Кривые поверхности

Кривые  поверхности.

[Введите  подзаголовок документа]

Проверила : Горбань Н.А. Выполнил : Ким Александр ; группа : АРб 12-1

2012 г.

 

                                             Введение.

 

 

Кривые поверхности отличаются большим разнообразием форм- от самых простых до сложнейших, причудливых. Поверхности , полученные  на основе геометрического способа образования, отличаются целостностью и структурной четкостью, а также возможностью математического описания и точного отображения на чертеже.

Кривые поверхности открывают  широкие возможности для оригинальных и выразительных архитектурных  решений. Чтобы выбрать при проектировании ту или  иную поверхность, архитектор должен не только представить ее геометрическую форму  на чертеже, но и выявить  с помощью специальных графических  построений и перспективных изображений  светотеневые свойства поверхности, а  также форму ее граничного и видимого контура для наиболее характерных  точек зрения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                  Образование и задание поверхностей.

 

В начертательной геометрии  поверхность рассматривается как  непрерывное множество последовательных положений линии,  перемещающейся в пространстве, по определенному  закону.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                   Рис.1

 

Такой способ образования  поверхностей называют кинематическим.

Линию l, которая при своем движении образует поверхность, называют образующей. Образующая может перемещаться по какой-либо другой неподвижной линии m, называемой направляющей. Поскольку образующая и направляющая могут иметь самую различную форму, то и поверхностей  может  быть образовано бесчисленное множество. Вместе с тем форма и закон перемещения  образующей единственным образом определяют вид кривой поверхности

                              Определитель и каркас поверхности.                      При движении образующей каждая ее точка  описывает  в пространстве некоторую линию m_1. Таким образом, вся поверхность окажется покрытой сетью линий, состоящих из двух семейств: семейство образующих  l₁,l₂…. и семейства линий m₁, m₂…, описываемых отдельными точками образующей. Каждая линия одного семейства пересекает все линии  второго семейства. Для изображения на чертеже выделяют некоторое количество линий, которые образуют линейный каркас поверхности.

Если закон движения образующей    и ее форма определенным образом  заданы, то поверхность в начертательной геометрии определяют не каркасом, а образующей и условиями ее перемещения. При этом чертеж поверхности должен быть таким, чтобы на нем можно  было выделить и построить любую  линию и точку, принадлежащие  поверхности.

Совокупность геометрических элементов и условий, необходимых  и достаточных для однозначного задания  поверхности в пространстве  и на чертеже, называют определителем кинематической поверхности. Определитель поверхности содержит  две части - геометрическую и алгоритмическую.

Из сказанного выше можно  сделать следующий вывод: поверхность  считается заданной,  если относительно любой точки пространства однозначно решается вопрос о принадлежности  ее к данной поверхности.                   Построение точки, принадлежащей поверхности.

Точка принадлежит  поверхности, если она лежит на линии  этой поверхности. 

Чтобы по одной проекции точки, принадлежащей  поверхности, построить вторую ее проекцию,

 

 

 

 

 

 

 

Рис.2

необходимо  построить  каркас поверхности  I – II – III – IV, провести через заданную  проекцию точки, например a^/, вспомогательную линию m^/ - n^/ ,  принадлежащую поверхности, а затем построить вторую проекцию искомой точки a.  Если образующая каркаса совпадает с заданной  проекцией точки b, построение второй проекции упрощается.

Чтобы построить  горизонтальную проекцию произвольной точки C,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.2б

принадлежащей  поверхности  вращения, необходимо провести через  фронтальную проекцию с^’ вспомогательную параллель поверхности. Затем, построив горизонтальную проекцию параллели (окружность),  определить на ней горизонтальную проекцию точки с. Как следует из приведенного построения, фронтальной проекции точки с’ на горизонтальной проекции может соответствовать любая из четырех проекций точек с₁ и с₄ лежащих на параллели внешней части поверхности, или   с₂   и с₃ , лежащих на параллели внутренней части поверхности. Точка  А лежит на экваторе поверхности,  точка В - на главном меридиане.

 

                          

                           Очертание поверхности.

Чтобы придать чертежу  поверхности наглядность, строят ее очертание – проекцию линии контура  поверхности.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.3

Контуром или контуром видимости поверхности называется линия, точки которой являются точками касания проецирующих прямых. Проекция контура на плоскости проекции называется очертанием или очерком поверхности на данной плоскости.

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.3а

При изображении поверхности  на чертеже проекцию контурной линии  называют линией видимости, которая является границей , отделяющей видимую часть поверхности от скрытой, невидимой части на данной плоскости проекций.

При изображении поверхности  на плоскостях проекций  образуются разные линии ее контура.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.3б

При  проецировании на фронтальную плоскость проекции контурными  являются образующие  АВ и СD, а на горизонтальной проекции – контурными будут образующие МN и EF. Линию или границу отсека поверхности, например линию основания цилиндра, которая также представляет собой контурную линию, но не изменяет  своего положения на поверхности при различных ее положениях  относительно плоскостей проекций, называют граничным контуром поверхности.

                        Классификация поверхностей.

1. По закону движения образующей – поверхности с поступательным движением образующей, с вращательным и винтовым движением образующей.
2. По виду образующей различают поверхности с прямолинейной образующей – линейчатые  и поверхности с криволинейной образующей – не линейчатые.
3. По закону изменения формы образующей – с образующей постоянного или переменного вида.
4. По признаку развертывания поверхности на плоскость – развертываемые и не развёртываемые.
5. По способу задания поверхности – аналитическому или графическому.
6. По дифференциальным свойствам – гладкие или негладкие поверхности и по признаку кривизны поверхности.

 

 

 

                    Поверхности вращения.

Поверхностью  вращения называется поверхность, образованная вращением линии – прямой или  кривой образующей вокруг неподвижной  прямой – оси вращения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.4

На проекционном чертеже  ось вращения располагают перпендикулярно  плоскости проекций. Окружности, по которым перемещаются все точки образующей, называются параллелями; наибольшую параллель называют экватором, наименьшую – горловиной. Если ось поверхности вертикальна, то все параллели проецируются на горизонтальной проекции  без искажения.

Плоскости, проходящие через  ось вращения, пересекают поверхность  по линиям, называемым меридианами. Меридиан, расположенный в плоскости, параллельной плоскости проекций, называется главным  и проецируется на эту плоскость проекцией очерком поверхности. Параллели и меридианы, пересекаясь между собой, образуют на поверхности вращения ортогональную сеть. Она называется ортогональной потому, что меридианы пересекаются с параллелями под прямым углом.

Вид поверхности вращения зависит  от формы образующей и  ее положения относительно оси вращения. Рассмотрим  поверхности вращения, образованные вращением кривой линии.

 

 

                                   Эллипсоид вращения.

Если сферу сжать или  растянуть вдоль одного из диаметров, то образуются эллипсоиды вращения,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.5(90а)

их меридианом является эллипсис.  Если эллипс вращается вокруг большой оси, эллипсоид называют вытянутым; если вращение происходит вокруг малой оси, эллипсоид называют сжатым или сфероидом. Проекции точки  А, принадлежащей поверхности эллипсоида, построены с помощью проведения на поверхности вспомогательной параллели.

                                                Тор.

Поверхность тора образуется вращением окружности вокруг оси, не проходящей через ее центр, но расположенной  в плоскости окружности.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.5б(90б)

Если окружность не пересекает ось вращения, поверхность называют открытым тором или кольцом. Если ось касается окружности, то поверхность называют закрытым тором,  а если ось пересекает окружность, тор называют  самопересекающимся.

                              Параболоид вращения.

Меридианом поверхности  является парабола, ось которой служит осью поверхности.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 5 ( 90в).

                        Гиперболоид вращения.

Меридианом поверхности  является гипербола. Если ось вращения совпадает с действительной осью гиперболы, образуется двуполостный гиперболоид вращения;

 

 

 

 

 

 

 

Рис.5(90г)

если осью вращения является мнимая ось, то – однополостный.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.5(90д)

               Однополостный гиперболоид вращения.

Однополостный гиперболоид  вращения может быть образован вращением  прямой линии, которая скрещивается с неподвижной осью вращения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.6(93а).

При вращении прямой образующей АВ вокруг оси i каждая точка образующей перемещается по окружности. Одна из параллелей – это окружность с минимальным радиусом ОС, равным кратчайшему расстоянию между скрещивающимися прямыми. Очевидно, что та же самая поверхность может быть образована  прямой образующей,  наклоненной в противоположную сторону.

Таким образом, однополостный  гиперболоид вращения имеет две  образующие прямые линии, на его поверхности  имеется два семейства прямолинейных  образующих.

Если изменять наклон образующей и привести ее в положение, параллельное оси вращения, гиперболоид вращения вырождается в цилиндр вращения.

 

 

 

 

 

 

Рис.6(93б).

Если, не меняя наклона  образующей,  приблизить ее  к  оси  так, чтобы они пересеклись, гиперболоид  вращения вырождается  в конус вращения.

    Основные свойства однополостного гиперболоида вращения:

1. Однополостный гиперболоид вращения – дважды линейчатая поверхность;
2. Очерком поверхности является  гипербола;
3. Все образующие одного семейства – скрещивающиеся  прямые;
4. Каждая образующая одного семейства пересекает все образующие другого семейства;
5. Через каждую точку поверхности проходят  две прямолинейные образующие разных семейств.

Построение проекций однополостного гиперболоида вращения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.6(93в)

Пусть ось вращения расположена  перпендикулярно горизонтальной плоскости  проекций. Зададимся основными параметрами  отсека поверхности – его высотой, наибольшими и наименьшей параллелями  отсека. Разобьем  большую параллель на равные части и прономеруем  их. Горизонтальные проекции образующей (ab) должны касаться наименьшей окружности – горловины поверхности. После каждого последующего   положения горизонтальной проекции образующей следует построить ее фронтальную проекцию. При ином наклоне образующей получается второе семейство образующих, совпадающих на обеих проекциях поверхности с образующими первого семейства.

 

                                     Винтовые поверхности.

Винтовая  поверхность  образуется винтовым движением образующей линии.   Это совокупность  двух движений образующей – поступательного перемещения вдоль оси поверхности и вращательного вокруг оси.

Если образующая – прямая линия, винтовую поверхность называют геликоидом.   Геликоид называют прямым, если образующая составляет  с осью поверхности прямой угол; в других случаях геликоид называют наклонным.

На рис. 7 (95а)

                                                                                                                                           

 

 

 

 

 

 

 

 

приведены проекции  прямого  геликоида.  Если образующая пересекается с осью поверхности, геликоид называют закрытым, если не пересекается – геликоид называют открытым, как показано на рисунке.  На рис.(95б),

 

 

 

 

 

 

 

изображены проекции наклонного закрытого геликоида. Сечение этой поверхности горизонтальной плоскостью, перпендикулярной оси, дает спираль Архимеда.

При построении проекции наклонного  геликоида целесообразно пользоваться направляющим конусом. Углы наклона  к оси поверхности образующей геликоида и конуса берутся равными, а образующие – соответственно параллельными.