Конус»

Муниципальное обще образовательное учреждение

Средняя общеобразовательная школа  №54 с  углубленным изучение предметов  социально-гуманитарного цикла центрального района города Новосибирска 
 
 
 
 
 

Экзаменационная работа по геометрии на тему:

«Конус» 

 
I Конус

Конус – тело, полученное вращением прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей катет.

S- вершина конуса, круг с центром О – основание конуса

Отрезок SA=L образующая.

Отрезок OA=R – радиус основания.

Отрезок BC=2R – диаметр основания.

Треугольник SBC-осевое сечение

Угол BSC – угол при вершине осевого сечения

Угол SBO – угол наклона образующей к плоскости основания 
 
 
 

       II Сечение конуса

1. Секущая  плоскость проходит через ось  конуса (осевое сечение – равнобедренный  треугольник рис. 1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2. Секущая  плоскость проходит перпендикулярно  к оси конуса 

- круг с центром  О1  (рис. 2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

3.Сечение проходящее  через верщину конуса – равнобедренный

 треугольник  (рис. 3)

 

4.Параболическое  и гиперболическое сечения. (рис. 4 )  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

В конус всегда можно вписать шар. Его центр  на оси конуса

и совпадает  с центром окружности, вписанно в  треугольник,

являющийся осевым сечением конуса. 

Rш = Rк * tg a/2 = H*Rк/Rк +L 
 
 
 
 
 
 
 

Около конуса всегда можно описать шар. Его центр  лежит на

оси конуса и  совпадает с центром окружности, описаной около

 треугольника, являющегося осевым сечением  конуса.  

Rш = Rк / sinb ;   R²ш= (H-Rш) ² + Rк²

Rш =L/2H ;       (2Rш - Hк)Hк = Rк² 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                                      III Площадь поверхности конуса

1. За плщадь боковой поверхности конуса принимается площадь её разертки. Выразим S бок через его опразующую L и радиус основания r.  Площадь кругового сектора πL²/360*α . Выразим α  через L и r . Длинна дуги ABA равна 2πr (длинна окружности основания конуса) 2πr = πL/180* α,  откуда следует α=360r/L следовательно Sбок = πL²360r/360L=πrL 

   Sбок = πrL

2.   Площадь  полной поверхности конуса есть  сумма площадей боковой поверхности  и основания 

      Sпол=πrL(L+r) 
 
 
 
 
 
 
 

IV Объем конуса

Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту. 

Рассмотрим  конус с обьемом V, радиусом R, высотой h и вершиной О. Введем ось Ох, чтобы она совпадала с осью конуса  -ОН . Произвольное сечение конуса плоскостью, перпендикулярной к оси Ох, является круг с центром в точке Н1 пересечения этой плоскости с осью Ох. Обозначим Радиус этого круга через , ф площадь S(x) через,где х-абсцисса точки Н1.  Из подобия треугольников ОН1А1 и ОНА следует,что ОН1/ОН=R1/R,

или x/h=R1/R =>R1=XR/h. Так как S(x)= πR², то S(x)= πR²/h²* ²

Применяя основную формулу вычисления обьемов тел  при а=0 и b=h  получаем  
 
 
 
 
 
 
 
 
 

V Усеченный конус.

Усеченный конус  – часть конуса, заключенная между  основанием и паралельным основанию  сечением  конуса.

Круги с центрами О1 и О2 – верхнее и нижнее основания усеченного конуса, R r – радиусы оснований, АВ= L образующая ,α угол наклона образующе и плоскости нижнего основания.

Отрезок О1О2-высота. Трапеция АВСD – осевое сечение. 

Н=L*sin α

H²+(R-r) ²=L² 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Около усеченного конуса всегда можно описать шар. Его центр лежит на прямой О1О2

CF=FD OF┴Cd=>

О – центр  описанного шара  R - радиус описанного шара, равный радиусу окружносит описанной около ΔACD 
 
 
 
 

В усеченный  конус можно вписать шар тогда  и только тогда, когда образующая равна сумме радиусов оснований L=R+r => существует вписанный шар.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

VI Площадь поверхности усеченного конуса

1. Пусть Р – вершина конуса, из которого получен усеченный конус, АА1-одна из образующих

Усеченного конуса О и О1 – центры оснований. Используя формулу Sбок для конуса получаем

S бок =   πr*PA-πr1*PA1=πr(PA1+AA1)- πr1PA1, отсюда, учитывая, что AA1=L, находим

Sбок =πrL +π (r - r1)PA1

Выразим РА1 через  L1, r и r1. Прямоугольные треугольники РО1А1 и РОА подобны, так как имеют общий острый угол Р и поэтому PA1/PA=r/r1 или PA1/PA1+L=r/R1. Получаем  PA1=Lr1/R-r1.  S=πrL + (π(r-r1)Lr1)/r-r1=πrL+πr1L=πL(r+r1) 

Sбок =πL(r+r1) 

2. Площадь полной поверхности усеченного конуса равна  сумме площадей боковой поверхности  усеченного конуса и оснований

  Sполн = S1+S2+Sбок=πL(r+r1)+ πR²+πr² 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

VII Обьем усеченного конуса

Обьем усеченного конуса V, высота которого равна h, а площади оснований S и S1 вычисляется по формуле  

      V=1/3h(S+S1+√S*S1)