Касательные к эллипсу, гиперболе, параболе. Диаметры линии второго порядка

Мирнинксий политехнический  институт филиал сфву им. м.к. аммосова

Курсовая работа

Касательные к эллипсу, гиперболе, параболе. Диаметры линии второго  порядка.

Арыйаан

22.04.2012

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

 

Касательная к эллипсу

Теорема. Пусть  – произвольная точка эллипса

 

Тогда уравнение  касательной к этому эллипсу в точке имеет вид:

 
  Доказательство. Достаточно рассмотреть  случай, когда точка касания лежит  в первой или второй четверти  координатной плоскости: 

    Уравнение эллипса  в верхней полуплоскости имеет  вид:

             (2)

Воспользуемся уравнением касательной к графику  функции y=f(x) в точке :

               (3)

где – значение производной данной функции в точке . Эллипс в первой четверти можно рассматривать как график функции (1). Найдем ее производную и ее значение в точке касания:

.

Здесь мы воспользовались тем, что  точка касания  является точкой эллипса и поэтому ее координаты удовлетворяют уравнению эллипса (2), т.е.  

 

Подставляем найденное значение производной  в уравнение касательной (3):

 

откуда  получаем:

 

 

Отсюда  следует:

 

Разделим  это равенство на

 

Осталось  заметить, что  , т.к. точка принадлежит эллипсу и ее координаты удовлетворяют его уравнению.

 Аналогично доказывается уравнение касательной (1) в точке касания, лежащей в третьей или четвертой четверти координатной плоскости.

И, наконец, легко убеждаемся, что уравнение (1) дает уравнение касательной в точках илиx=-a , и илиx=a .

Теорема доказана.

 

Касательная к гиперболе

Теорема. Пусть – произвольная точка гиперболы

 

Тогда уравнение касательной к этой гиперболе точке   имеет вид:

 

Доказательство. Достаточно рассмотреть случай, когда точка касания лежит в верхней координатной полуплоскости: . Уравнение гиперболы в верхней полуплоскости имеет вид:

 

Воспользуемся уравнением касательной  к графику функции  в точке 

где   – значение производной данной функции в точке. Гиперболу в верхней полуплоскости можно рассматривать как график функции. Найдем ее производную и ее значение в точке касания:

 

 

Здесь мы воспользовались тем, что точка  касания   является точкой гиперболы и поэтому ее координаты удовлетворяют уравнению гиперболы, т.е.

 

Подставляем найденное значение производной  в уравнение касательной:

 

откуда  получаем:

 

 

Отсюда  следует:

 

Разделим  это равенство на

 

Осталось  заметить, что  , т.к. точка принадлежит гиперболе и ее координаты удовлетворяют ее уравнению.

   Аналогично доказывается уравнение  касательной в точке касания,  лежащей в нижней координатной  полуплоскости.

 

   И, наконец, легко убеждаемся, что уравнение касательной в  точках

 

Теорема доказана.

 

Касательная к параболе

Доказательство: Докажем, что прямая а, содержащая биссектрису угла FADбудет касательной к параболе.

1. Рассмотрим треугольник FAD – равнобедренный, т.к. AF=ADпо определению параболы. Значит прямаяа– серединный перпендикуляр к отрезку FD.
2. Возьмем на прямой а произвольную точку, отличную от точки А. Пусть – перпендикуляр к директрисе d. Т.к. точка А лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AD, то >, т.к.- перпендекуляр, а – наклонная.

Таким образомЗначит токаАне лежит на параболе.

3. Получили, что прямаяаимеет с параболой только одну общую точку – точку А. Значит прямая а является касательной к параболе. Что и требовалось доказать.

 

 

 

 

 

 

 

Диаметры  линии второго порядка. Сопряженные  диаметры. Главные диаметры.

Сведения по теории.

Определение. Диаметром линии второго порядка называется множество середин всех хорд, параллельных некоторому вектору неасимптотического направления. Данные хорды называются сопряженными диаметру.

Уравнение диаметра: пусть - вектор неасимптотического направления. Тогда .

Свойства диаметров.

1. Если линия второго порядка имеет центры, то они принадлежат любому ее диаметру.
2. Если дана центральная линия второго порядка, то любая прямая неасимптотического направления, проходящая через ее центр, является диаметром.
3. Любой диаметр нецентральной линии второго порядка имеет асимптотическое направление.

Определение. Два диаметра называются сопряженными, если каждый из них делит пополам хорды, параллельные другому диаметру.

Векторы и являются сопряженными относительно линии второго порядка тогда и только тогда, когда .

Определение. Направления, задаваемые векторами и , называются главными относительно линии второго порядка , если они сопряжены относительно и перпендикулярны.

Вектор  имеет главное направление тогда и только тогда, когда

Определение. Диаметр называется главным, если он перпендикулярен сопряженным хордам. 
Задачи.

1. Точка является серединой хорды параболы . Написать уравнение прямой, на которой лежит эта хорда.

Указания. Эту задачу мы уже решали в §1. Решим ее другим способом. Пусть  - направляющий вектор искомой прямой . Так как точка А – середина хорды, А принадлежит диаметру данной параболы, сопряженному вектору (по определению диаметра). С одной стороны, запишем уравнение прямой ,  используя общее уравнение диаметра: , то есть .  По условию , то есть . Тогда или . ‰

 

Эллипс	Гипербола	Парабола
- фокусы,	- фокусы,	- фокус, - директриса, - фокальное расстояние
, где	, где
	Асимптоты:
Эксцентриситет	Эксцентриситет	Эксцентриситет
Д И Р Е К Т Р И С Ы
Директориальное свойство , где и - соответствующие фокус и директриса
Уравнение в полярной системе координат : , где
Уравнение задает весь эллипс	Уравнение задает правую ветвь гиперболы	Уравнение задает всю параболу

Тема 1. Линии  второго порядка.

§ 1. Эллипс. Гипербола. Парабола¹.

 

 

Задачи:

 

№488        

                2y=-3x-7                  

 →

То 

 

-3x-2y+10=0                                                                           -3x-2y-10=0

3x+2y-10=0                                                                            3x+2y+10=0

 

 

№643

2x-y-3=0

y=2x-3                             k=2                                  

        

 

 

№563

       ур-е. касательной к гиперболе.

  известно  что проходит через точку А.  (-1;7)

       но  точка Н гиперболу поэтому

                   

                       D=

                                

                            

То М(5;3)    

.