Мазмұны

Кіріспе................................................................................................................6

I.      Тарау. Ықтималдылық туралы түсінік

1.1.    Кездойсоқ шамалардың түсініктемесі...................................................7                     

    1.2.     Ықтималдылықтың орташа  және дисперсия үлестірілуі.................11

1.3.    Бернулли үлестіруі.................................................................................13

II.      Тарау. Биномальды үлестіру

2.2.           Геометриялық үлестіру..........................................................................22

2.3.           Гипергеометриялық  үлестіру...............................................................25

ІІІ.     Қорытынды.............................................................................................30

ІУ.     Пайдаланылған  әдебиеттер..................................................................31                                                               

К і р і с п е

              Қазіргі уақытта  ықтималдықтар теориясы  барлық жаратылыстану, экономикалық және техникалық ғылымдар ғана емес, тіпті математикадан алшақ деп саналатын тіл  ғылымына, педагогика мен психологияға, сондай-ақ социологияға, археологияға еніп, ортақ тіл табысып, ішкі құрылыс заңдарын  ашатын  пәрменді құралға айналып келеді кеңейтіліп, анықтала түседі де, формальданады. Оқиға ұғымы ықтималдылықтың  . Ықтималдықтар теориясының бірінші негізгі ұғымы- оқиға бірте-бірте классикалық анықтамасында бастапқы ұғым болып, формальды логикалық тұрғыдан анықталмайтын жиын ұғымы ретінде түсіндірілсе,  аксиоматикалық тұрғыдан оған анықтама берілді. Сондықтан оқиға ұғымы туралы мына жағдайларды ескеру қажет. Оқиғалар мен олардың арасындағы қатыстарды үш рет қайталап  отырғанымызды аңғару қиын емес.

              Ықтималдылық формальданған, бұл жағдайда  ықтималдықтың классикалық, статистикалық (жиіліктік),, геометриялық және аксиоматикалық анықтамалары бір-бірімен салыстыру және  жетімсіздігін толықтыру арқылы түсіндіріледі.

              Негізгі теоремалардың дәлелдемесі ықтималдылықтың классикалық анықтамасы негізінде келтірілді. Комбинаторика ұғымы қарапайым статистикалық мәліметтер арқылы сипатталады. Мұнда қайталама және қайталанбайтын таңдаамалар сияқты статистика терминдерін енгіземіз. Комбинаторика ұғымы ықтималдықтарды есептеуге кең қолданылады.

              Ықтималдық ұғымдарының тарихи дамуы мен ғыылым ретінде қалыптасуы бірнеше сатыдан өтеді. Бұл ғылымның дамуына Европа ғалымдары Б.Паскаль (1623-1662), П. Ферма (1601-1665), Х. Гьюгенс (1629-1695), Я. Бернулли (1654-1775), А. Муавр (1667-1754), П. Лаплас (1749-1827), Ф. Гаусс (1777-1855), С Пуассон (1781-1840) және орыс ғалымы Буяковский (1804-1889) көп үлес қосты.

                     Кездойсоқ шамалар және ықтималдылықты үйлестіру.

Кездойсоқ шамалардың түсініктемесі.

              Математика және статистикадан мамандандыратын жетекші  университеттің студенттерінен, олардың мектепте елу тақырыптың шамасында оқыған тақырыптарын атап көрсетуді сұраған. Студенттердің жартысына жуықтары «биномиалды үлестіру» тақырыбын және беп пайызы «дискретті кездойсоқ шамаларды» атаған.

Алайда, екінші тақырыпты   оқымай,  білмей, бірінші тақырып жайында түсіну мүмкін емес.

Кездойсоқ шамалар дегеніміз-жазықтықта  айнымалы шамалардың  тек қана бір мәні ғана әр нүктеге  тура келетін сандық айнымалы болып табылады (оны функция түрінде сипаттаған дұрыс).

              Таңдамалы жазықтық көпмүшелік болып табылатын

{1,2,3,4,5,6} ойын сүйегін лақтырумен байланысқан сынаманы қарастырдық. Қарапайым мысалды алу үшін Х-тың мәнін  кездойсоқ шама ретінде анықтау «ойын сүйегінде түскен соң» жеткілікті. Х-1,2,3,4,5 және 6 мәндерін қабылдаулары мүмкін. Ойын сүйегін екі  реттілікте лақтырумен байланысқан тәжірибесінде түскен мәндердің соммасы және әрбір бүтін мәндер 2-ден 12-ге дейін таңдап алынған жазықтық тордағы нүктелер саны саналған, яғни шын мәнісінде кездойсоқ шамалардың мүмкін болтын мәндері қарастырылған.

              Кей жағдайларда кездойсоқ шамаларды тиісті формуламен «бөліп» қарастырған  тиімдірек болады. Екі реттілікте ойын сүйегін лақтырудың В-жайындағы «мәннің жетіге тең түсу соммасы», ал С-жағдайында  «мәннің сегізге тең түсу соммасы» анықталған. Егер Х-кездойсоқ шамасы «түскен мәндер сомасы» ретінде анықталса, онда Х=7 жағдайы В-жағдайына Х=8   ал ол С жағдайына дәлме-дәл  ұқсас келеді (осыған,байланысты айта кету,қажет,  кездойсоқ шама жағдай , оқиға бола алмайды). Әлі де В және С жағдайларына ұқсас тоғыз жағдай бар. Жинақталған осы он бір жағдайлар барлық таңдап алынған жазықтықты құрайды, ал бөлек түрде олар түскен шама, мәндерге байланысты жазықтықты бөледі.

              Дискретті  таңдап алынған жазықтық-нүктелердің шектеулі сандарынан немесе «шексіз сомаларды» нүктелердің көпмүшеліктерінен тұрады, мысалы  бүтін барлық оң сандардың көпмүшелікері.

              Шексіз таңдап алынған осы жазықтыққа қарама-қарсылық жазықтықтың кез-келген шекті интервалындағы нүктелердің шексіз сандарынан тұрады; шексіз таңдап алынған жазықтықта  бақылау  қарастырылған шексіз, үздіксіз деректерді береді. Үздіксіз таңдап алынған жазықтық және үздіксіз кездойсоқ шамалар  қарастырылады.

              Дискретті таңдап алынған жазықтықта анықталған кез-келген кездойсоқ шама-дисскретті кездойсоқ шама деп аталынады. Бірқатар жағдайлардың ықтималдығы – осы жағдайларды құрайтын  ықтимал мәндердің соммасы болып табылады. Ойын сүйегі екі реттілік лақтыру жағдайында атап өткендей, таңдап алынған жазықтықтың барлық 36 нүктесі тең ықтималды. Сондықтан таңдап алынған жазықтық кездойсоқ Х- шамасымен бөлінетін он бір жағдайдың ықтималдығы 1/36 –осы жағдайды құрайтын таңдап алынған жазықтықтың нүктелер санына тең.

              Дискретті кездойсоқ мәндердің ықтималдығын үлестіру тиісті ықтималдылықтармен бірге кездойсоқ шамалардың көпмүшеліктерін білдіреді. Х-кездойсоқ шамасының ықтималдығын үлестіру мына төмендегідей түрде көрсетіледі.

              Осы таңдап алынған жазықтың өзінде Х-кездойсоқ шамасын анықтай аламыз «түскен шамалар айырмасы». Бұл жерде таңдап алынған жазықтықтың алты нүктесі  бар, Y=0, Y=1 тең оң нүкте және тағы  басқалары. Ықтималдылықтарды үйлестіру, тарату 18 сан бөлгішімен ұсынған тиімдірек:

              52 картадан тұратын қорабынан қайталамай  екі картаны кездойсоқ таңдап алу тәжірибесі үшін Х-кездойсоқ  шамалардың ықтималдыдылқтарын үлестіру  Х={алынған тұздардың саны} Х=0 48*47 нүктесіне тең таңдап алынған жазықтықтарға тиісті анықталады, «бірінші карта  тұз» жағдайы үшін 4*48 нүкте сай келеді, «екінші карта тұз» жағдайы үшін 4*48 нүктесі және Х=2  жағдайында  4*3 нүктесі сай келеді. Таңдап алған жазықтықта барлығы 52*51 нүкте бар, сондықтан  Х үшін ықтималдылықты үйлестіру келесі түрде болады:

Y=0 кездойсоқ шама үшін ықтималдылықты бөлу «Алынған ликтер соңы» мына төмендегідей  болады.

              Ықтималдылықтарды  графикалық бөлу жиіліктер түріндегі деректер үшін вертикалды кесінділер диаграммасы түрінде ұсынылуы  мүмкін. Оқырман үшін  осындай  қосымшаларды  өз беттерінше жасауға  мүмкіншілік береді.  Ол осы тарауда қарастырылады.

              Х-кездойсоқ шамасының үлестірудегі кумулетивті функциясы F(X<x) түрінде анықталады. Х-тан функция түрінде  өрнектелген шама кездойсоқ шама кез-келген берілген Х-санынан төмен немесе тең  болатынын белгілеуге арналған жазба әріптерін қолданудағы  және  мәнде үшін  алынған қатар әріптер айырмашылықтарына назар аударыңыздар: х-пен кез-келген  алгебралық есептеулер орындалса,ол Х-пен орындала алмайды. Сонымен қатар, бұл F(x) функциясының  анықтамасы үздіксіз және дискретті  кездойсоқ шамалар үшін қолданбалы. Тек қана бүтін, толық мәндерді қабылдайтын дискретті кездойсоқ шамалар үшін F(r)  функциясы ықтималдары  суммалаумен алынуы мүмкін:

Жалпы жағдайда былай  жазуға болады:

F(x)  функциясы барлық Х затты шамалары, мәндері үшін анықталған, тіпті Х- кездойсоқ шама тек қана бүтін мәндерді қабылдаса да. Осы мысал үшін F(x)   фунц иясының толық жазбасы мынадай: егер, Х және Y – тек қана толық, бүтін мәндерді қабылдап,таңдап алынған жазықтықтан анықталатын болса екі дискретті кездойсоқ шамалар тәуелсіз, байланыссыз деп айтылады, егер:

Тәуелсіз кездойсоқ шамалар толық анықталуы біркелкі  үздіксіз кездойсоқ шамалар үшін де және дискретті  шамаларға да қолданбалы. Х және Y тәуелсіз, егер

кез келген  затты х және у үшін.

              Осындай түрлі түсініктерді «тәуелсіз жағдайлар», «тәуелсіз сынамалар», «тәуелсіз кездойсоқ шамалар» нақты білу және түсіну ықтималдылықтың қарапайым теориясын терең түсінудің  негізі болып табылады.

Орташа және ықтималдылықты үлестіру дисперсиясы.

Біз N бақылау  жиынтығынан орташа және дисперсияны анықтадық.

              Бірқатар тізбекті бағдарламалар , жиіліктер түрінде ұсынылған деректермен жұмыс істеуге  бейімделген. Егер h-ты, түрлі бақылау мәндерін - арқылы белгілесек, ал тиісті жиіліктерді - арқылы, онда h-түрлі шамасы бойынша суммасы  бақылаудың жалпы санына тең болады. Ол  N-арқылы белгіленеді. Ондай болса орташа  және дисперсияға арналған формулалар мынадай түрде болады:

,

              Деректер арасындағы бақылау сандарының өсу шегі бойынша барлық мүмкін болатын мәндер пайда болады, ал қатынасты жиіліктер шекті қатынасты жиіліктерге ұмтылады. Ол  дискретті  кездойсоқ шамасы түрінде болады. Формуладағы бірлікті алудың  үшін әсері жоғалады   m және    -тың   шектеулі  мәндік   шамалары  Х кездойсоқ шамалық ықтималдылықтың орташа  және үлестіру дисперсиясы болып табылады. Олар   және грек әріптерімен белгіленеді. Олай болса, қарастырылп отырған формулалар мынадай түрде болады:

Мұндағы екі жағдайда суммалау барлық мүмкіншілік мәндері бойынша жүргізіледі.  Тек қана бүтін, толық мәндерді қабылдайтын Х кездойсоқ шамалары үшін, былай жазуға болады:

           ,         

Соңғы формулада   өрнегін аша отырып жиі қолданылып жүрген өрнегіне ұқсас формуласын  аламыз.

Жақында қаралатын стандартты ықтималдылық  үлестірулер үшін және өрнектейтін элементарлы, қарапайым  формулалар бар. Қарапайым үлестірулер мысалында және шамаларын есептеуді жоғарыда келтірілген формулалар бойынша ешқандай қиындықты тудырмайды. Бұл жағдайда қолайлы болу үшін барлық ықтималдылықтарды олардың кіші жалпы бөлгіштеріне көбейтеміз. Онда ойын сүйегін лақтырудағы сандар үшін  алатынымыз:

жағдайдағылар таңдап аынған тұздар саны үшін екі  картаға алатынымыз:

                            .

Бернулли үлестіруі

              Бұл тарауда , біз ықтималдылықты  жеті түрлі типтермен байланысқан есептеу бағдарламаларын ұсынғалы отырмыз. Мысалы, «Биномальды бөлу» жайлы айтқанда  шын мәнісінде  дискретті кездойсоқ шамалар ға арналған , солатрға қолданылатын үлестірудің ерекше түрін қарастырады. Бірқатар тәжірибелерге сәйкес келетін нақты үлестіру деректі тәжірибенің сандық сипаттамаларының бір немесе бірнеше түрлеріне тәуелді. Оқу құралдарында «параметр» сөзі  көптеген жағдайларда «жиынтықты, жинақталған сандық сипаттама» түрінде «статистиканы» анықтай отырып  айқындалады. Бұл термин  көбінесеықтималдылықты үлестіруге қолданылады.

              Үлестірудің барлық жеті, реттік сандық қатарлары бойынша ұсынылады. Ол, осындай бағдарламаларды «ықтималдылықты дискретті үлестіру»  деп  аталатын біркелкі  пакетіне жинақтауға мүмкіндік жасайды. Бірінші бағдарламаға барлық пакет үшін «меню» белгіленген. Бұл тізімде  жеті  үлестіру түрі  зерделеп – зерттелуі мүмкін, ыңғайлы болу үшін алфавиттік қатарда орналастырылған.

              Қарапайым үлестіру түрі болып-Бернулли үлестіруі болып табылады. Ондағы кездойсоқ шама екі кіріспеден тұратын таңдап алынған жазықтықта анықталған.Тиісті сынақтар жүргізілетін  типті таңдап алынған жазықтықтарды  көрсетеміз:

              {герб, тор}                                                                {жарамды, жарамсыз},

              {бала, қыз}                                                                {дәл тию, қисық кету},

              {қабылданды, қайтарылды }         {өлім, жазылу},

Осы көрсетілген жағдайларда «жеңіс,табыс» және «жеңіліс» көріністері  көрсетілген . Х-кездойсоқ шамасын табыс саны ретінде  анықтаймыз, олай болса Х    0     және 1 мәндерін қабылдауы тиісті. Алайда, «табыс » сөзі бақылаушының міндеті жарамсыз, сапасы бар бұйымдарды  тауып алу және сондықтан да «жарамды» сөзі «жеңіліске», ал «жарамсыз» сөзі «табысқа» теңестіріледі.

              Результат выполнения программы символы, таңбасы, «жетістік,табыс» ықтималдығын белгілеу  үшін қолданылады және осы дара  параметр үлестіруді  толығымен  анықтайды.   Жоғарыда  қаралған  жүйеге  қарай отырып орташа және дисперсия  мәндерін алу қиын емес:

              Айта кетелік, бастапқы және орталық моменттері, бақылау

нәтижесінде алынған деректі моменттерге ұқсас ықтималдылықтарды үлестіру үшін анықталады. Ол және арқылы белгіленеді. Бернулли үлестіруі үшін бастапқы моменттердің R мәндерінің барлық шамалары үшін Результат выполнения программы-ға тең екенін анықтау қиын емес. Алайда, біз бұл жерде  ықтималдылықтарды үлестіру үшін жоғары реттіліктегі моменттерді алуды  мақсат етпейміз, себебі, олар деректерді жинақтауға үлестіру түрін іздестіруде қолданылады

              Алайда, осындай қарапайым сынақтағы  «сәтсіздік» ықтималдылығы

Арқылы белгіленеді. Онда және .

Программа 1.

100 REM Дискретные распределения вероятностей

110 PRINT:PRINT : PRINT  “1. Бернулли распределение”

120 PRINT:PRINT “2. Биномиальное распределение”

130 PRINT:PRINT  “3.. Геометрическое распределение”

140 PRINT:PRINT  “4. Гипергеометрическое распределение”

150 PRINT:PRINT  “5. Отрицательное биномиальное распределение”

160 PRINT:PRINT  “6. Пуассоновское распределение”

170 PRINT:PRINT  “7. Равномерное  дискретное распределение”

200 PRINT:PRINT:PRINT  “Какой тип  распределение”

210 PRINT “Вам нужен?”

220 PRINT:PRINT “Нажмите 1,2,3,4,5,6 или 7”

230 D=VAL(GET$)

240 ON D GOTO 1000,2000,3000,4000,5000,6000,7000.

1000 REM Бернулли распределение

1100 PRINT:PRINT:PRINT “Бернулли  распределение”

1110 PRINT:PRINT“Х  есть число успехов в одном”

1120 PRINT “испытании Бернулли с вероятностью”

1130 PRINT “успеха р.”

1140 PRINT:INPUT  “Хотите ли вы ввести p   в виде дроби?(Y/N)”;A$

1150 IF A$=’’N’’THEN PRINT:INPUT “Введите  р”; GOTO 1170

1160 PRINT:INPUT “Введите числитель, затем знаменатель”; А,В;

              P=A/B

1170 G=1-P: V\P*G

1200 PRINT:PRINT “Среднее=p”;P

1210 PRINT “Дисперсия=”;V

1220 PRINT “Стандартное отклонение=; ” SQR(V)

1300 W=G:Y=W

1400 PRINT

1420 PRINT:PRINT” r p(X=r)”;  TAB(21); “P(X<=r)”

1430 PRINT :PRINT ”r P(X=r)”; TAB(21); “P(X<=r)”

1430 PRINT

1440 FOR I= 0 ТО 1

1460 PRINT “”; “ ”; W;TAB(20);Y

1480 W=P:Y=Y+W

1490 NEXT I

1510 PRINT: PRINT “Чтобы  вернуться к началу,нажмите R”

1520 R$= GET$

1530 IF R$= “R” GOTO 1100

Ескерту.

1.       110-210 қатарларында «меню» ұсынылады, ол жерде бір немесе екі үлестіруді қосу  үшін бос орын бар.

2.       230 –240 қатарларында қиындықтар болса, онда екінші программаға қараңыз.

3.             Әр үлестіру түріне,тиісті келетін тәжірибе түрлері мен кездойсоқ    шамалар  жайлы ақпараттар басылымға берілу керектігі жайлы ережені ұстанамыз. Бұл  түсіндірмелерді түсінбейтіндер бағдарламамен  жұмыс істеулеріне болады.

4.           Р-ның шамасын түбір түрінде енгізу басқа да бірқатар бағдарламаларға қосылуы мүмкін.

5.           1200-1220 қатарлары 2200-2220, 3200-3220 стандартталған  қатарлармен  құрастырылған. Бұл жердегі  мақсат түрлі бағдарламалардың логикасын, ой-өрісін салыстыруды қысқарту, бір бағдарламадан басқа бағдарламаға қатарларды көшіруді жеңілдету және ұқсас бөлімдерді бөлек, шағын бағдарламаға біріктіру.

Биномиальды үлестіру

N тәжірибесіндегі тізбектелген табыстар, жетістіктер санын, мөлшерін санау талап етілсе, олардың әрқайсысы р- жетістік  ықтималдығына ие болып, басқа қалған сынақтарға тәуелді болмаса, онда тиісті кездойсоқ шама  биномиальды үлестіруге ие болады. Үлестіру  параметрлері n  және p шамалары, көп  жағдайларда қысқартылған жазбалары қолданылады. Бұл деген  сөз «кездойсоқ Х шамасы n  және p параметрі биномиальды үлестірулерге ие» дегенді білдіреді.

              Жалпы  жағдайда, аламыз:

              Бұл жағдайда, Бернулли үлестіруіндей  белгіленуі қолданылады.Егер сынаманың тәуелсіздігін және тәуелсіз жағдай үшін ықтималдылықты көбейту ережесін қолдантын болсақ үлестіру формуласын алу да қарапайым.

және

  Мұнда               және .

              Жалпы айтқанда, биномиальды үлестіру тәуелсіз  кездойсоқ  шамалардың  n суммасын үлестіру болып табылады.Олардың  әрқайсысы р параметрлі Бернулли үлестіруіне ие. Яғни, Бернулли үлестіруі  дегеніміз- қарапайым үлестіруі болып табылады. Кей жағдайларда, биномиальды үлестіру – біркелкі Бернулли сынамасындағы табыстар, жетістіктер соңын үлестіру деп айтады. Алайда, Бернулли сынамасы екі мүмкін болатын шамалы сынақ болып табылады, ал Бернулли сынамасының тізбегін анықтау сынақтардың бір-білерінен тәуелсіз талаптарын қосады. Оқырмиан, өз бетінше (қажет болған жағдайда математикалық статистика) сынақтардың  бір-бірлерінен тәуелсіз  талаптарын қосады. Оқырман,өз бетінше (қажет болған жағдайда математикалық статистика оқулығының көмегімен) биномиальдық үлестірудің  жалпы формуласы бином тарауларының қосындысымен анықталатынына көз жеткізуге болады. Бұл жағдайды тәуелсіз жғдайлар үшін ықтималдылық  ережесінен немесе туындайтын функциялардың Бернулли үлестіруінен шығарып алуға болады.Көптеген оқулықтардың орташа және дисперсиялы биномиальды үлестірудегі  функцияларды қолдана отырып формулаларды шығару келтірілген. Жалпы формулалар мына төмендегідей  түрде болады:

n=1  және n=2  үшін алдын ала алынған нәтижелермен  осы формулалардың келісілетін көру жеңіл. Барлық үлестіруді тез есептеуде маңызды роль атқаратын  және қатынастылықтарын қарастыратын оқулықтарды кездестіру сирек. Жалпы формуланы қолдана отырып

тиісті формуланы үшін жазуға болады

көбейту әдістемесін біз басқа  үлестірулер үшін бағдарламаларда қолданамыз. Орынды үнемдеу мақсатында бұл шағын бағдарлама басқа бағдарламаларға қосылмаған, алайда 2010 қатармененбірге оны  көшіріп алу қиын емес. Басқа жағынан, егер бағдарламалар осындай жүйемен біріктірілген болса, онда 2700-2770 қатарларынан тұратын шағын бағдарламаны біріктірілген бағдарламалардың  басқа да бөлімдерінен алуға да болады., яғни 2460-2470 қатарларын 3460-3470, 4460-4470 және т.с.с. қатарларының орындарына көшіре отырып.

Программа 2.

2000 REM Биномиальное распределение

2010 Z$=”000000”:CF=0.0000005

2100 PRINT:PRINT:PRINT “Биномиальное распределение”

2110 PRINT:PRINT “X  есть число успехов в n”

2120 PRINT “испытаниях Бернулли,каждое из которых”

2130 PRINT “имеет вероятность успеха р.”

2135 REM при n=1 получается распределение Бернулли.

2136 REM если n  велико, А р мало, то Х приближенно имеет

2137 REM распределение Пуассона со средним, равным n*р.

2140 PRINT:INPUT “Введите n,p”;N,P

2150 Q=1-P:FL=0

2160 M=N*P:V=M*Q

2200 PRINT:PRINT “Среднее=”;M

2210 PRINT “Дисперсия=”;V

2220 PRINT “ Стандартное отклонение=”;SQL(V)

2230 IF N*LOG(Q)<-18GOTO 2600

2300 W=Q^N:PQ=P/Q

2310 Y=W

2320 RL=0:RU=:4 IF N<RU THEN RU=N

2400 PRINT

2410 IF FL>0 THEN PRINT:PRINT “Х есть число неудач”

2420 PRINT:PRINT “r  Р(Х=r)”; TAB(21); “P(X<=r)

2430 PRINT

2440 FOR I=RL TO RU

2450 IF I<10 THEN PRINT “ ”;

2460 PRINT;I;:A=W:GOSUB 2700:PRINT “   “;S$;

2470 A=Y:GOSUB2700:PRINT TAB(20); S$

2480 W=W*(N-1)*PQ/(I+1):Y=Y+W

2490 NEXT I

2500 IF RU<N THEN PRINT:PRINT “Чтобы продолжить работу,нажмите С”

2510 PRINT:PRINT “Чтобы вернуться к началу, нажмите R”

2520 R$=GET$

2530 IF R$= “R” OR RU=N GOTO 2100

2540 RL=RU+1:RU=RU +12:IF N<RU THEN RU=N

2550 PRINT:PRINT:PRINT  “Биномиальое распределение”

2560 PRINT:PRINT “n=”;N; “p=”;P

2570 GOTO 2400

2600 IF N*LOG(P)>-18 THEN W=P^N:PQ=Q/P:Fl=1:GOTO 2310

2610 PRINT:PRINT “ Эта программа не может работать с таким большим n,когда p=”;P

2620 GOTO 2100

2700 A=A+CF

2710 IF A>0.1 THEN S$=LEFT$(STR$A), 8):RETURN

2720 FOR J=1 TO 5

2730 A=10*A:IF A>0.1 GOTO 2760

2740 NEXT J

2750 S$=”0.000000”:RETURN

2760 S$= “0.”+LEFT $(Z$,J)+MID$(STR$A),6-J)

2770 RETURN

Ескерту.

1.      2010, 2460-2470 және 2700-2770 қатарларын қолдану және оларды басқа бағдарламаларға пайдалану жайын екінші бағдарламасының алдындағы түсініктемені қараңыз.

2.      Параметрлердің тиісті шамаларын, мәндерін бере отырып түрлі үйлестірулер араларындағы өзара байланысты тексеруге болады.,

3.      2230 және 2600-2610 қатарларындағы компьютер 1Е-18 біршама кіші сандарды ұсына алмайды. LOG  функциясы 1 негізі бойынша логарифмді білдіреді, қажет болған жағдайда көрсетілген қатарларды өз компьютеріңізге сай келетіндей етіп түрлендіріп алыңыз.

4.      Егер компьютер сандарды ұсынуды игере алмаса онда сәтсіздік және табыстың 2600 қатарында орын ауыстырады. Ондай болса, FL айнымалысына бірлік беріледі.

5.      2320,2440-2450 және 2500-2570 қатарларында бір қабылдауда баспаға 12 қатар түрінде беріледі.

6.      2300 қатарында немесе басқа жағдайдағы 2600 қатарында W айнымалысымен Р(X=0)  мәнін алады. 2480 қатарында W айналысымен Р(X=I+1) мәні ұсынылады. 2300 қатарында P/Q  мәні, ал егер қаажат болған жағдайда 2600 қатарында  оған    P/Q шамасы ұсынылады.

Геометриялық үлестіру

Айталық, жоғарыда келтірілген жағдайлар секілді Бернулли сынамасын жүргізіліп жатыр делік, ол сынама бірінші «табыс, жетістік» алына салысымен аяқталады. Олай болатын болса, бізді толғандырып отырған кездойсоқ шама бірінші табыс, жетістік алғанға дейінгі сынаманың саны табылады. Бұл кездойсоқ шама біркелкі, дара р  параметрлі геометриялық үлестіруге  ие. Ол.бір бөлек алынған сынамадағы табыс, жетістіктің ықтималдығы ретінде тағы да анықталады. Мұндай үлестірулерге, таратуларға келтірілетін мысалдар, көбінесе «тордың бірінші түсуіне дейінгі монетаны лақтыру» немесе «алтылықтың бірінші түсу жағдайына дейінгі ойын сүйегін лақтыру» түрлерінде келтіріледі. Практикалық мәні бар  мысал «жіпті бірінші сәттілікке дейін инеге енгізу» немесе «қару – жаарақтары сақталған  жаудың қоймасын бірінші реттілікті тигізгенше атқылау».

Х-кездойсоқ шамасы бірінші сәттілікке дейінге смынаманың саны болып табылады, ондай болса P(Х=1)  мәні бірінші  сынақтағы ықтималдығына теңелуі тиісті. Бірінші сұрақтағы сәтсіздік және сәттілік ықтималдығы –екінші жағдайда ықтималдылықтарды тәуелсіз жағдайлар үшін ережесімен мәнін  құрайды, сондықтан ол X=2 көрсеткішінің  ықтималдығы. Бөлудің жалпы  формуласы мына төмендегідей түрде болатынына көз жеткізу қиын емес:

                                          ,…

Мұндағы таңдап алынған жазықтықтың нүктелер  саны  шексіз…

              Таңдап алынған жазықтықтың әрбір нүктесі кездойсоқ мәндердің  жаңа шамаларынан туындайды, яғни бұл нүктелер тең  ықтималды деп есептелінбейді. Ықтималдықты  бөлудегі тізбекті мүшелері q бөлгішімен геометриялық прогрессияны құрайды. Бөлудегі кумулетивті  функция ықтималдығы  бөлудегі бірінші мүшеелерін суммалау  жолымен немесе қарам-қайшылық жағдайлар ережелерін алынуы  мүмкін. Егер  жіктелу реттілігін еске түсірсек орташа мән жеңіл табылады.

              так что

Күрделі қатарлық қойылымдар немесе келтірілетін функцияары қолдану  екінші бастапқы  момент үшін формуласын береді., мұнда

              Кейбір жағдайларда геометриялық бөлудегі кездойсоқ шамалар бірінші сәттілік, табысқа дейінгі Бернулли  сынамасының саны түрінде анықталады Осының  нәтижесінде барлық бөлулер бір орын төмен жылжиды, олай болса

Бұл барлық ықтималдықтар 6.3 бағдарламасы бойынша анықталатын r мәнімен қосылып жазылуы мүмкін. Бұл жағдайда мәні бірлікке  төмендеп тең болады, дисперсия  өзгермейді.

Программа 3.

3000 REM Геометрическое   распределение

3100 PRINT:PRINT:PRINT «Геометрическое распределение»

3110 PRINT:PRINT «Х есть число  испытаний Бернулли до»

3120 PRINT «первого успеха включительно»

3230 PRINT «Каждое испытание имеет вероятность успеха р»

3135 REM Распределение (Х-1) числа испытаний

3136 REM Бернули до первого успеха также называется

3137 REM геометрическим распределением

3140 PRINT:INPUT «Введите р»;Р

3150

3200 PRINT:PRINT «Среднее=»;M

3210 PRINT “Дисперсия=”;V

3220 PRINT “Стандартное отклонение=”;SQR(V)

3300 W=P

3310 Y=W:RL=1:RU=5

3400 PRINT

3420 PRINT: PRINT “r P(X=r)”; TAB(21); “P(X<=r)”

3430 PRINT

3440 FOR I=RL TO RU

3450 IF I<10 THEN PRINT “   ”;

3460 PRINT ;I;  “    “;W;TAB(20);Y

3480 W=W*Q:Y=Y+W

3490 NEXT I

3500 PRINT:PRINT  “Чтобы продолжить работу, нажмите С”

3510 PRINT:PRINT  “Чтобы вернуться к началу, нажмите R”

3520 R$=GET$

3530 IF R$=“R ” GOTO 3100

3540 RL=RU+1:RU=RU+12

3560 PRINT:PRINT:PRINT “Геометрическое распределение”

3570 PRINT:PRINT “p=”;P

3570 GOTO 3400

Ескерту.

Бірінші және екінші бағдарламаларына қойылған ескертулер үшінші бағдарламасына тиісті болады.

                            Гипергеометриялық үлестіру

          “Гипер” атты қойылымы “жоғары” немесе “айрықша өлшем” гипергеометриялық және геометриялық бөлулер  араларындағы қатынастықты  жай байланыс деп қарауға болмайды. Сапалы  бақылаушы N затты партиядан n  және p   параметрлермен Бернулли бөлуі зерттеледі деп  айқындалады. Бақылаушы  р белгісіз параметрінің мәні жайлы тұжырым  жасауға ұмтылады.  Егер, тек қана бір ғана заттар тұратын таңдап алу жүргізілсе, онда деректер алдын ала болжау дұрыс болады,себебі бұл жағдайда Бернулли үлестірулері S/N параметрлерімен зерттеледі, мұндағы S мәні белгілі  деп  есеп  есептелінеді. Кездойсоқ шаманы алу n>1 іске асырылған кезеңде, тиісті сай келетін үлестіру, биномиальды болады, егер таңдап алу қайтарылуымен болса, ал егер заттар қайтарылмайтындай етіліп таңдап алынса, онда үлестіру гипергеометриялық болып табылады.Егер екі мән N және S n-мен салыстырғанда  жоғары болса, онда осы екі үлестірулер арасындағы айырмашылықтар шамалы  ғана болады. Р параметрі S/N-ға тең. Биноми альдық үлестірулерге ұқсастық бойынша «S-ты» сәттілік сандарының жиынтығы ретінде елестету ыңғайлы. Жиынтық болып заттардың қаралған партиясы болып табылады. Егер Х-кездойсоқ шамалар «таңдап алудағы сәттіліктер» саны болатын болса, онда мазмұндалған принциптерді қолдана отырып келесі  формуланың дұрыстығы, әділдігіне көз жеткізу қиын емес.

                                          ,              r=0, 1, …, n.

    «Жиынтық» - сөзінің екі түрлі мәнге ие болатыны секілді, ықтималдылық теориясында n – символын қолданудың үш дәстүрлі түрі бар. N-шамасы таңдап алынған жазықтықтың  нүктелер  санын көрсетеді делінген.   және формуларына n –шамасы жиынтықтың жалпы көлемін көрсететінін куәландырады, ал r-таңдап алу көлемі. Таңдап алынған жазықтықта барлығы нүктелері бар. Біз ықтималдылықты үлестіруді сөз еткенімізде, талқылауға кіріскенімізде n –ның таңдап алу көлемі екені туралы келісім қабылданған. Осы қаралып отырған мысалда жиынтықтар көлемі, N және таңдап алу жазықтығы нүктелерінен тұрады. Қораптан екі картаны қайтармайтын кездойсоқ таңдап алу тәжірибесі үшін біз гипергеометриялық  үлестіруге N=52, n=2 ие боламыз, сондықтан жоғарыда келтірілген формуладағы бөлгіш 1326-ға тең. Егер «сәттілік» және «тұз» болса, онда S=4 тең, ал егер сәтілік «пиктер» болса (қиық), онда S=13 тең. Әр осындай жағдайларда көрсетілген формула бойынша Нет правильного ответаәтижемен келісілетін ықтималдылықты үлестіруді аламыз.

              Гипергеометриялық үлестіруде арналған формуланы факториалдарды қолдана отырып жазуға болады:

              .

үшін осындай формуланы ала отырып, мына төмендегідей қатынастылыққа келеміз:

үшін мәннен r-шамасы ауданымен  шектеледі. Алайда ықтималдылық нөлге тең болмас үшін және шартының орындалуын талап ету  қажет. Соңғы теңсіздік, болған жағдайда сәттіліктің  нөлдік санын алудың мүмкін  еместігін білдіреді. Ол формуласында қамтамасыз етіледі, себебі өрнегі туындысын көрсетеді, нәтижесінде біз ықтималдылық есептелуін бастай алмаймыз, анықтай отырып ары қарай және . байланыстылығын қолдана отырып есептейміз. Бұл проблема, биномениалдылық үйлестіруді есептеудегі қиындылықты, күрделілікті білдіреді, шын мәнінде бұл жағдайда нолге тең. Егер сәттілікті санау мүмкін болмаса, онда сәтсіздікті санау қолға алынады. есептеу жұмысын бастау мүмкін болмаса гипергеометриялық үйлестіру жағдайында ол n>S өтеді. Бұл деген сөз және жағдайдарында биномиальды және гипергеометриялық үйлестіруді есептеуді мүмкін емес екендігін білдіре алмайды. Орташа және гипергеометриялық дисперсияны үйлестіруге арналған формуланы шығару үшін орын, ауыстыру, қою жүйелерін орындау қажет. Сәттіліктердің сандық түрлерін, мәнін жалпы жиынтықтарын көлемдік қатынасын 3-арқылы белгілей отырып орташа көрсеткіштегі алынған мән  орташа мениалдылық үйлестірумен сай келетініне көз жеткіземіз. Сәтсіздіктердің жиынтықтардағы қатынастылық санын q-арқылы белгілей отырып n>1 үшін гипергеометриялық үйлестіру дисперсиясының тиісті биномиалдылық үйлестіру дисперсиясынан кіші екенін көреміз:

Осы формулалар бойынша екі картаны қораптан алу мысалының нәтижелері ексерілуі мүмкін. Осы формулалардың барлықтарына n=1 көрсеткішін қойып олардың барлықтары Бернулли үлестіруі,таратылуына арналған нәтижелерге сай келушілігіне көз жеткізуге болады, .

              Математикалық статистикаға қолданылған маңызды практикалық тиімділік жиынтықтан кездойсоқ таңдап алу көрсеткіштерін алумен байланысқан. Таңдап алу қайталанбай соңғы

Партиядан іске асырылады. Сондықтан гипергоемтериялық үлестіру өте көп қолданылуы мүмкін. Есептеу техникаларына байланысты осындай мүмкіншіліктерді толық қолдану қажет:

Программа 4.

4000 REM Гипергеометрическое распределение

4100 PRINT: PRINT: PRINT “Гипергеометрическое распределение”

4110 PRINT: PRINT “X есть число успехов в”

4120 PRINT “Выборке объема N, извлекаемой случайным образом”

4130 PRINT “без возвращение из совокупности”

4140 PRINT ”объема n, в которой содержится S успехов”.

4145 REM Если  N и S очень  велики  и n невелико, то

4146 REM X приближено  имеет  Биномиальное  распределение С p=S/N

4150 PRINT : INPUT ,,Введите n,N,S,K,N,S

4160  F=N-S:FL=0

4170 M=K*S/N:V=M*(N-K)*F/N/(N-1)

4200  PRINT:PRINT”Среднее=”;M

4210  PRINT  “Дисперсия=’’; V

4220  PRINT “Стандартное  отклонение=’’;SQR(V)

4230 IF  K>F GOTO 4600

4300 W=1:FOR I=0 TO K-1:W=W*(F-1)/(N-1):NEXT I

4310  Y=W:U=F-K+1:T=K:IF S<T THEN T=S

4320  RL=0:RU=4:IF T<RU THEN RU=T

4400  PRINT

4410  IF FL>0 THEN PRINT:PRINT “X есть число неудач”

4420  PRINT “r P(X=r)”;TAB(21); “P(X<=r)”

4430  PRINT

4440  FOR  I=RL  TO RU

4450  IF I<10 THEN  PRINT “  “;

4460  PRINT;I; “  “;W;TAB(20);Y

4480 W=W*(S-1)*(K-1)/(1+1)/(U+1):Y=Y+W

4490  NEXT  I

4500 IF RU<T THEN  PRINT:PRINT “Чтобы  продолжить работу, нажмитеС”

4520  R$=GET$

4530  IF R$=”R”  OR RU=T  GOTO  4100

4540  RL=RU+1:RU+RU+12:IF T<RU THEN RU+T

4550  PRINT:PRINT:PRINT “Гипергеометрическое распределение”

4560  IF FL>0 THEN S=F

4570  PRINT:PRINT “n=’’;K ; “N; “S=”;S

4580 GOTO 4400

4600 IF K<=S  THEN S=F:F=N-S:FL=1:GOTO 4300

4610 PRINT:PRINT “Вариант, когда n>N-S и n>S, в результате чего”

4620 PRINT “невозможно получить либо результаты для”

4630 PRINT “нулевого числа успехов, либо для n успехов,”

4640  PRINT “еще не запрограммирован.”:GOTO 4100

Ескерту.

1.  Осы  бағдарламаны  ұйымдастыру  жайлы  мәліметтердің барлық  түрлері  алдынғы  бағдарламалардың  ескертулерінде  көрсетілген, ал қолданылған  формулалар осы тақырыпта  түбегейлі қарастырылған.  Тек  қана  белгілерді  белгілеу, өңдеу қажет 4170 қатарындағы  М-әріпі -ді білдіреді, К-n және

F - (N – S)    шарты  W  айнымалысыменен  белгіленеді.  4480 қатарындағы  қолданылатын қатынастылық тексте  келтірілген жүйемен сай келеді,  U – (N –S – n+1) білдіреді.

2.                  Нөлдік  ықтималдылылыққа  сай  келмейтін r –дің  максималдылық мәні Т, сондықтан Т  n  және S-тің  минимальді  шамасына тең.4320, 4500 және 4540 қатарлары Т-шамасының  баспаға берілуінің  аяқталуын қаматамасыз етеді.

3.      Егер, n>N – S,  S болса, онда  S және F мәндері 4600

Қатардағы  орындармен ауысады.

                                                    Қорытынды.

              Ықтималдықтар теориясында кездойсоқ шамалардың орны және сипаттамасы мысалдар арқылы берілген. Ықтималдылықтың орташа және дисперсия үлестірулерінің формулалары келтіріліп, әр тараптама  талдау жасалған. Мысал ретінде ойын сүйегі (кубик) алынған. Осы формулулардың Бернулли, биномдық, геометриялық, гипергеометриялық, Пуассон, дискретті үлестірулері қарастырылған. Үлестірудің әр түрі үшін есептеу алгоритмі құрылған. Бұл алгоритмдердің бір-бірінен өзгешіліктері және ұқсастықтары атап өтілген. Осы алгоритмдер негізінде Бейсик программалау тілінде бағдарлама құрылып, нәтижелер кесте түрінде алынған. Бейсик тілінің негізгі командаларына сипаттамалар берілген. Құрылған бағдарламаны «Ықтималдықтар теориясы және математикалық статистика» пәнінің практикалық сабақтарында, студенттердің өзіндік жұмыстарында пайдалануға болады.

Пайдаланылған әдебиеттер

1.            Ван дер Варден Б.Л. «Математическая  статистика»-М.: ИЛ. ,1960г.

2.            Уилкс С.  «Математическая статистика»- М.: Наука, 1967г.

3.            Вентцель  Е.С.«Теория вероятностей»-М. : Наука, 1969г.

4.            Гнеденко Б.В. «Курс теории вероятностей»-М.: Наука, 1969г.

5.            Кобаленко И.Н:, Филиппова А.А. «Теория вероятностей и математическая статистика»- М.: Высшая  школа,1982г.

6.            Крамер Г. «Математические статистики »-М.: Мир, 1975г.

7.            Баласанян В.Э. «Программирование на микроЭВМ», «Искра-226»-М: Финансы и статистика,1987г.

8.            Кетков Ю.Л. «Программирование на БЕЙСИКЕ»-М.: Статистика, 1978г.

9.            Трэктон К. «Программы на Бейсике для инженерно-технических  расчетов»-М: Радио и связь,1985г.

10.       Уорт Т. «Программирование на языке Бейсик»-М.: Машгиностроение, 1981г.

11.       Фокс А., Фокс Д. «Курс программирования на языке Бейсик для начинающих»-М.: Энергоатомоиздат,1987г.

12.       Дж. Теннант- Смит «Бейсик для статистиков»- М.:,1988г.

13.       Бектаев К.Б. «Ықтималдықтар теориясы және математикалық статистика», Алматы, 1991ж.

14.       Бектаев Қ.Б. «Қазақша –орысша сөздік», Алматы, 2001ж.

32