення геометрії Лобачевського на псевдосфері (інтерпретація Бельтрамі)ані акс1) Модель Пуанкаре.

 

   1)  У моделі Пуанкаре на евклідової площини E фіксується горизонтальна пряма x. Вона носить назву «абсолюту». Точками площині Лобачевського вважаються точки площини E, що лежать вище абсолюту x. Таким чином, в моделі Пуанкаре площину Лобачевського - це полуплоскость L, що лежить вище абсолюту.

 

    Прямими площині L вважаються півкола з центрами на абсолюті або промені з вершинами на абсолюті і перпендикулярні йому.іоми.геомФігура на площині Лобачевского - це фігура напівплощини L. Належність точки фігурі розуміється так само, як і на евклідової площини E. При цьому відрізком площині L вважається дуга кола з центром на абсолюті або відрізок прямої, перпендикулярної абсолюту. Точка K лежить між точками C і D, означає, що K належить дузі CD. В умовах нашої моделі це еквівалентно тому, що K 'лежить між C' і D ', де C', K 'і D' - проекції точок C, K і D відповідно на абсолют. Щоб ввести поняття рівності неевклідових відрізків в моделі Пуанкаре, визначають неевклидова руху в цій моделі. Неевклідових рухом називається перетворення L, яке є композицією кінцевого числа інверсій з центрами на абсолюті і осьових симетрій площині E, осі яких перпендикулярні абсолюту. Інверсії з центром на абсолюті і осьові симетрії

площині E, осі яких перпендикулярні  абсолюту, називають неевклідових симетріями. Два неевклідових відрізки називають  рівними, якщо один з них неевклідових рухом можна перевести в другій.етрії                                                                                                            

 

       2)Модель Клейна.                                                                                                      За площину приймається будь-яке коло, за точки - точки належать цьому колі, за прямі - хорди - звичайно, з виключенням решт, оскільки розглядається тільки внутрішність круга. За переміщення приймаються перетворення кола, що переводять його в себе і хорди - в хорди.

 

Очевидно, що в межах  певної частини площині (кола), як би ця частина не була велика, можна провести через дану точку С безліч прямих, не перетинають даної прямої. Всередині кола будь-якого кінцевого радіуса існує безліч прямих (тобто хорд), що проходять через т. С і не зустрічаючих прямий АВ. Будь-яка теорема планіметрії Лобачевского є в цій моделі теоремою геометрії Евкліда і, назад, всяка теорема геометрії Евкліда, що говорить про фігури всередині даного кола, є теоремою геометрії Лобачевського. Це загальне твердження доводиться перевіркою справедливості в моделі аксіом геометрії Лобачевського. Тому, якщо в геометрії Лобачевського є протиріччя, то це ж протиріччя є і в геометрії Евкліда.

 

Далі, всяка теорема  геометрії Лобачевського описує в моделі Клейна деякі факти, що мають  місце всередині кола. Саме факти, якщо ми беремо не абстрактний коло, а реальний коло і реальні хорди і інтерпрітіруем теореми як твердження про ці реальні речі, взяті, звичайно, з тією точністю, яка доступна для наших побудов.         Таким чином, геометрія Лобачевського в моделі Клейна має цілком реальний сенс з тією точністю, з якою взагалі має сенс геометрія в застосуванні до реальних тіл.адні один в одного такими перетвореннями.Евкліда.                                                                                   

 

3) Відображення геометрії Лобачевського Еудженіо Бельтрамі (1835-1900) знайшов модель для неевклідової геометрії, показавши у своїй роботі «Досвід інтерпретації неевклідової геометрії» (1868г.), що поряд з площинами, на яких здійснюється евклідова геометрія, і сферичними поверхнями, на які діють формули сферичної геометрії, існують і такі реальні поверхні, названі ним псевдосфера на яких частково зВідомо, що сферу можна отримати обертанням півкола навколо свого діаметра. Подібно до того, псевдосфера утворюється обертанням лінії FCE, званої трактрісой, навколо її осі АВ. Отже, псевдосфера - це поверхня в звичайному реальному просторі, на якому виконуються багато аксіоми і теореми неевклідової планіметрії Лобачевского. Наприклад, якщо накреслити на псевдосфері трикутник, то легко побачити, що сума його внутрішніх кутів менше 2 π. Сторона трикутника - це дуги псевдосфери, що дають найкоротша відстань між двома її точками і виконують ту ж роль, яку виконують прямі на площині. Ці лінії, звані геодезичними, можна отримати, затиснувши туго натягнуту і политу фарбою або крейдою нитка, в вершинах трикутника. Таким чином, для планіметрії Лобачевского була знайдена реальна модель - псевдосфера. Формули нової геометрії Лобачевського знайшли конкретне тлумачення. Ними можна було користуватися, наприклад, для вирішення псевдосферіческіх трикутників. Псевдосфері, яку ми назвали «моделлю», Бельтрамі назвав інтерпретацією (тлумаченням) неевклідової геометрії на площині.

 

    Згодом, з розвитком і введенням в математику аксіоматичного методу, під інтерпретацією (або моделлю) деякої системи аксіом стали розуміти будь-яке безліч об'єктів, в яких дана система аксіом знаходить своє реальне втілення, тобто, будь-яка сукупність об'єктів, відношення між якими повністю збігаються з тими, які описуються в даній системі аксіом. При цьому вважають, що якщо для деякої системи аксіом існує або можна побудувати інтерпретацію (модель), то ця система аксіом несуперечлива, тобто, не тільки самі аксіоми, а й будь-які теореми, на них логічно грунтуються ніколи не можуть суперечити одна одній.                                                                              

 

 

          

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

           Використана література:

   

     Математика XIX століття, «Наука», М., 1981

 

 

     "Квант" № 11, № 12 Академік АН СРСР А.Д. Александров, Інтернет-видання.

 

 

     Юшкевич А.П., Історія математики в Росії, «Наука», М., 1968

 

 

     Неевклідові простору і нові проблеми фізики, «Білка», М., 1993

 

 

    Клайн М., Математика. Втрата визначеності, «Світ», М., 1984

 

 

    Г.І. Глейзер. Історія математики в школі IX - X класи. Посібник для вчителів. Москва, «Просвещение» 1983р.

 

 

    Даан Дальмедіно А., Пейффер І. Шляхи і лабіринти. Нариси з історії математики. Переклад з французької. М: Мір.1986г.

 

 

    Б.Л. Лаптєв. Н.І. Лобачевський і його геометрія. Посібник для учнів. М. «Просвещение», 1970р.

 

 

    І.М. Яглам. Принцип відносності Галілея і неевклідова геометрія. Серія «Бібліотека математичного гуртка» М: 1963рчевського.