Геометрические характеристики плоских сечений

Задача№1. Геометрические характеристики плоских  сечений.

Определить  момент инерции относительно горизонтальной центральной оси

плоского  сечения. 
 
 

                                
 
 

  Задача  а) (рис№1) .

 Определить момент инерции относительно горизонтальной центральной оси плоского сечения  

 Решение:

1.Разобьем  плоскую фигуру на части ( прямоугольник и квадрат).

2.Площадь  вырезанного квадрата берём со знаком минус.

3.Проведём  расчётные координатные оси ОХУ,  относительно которых определим центр инертности С и его координаты. 

4.Ось,  Оу является осью симметрии  плоского сечения. Поэтому центр,  тяжести С лежит на этой  оси.

     Рассмотриэти фигуры:

1. 1. Прямоугольник

                 

     . 

2.Квадрат

                  

   ;  .

 

  Полезная  площадь фигуры 

     

 Координаты  центра тяжести С плоской фигуры находим по формулам:

           ;      
 

 

Центр тяжести С (0;2а)

Проведём  центральные оси  и  

Задача  б)

  Определить  момент инерции плоской фигуры относительно центральной горизонтальной оси  (рис №1).

Прямоугольник

Квадрат

 

 

 Ответ:  
Задача№2. Определение внутренних силовых факторов.

 Для заданной упругой системы определить значение внутренних факторов и   построить их эпюры, выразив координаты в характерных сечениях через

 q и a. 
 

                                         
 
 
 
 

 Показать  положение опасного сечения.

 Решение:

  1.Определение  реакций опор  и .Составим уравнение равновесия. 

   ; 

  ; 

 

Проверочное уравнение

     

Реакции найдены правильно.

Отметим их на рисунке 1а.

2.Построение эпюры поперечной силы .

Данная  балка имеет три силовых участка 1,2,3.

На каждом участке выбираем сечение Z и рассматриваем силы слева или справа от сечения.

                                      Участок 1, сечение 1-1

                                      слева

, при     

При  ; 

 

                                     Участок 3, сечение 3-3

                                      справа

 
 
 

                                      Участок 2, сечение 2-2

   По  данным расчёта построим эпюру поперечной силы

   3.Построение  эпюры изгибающего момента  

                                              Участок 1, сечение 1-1

                                              слева

              , при                                    

             , при    

           

 На  участке 1 изгибающий момент  изменяется по закону квадратной параболы и достигает максимального значения в сечении , где .

          , тогда

         

                                            Участок 3, сечение 3-3

                                          справа

        при ,  

     При  

                                           Участок 2, сечение 2-2

                                         

     

     

По данным расчёта построим эпюру изгибающего момента

наиболее опасным  сечением будет сечение, где изгибающий момент принимает наибольшее значение  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

Задача№3.Расчёты на прочность.

Подобрать из условия на прочности размеры  квадратного сечения деревянного бруса.

Исходные  данные: (

Построить необходимые эпюры    
 
 
 
 
 
 
 

Решение:

Данный  брус имеет три силовых участка :1,2,3

1.Рассмотрим  последовательно силовые участки, определяем на каждом из них нормальную (продольной)силы  .

Участок1:

Участок2:

Участок3:

По данным расчёта построим эпюру продольных сил

Участок 2 испытывает сжатие;

Участки 1 и 3 растяжение

Максимальные  продольные силы:

В зоне сжатия: ;

В зоне растяжения :

Запишем условие прочности для участков сжатия и растяжения

;

.

2.Определяем  допускаемые напряжения для зон  сжатия и растяжения:

 

 

3.Определяем  сторону квадратного сечения  деревянного бруса. 

А=В²

Берём максимальную сторону квадрата  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Задача№4.Расчёты  на прочность.

Подобрать из условия прочности размеры  круглого, кольцевого( и квадратного сечения скручиваемого стального бруса.

Исходные  данные :

Построить необходимые эпюры.

Решение:

Данный  брус имеет 5 силовых участков 1,2,3,4,5.

1.Строим  эпюру крутящих моментов  :

Участок 1:

Участок 2:

Участок3:

Участок4:

Участок5:

По данным расчёта построим эпюру крутящих моментов (рис. 1б).

2.по  эпюре крутящих моментов видно,  что опасным сечением является  участок 2, где 

3.Составим  условие прочности при кручении.

  , где - максимальное касательное напряжение;

момент сопротивления сечения  при кручении.

4.Определяем  допускаемое касательное напряжение  в зависимости от коэффициента запаса прочности.

 

5.Из  условия прочности подбираем  размеры сечения:

1)Круглое  сечение

; следовательно,

 

Площадь сечения

2)Кольцевое  сечение

.

3)Квадратное  сечение

где b-сторона квадрата.

Вывод:

Наиболее  экономичным является кольцевое  сечение  , наименьшим экономичным является квадратное сечение

  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

Задача№5. расчёты  на жёсткость.

Из условия  жёсткости подобрать размер круглого сечения чугунного бруса, если известно, что перемещение свободного конца  бруса не должно превышать его общей длины.

При расчёте  принять, что 

Решение:

1.Построим  эпюру продольных сил 

Участок1: ;

Участок2:

Участок3:

(рисунок  1б).

2.Для  вычисления перемещения свободного  конца А бруса воспользуемся  формулой интеграла Мора:

Брус  растянут.

3.Из  условия жёсткости подбираем  размер круглого сечения чугунного  бруса.

, откуда находим площадь сечения чугунного бруса

,следовательно  Поэтому площадь сечения