История возникновения координат на плоскости

История возникновения координат  на плоскости

История возникновения координат  и системы координат начинается очень давно, первоначально идея метода координат возникла ещё в  древнем мире в связи с потребностями  астрономии, географии, живописи. Древнегреческого ученого Анаксимандра Милетского (ок. 610-546 до н. э.) считают составителем первой географической карты. Он четко описывал широту и долготу места, используя прямоугольные проекции.  
Более чем за 100 лет до н.э греческий ученый Гиппарх предложил опоясать на карте земной шар параллелями и меридианами и ввести теперь хорошо известные географические координаты: широту и долготу и обозначить их числами.  
Идея изображать числа в виде точек, а точкам давать числовые обозначения зародилась в далекой древности. Первоначальное применение координат связано с астрономией и географией, с потребностью определять положение светил на небе и определенных пунктов на поверхности Земли, при составлении календаря, звездных и географических карт. Следы применения идеи прямоугольных координат в виде квадратной сетки (палетки) изображены на стене одной из погребальных камер Древнего Египта.  
Основная заслуга в создании современного метода координат принадлежит французскому математику Рене Декарту. До наших времён дошла такая история, которая подтолкнула его к открытию. Занимая в театре места, согласно купленным билетам, мы даже не подозреваем, кто и когда предложил ставший обычным в нашей жизни метод нумерации кресел по рядам и местам. Оказывается эта идея осенила знаменитого философа, математика и естествоиспытателя Рене Декарта (1596-1650)– того самого, чьим именем названы прямоугольные координаты. Посещая парижские театры, он не уставал удивляться путанице, перебранкам, а подчас и вызовам на дуэль, вызываемыми отсутствием элементарного порядка распределения публики в зрительном зале. Предложенная им система нумерации, в которой каждое место получало номер ряда и порядковый номер от края, сразу сняла все поводы для раздоров и произвела настоящий фурор в парижском высшем обществе.  
Научное описание прямоугольной системы координат Рене Декарт впервые сделал в своей работе «Рассуждение о методе» в 1637 году. Поэтому прямоугольную систему координат называют также — Декартова система координат. Кроме того, в своей работе «Геометрия» (1637), открывшей взаимопроникновение алгебры и геометрии, Декарт ввел впервые понятия переменной величины и функции. «Геометрия» оказала огромное влияние на развитие математики. В декартовой системе координат получили реальное истолкование отрицательные числа.  
Кроме математики интересы Декарта распространялись на физику, где он дал четкую формулировку закона инерции, открыл закон преломления световых лучей на границе двух различных сред («Диоптрика», 1637).  
Вклад в развитие координатного метода внес также Пьер Ферма, однако его работы были впервые опубликованы уже после его смерти. Декарт и Ферма применяли координатный метод только на плоскости. Координатный метод для трёхмерного пространства впервые применил Леонард Эйлер уже в XVIII веке.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

  Что такое система координат?

Слово «система» греческого происхождения.

«Тема» - нечто заданное, «сис» - составленное из частей.Таким образом, «система» - нечто заданное, составленное из частей (или четко расчлененное целое).

Система координат — комплекс определений, реализующий метод координат, то есть способ определять положение точки  или тела с помощью чисел или  других символов. Совокупность чисел, определяющих положение конкретной точки, называется координатами этой точки.

 

В математике координаты — совокупность чисел, сопоставленных точкам многообразия в некоторой карте определённого  атласа.

В элементарной геометрии координаты — величины, определяющие положение  точки на плоскости и в пространстве. На плоскости положение точки  чаще всего определяется расстояниями от двух прямых (координатных осей), пересекающихся в одной точке (начале координат) под прямым углом; одна из координат  называется ординатой, а другая —  абсциссой. В пространстве по системе  Декарта положение точки определяется расстояниями от трёх плоскостей координат, пересекающихся в одной точке  под прямыми углами друг к другу, или сферическими координатами, где  начало координат находится в  центре сферы.

В географии координаты — широта, долгота и высота над известным  общим уровнем (например, океана). См. географические координаты.

В астрономии координаты — величины, при помощи которых определяется положение звезды, например, прямое восхождение и склонение.

Небесные координаты — числа, с  помощью которых определяют положение  светил и вспомогательных точек  на небесной сфере. В астрономии употребляют  различные системы небесных координат. Каждая из них по существу представляет собой систему полярных координат  на сфере с соответствующим образом  выбранным полюсом. Систему небесных координат задают большим кругом небесной сферы (или его полюсом, отстоящим на 90° от любой точки  этого круга) с указанием на нём  начальной точки отсчёта одной  из координат. В зависимости от выбора этого круга системы небесных координат называлась горизонтальной, экваториальной, эклиптической и  галактической.

Наиболее используемая система  координат — прямоугольная система  координат (также известная как  декартова система координат).

Координаты на плоскости и в  пространстве можно вводить бесконечным  числом разных способов. Решая ту или  иную математическую или физическую задачу методом координат, можно  использовать различные координатные системы, выбирая ту из них, в которой  задача решается проще или удобнее  в данном конкретном случае. Известным  обобщением системы координат являются системы отсчёта и системы  референции.

 

 

 

 

 

            Виды систем координат:

 

 Положение любой точки P в пространстве (в частности, на плоскости) может быть определено при помощи той или иной системы координат. Числа, определяющие положение точки, называются координатами этой точки.

Наиболее употребительные координатные системы - декартовы прямоугольные. Кроме прямоугольных систем координат существуют косоугольные системы. Т.к. я не встречал примеров применения косоугольных систем, то я их не рассматриваю. Прямоугольные и косоугольные координатные системы объединяются под названием декартовых систем координат. Иногда на плоскости применяют полярные системы координат, а в пространстве - цилиндрические или сферические системы координат. Обобщением всех перечисленных систем координат являются криволинейные системы координат.

 

 

 

Криволинейные системы координат

В двухмерном пространстве задаются два семейства линий (координатных линий), зависящих каждое от одного параметра, причем через каждую точку  проходит только по одной линии каждого  семейства. Значения параметров, соответствующие  этим кривым, являются криволинейными координатами этой точки.

В трехмерном пространстве задаются три семейства координатных поверхностей, таких, что через каждую точку  проходит по одной поверхности каждого  семейства. Положение точки в  такой системе определяется значениями параметров координатных поверхностей, проходящих через эту точку.

 

Декартовы прямоугольные системы  координат

Для задания декартовой прямоугольной  системы координат нужно выбрать  несколько взаимноперпендикулярных прямых, называемых осями. Точка пересечения осей O называется началом координат.

На каждой оси нужно задать положительное  направление и выбрать единицу  масштаба. Координаты точки P считаются  положительными или отрицательными в зависимости от того, на какую  полуось попадает проекция точки P.

 

Полярные системы координат

Полярными координатами точки P называются радиус-вектор ρ - расстояние от точки P до заданной точки O (полюса) и полярный угол φ - угол между прямой OP и заданной прямой, проходящей через полюс (полярной осью). Полярный угол считается положительным при отсчете от полярной оси против часовой стрелки и отрицательным при отсчете в обратную сторону.

Координатные линии в полярных системах - окружности с центром  в полюсе и лучи.

Формулы для перехода от полярных координат к декартовым

x=ρ*cos(φ), y=ρ*sin(φ)

и обратно:

ρ=sqrt(x2)+y2), φ=arctg(y/x)=arcsin(y/ρ)

 

Цилиндрические системы координат

ρ и φ - полярные координаты проекции точки P на основную плоскость (обычно xOy), z - аппликата - расстояние от точки P до основной плоскости.

Для цилиндрических координат координатными  поверхностями являются плоскости, перпендикулярные к оси Oz (z=const), полуплоскости, ограниченные осью z (φ=const) и цилиндрические поверхности, осью которых является ось z (ρ=const). Координатные линии - линии пересечения этих поверхностей.

Формулы для перехода от цилиндрических координат к декартовым

x=ρ*cos(φ), y=ρ*sin(φ), z=z

и обратно:

ρ=sqrt(x2+y2), φ=arctg(y/x)=arcsin(y/ρ)

 

Сферические системы координат

r - длина радиус-вектора, φ - долгота,  θ - полярное расстояние. Положительные  направления отсчета показаны  на рисунке 6. Если давать сферическим  координатам значения в следующих  пределах:

0 ≤ r < ∞, -π < φ ≤ π, 0 ≤  θ ≤ π,

то получаются однозначно все точки  пространства.

Координатные поверхности: сферы  с центром в начале (r=const), полуплоскости, ограниченные осью z (φ=const), конусы (с вершиной в начале), для которых ось z является осью (θ=const). Координатные линии - линии пересечения этих поверхностей.

Формулы перехода от сферических координат  к декартовым

x=r*sin(θ)*cos(φ), y=r*sin(θ)*sin(φ), z=r*cos(φ)

и обратно

r=sqrt(x2+y2+z2), φ=arctg(y/x), φ=arctg(sqrt((x2+y2)/z))

 

 

 

Геодезические системы координат:

 

Сферическая система. Широта долгота  и радиус-вектор. Система координат, построенная на эллипсоиде. Геодезические  координаты: широта, долгота и высота. Связь между сферической, геодезической  и декартовой системами координат.

 

Геодезические задачи решают на плоскости, если размеры площади невелики. Если исследуемая часть поверхности  занимает несколько градусов широты или долготы, то необходимо учитывать  и кривизну поверхности. В этом случае часто подходит и шар. Для решения  глобальных задач, в том числе  и задач по космической геодезии в качестве тела отсчета берут  эллипсоид вращения. В частности  на эллипсоиде решают следующие задачи:

 

2.1 Декартовы системы координат

 

Введем две прямоугольные системы  координат: локальную и глобальную.

 

Начало системы отсчета (точка  Р) для локальной прямоугольной  системы координат выберем в  точке наблюдения, лежащей на поверхности  эллипсоида. Ось РХ направим на Север, ось РУ? на Восток, а ось   по нормали к поверхности эллипсоида вниз (по внутренней нормали). В этой системе координат "горизонтальная" плоскость ХРУ не совпадает с  плоскостью астрономического горизонта.

 

Глобальную декартову геодезическую  систему координат Oxyz строят так:

начало отсчета совмещают с  центром ОЗЭ (не путать с центром  масс Земли!), плоскость xOy -- c плоскостью экватора. Ось Ox совмещают с линией пересечения плоскости нулевого меридиана и плоскости экватора. Ось Oy пересекает экватор в точке с долготой 90°. Ось Oz совпадает с осью вращения ОЗЭ. Эта ось не обязательно совпадает с осью вращения Земли. Для трехосного ОЗЭ начало координат берут в центре масс Земли, а оси -- совпадающими с главными осями инерции. В этом случае плоскость xOy, вообще говоря, не будет лежать в плоскости экватора.

 

2.2 Сферическая система координат

 

Телом отсчета для сферической  системы координат является сфера  с радиусом  . Начало этой системы координат совмещают с центром сферы. Координатами являются геоцентрическая широта , долгота и радиус-вектор . Широтой называется угол между радиусом-вектором и плоскостью экватора. Долгота есть угол между плоскостью, проходящей через заданную точку и осью вращения (плоскость меридиана) и плоскостью меридиана, принятого в качестве нулевого. Связь между сферической системой и глобальной декартовой определяется формулами

 

  (2.1)

 

В том случае, когда широта определяется как угол между плоскостью экватора и отвесной линией, сферическая система  координат называется астрономической. Широта и долгота, определенные в  этой системе мы будем обозначать через  и .

 

 

2.3 Геодезическая система координат

 

С геодезической системой координат  связывают понятия геодезической  широты, долготы и высоты. Геодезическая  широта В есть угол, под которым пересекается нормаль к поверхности эллипсоида с плоскостью экватора. Долгота   -- двугранный угол между плоскостью нулевого меридиана и плоскостью меридиана, проходящего через заданную точку.

 

Геодезические широта и долгота отличаются от соответствующих астрономических координат, связанных с отвесной линией, так как отвесная линия не совпадает с нормалью к эллипсоиду. Отклонение отвесной линии можно спроецировать на две плоскости: плоскость меридиана и плоскость первого вертикала. Нетрудно понять, что обе эти составляющие можно определить через разности между астрономическими и геодезическими координатами

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Системы координат в Древнем  Египте.

Следы применения идеи прямоугольных  координат в виде квадратной сетки (палетки) изображены на стене одной  из погребальных камер Древнего Египта.

  Пирамиды в Гизе. На первом  плане пирамида Хефрена, далее пирамида Хеопса. Строительство пирамид относится к периоду правления IV династии

     Несомненно, большую  роль играли простота и лаконизм  архитектурных форм пирамид, а  также пропорции. Известно, что  высота пирамиды к ее основанию  соотносились как 1 :0,618, т.е. в пропорциях золотого сечения. При этом угол наклона боковых граней пирамид по отношению к плоскости земной поверхности получался 51 — 52°, т. е. был близок к углу, свойственному сыпучим телам. Все это в совокупности с идеально гладкой поверхностью граней пирамид вызывало впечатление «нерукотворности» этих сооружений, что, по — видимому, и хотели воплотить в своих произведениях древние зодчие. Однако этим еще не исчерпывалось их мастерство. Комплекс пирамид в Гизе представлял собой гармонически убывающий ряд архитектурных объемов, расположенных в огромном природном пространстве.