Влияние гидродинамического несовершенства скважины на ее производительность

1. Влияние гидродинамически несовершенной скважины по степени вскрытия.

Приток жидкости или газа к скважине перестает быть плоским и радиальным, если она гидродинамически несовершенна, либо по степени вскрытия пласта, либо по характеру его вскрытия, либо сразу по обоим признакам. Поэтому элементарными методами невозможно строго исследовать особенности притока жидкости или газа к гидродинамически несовершенной скважине. С этой точки зрения мне не следовало бы касаться упомянутой проблемы в данной части курса, ибо она посвящена анализу только таких задач, решение которых доводится до конца с помощью элементарных методов. Однако строгое математическое исследование фильтрационных потоков к гидродинамически несовершенным скважинам требует применения столь сложного математического аппарата, что я не считаем возможным использовать этот аппарат и в следующей части курса. Сами же задачи, несомненно, представляют большой интерес для практики.

Исследуем сначала особенности  притока жидкости к скважине, гидродинамически несовершенной только по степени  вскрытия пласта, причем во всех случаях  пласт будем считать однородным, его режим водонапорным, режим  фильтрации — подчиняющимся линейному  закону фильтрации. Начнем с крайнего случая. Допустим, что скважина вскрывает только кровлю пласта неограниченной мощности, причем забой имеет форму полусферы.

При этих условиях будем  иметь дело со сферическим радиальным потоком. Дебит Q₁ скважины определится так:

                                     (1.1)                                 

Если бы забой АВ скважины был  плоским (мощность пласта по-прежнему считаем неограниченной), то формулу (1.1) применять было бы уже нельзя. Дебит скважины Q₂ в данном случае определяется по следующей формуле:

                                                               (1.2)

 

В последней формуле, так же как  и в (1.1), принято, что R_k >>R_c; из этих двух формул находим:

                            (1.3)

Отсюда следует, что в  рассматриваемых условиях пласта неограниченной мощности при плоском вскрытии скважиной кровли пласта теряется 36% дебита, соответствующего случаю скважины с полусферическим забоем у кровли.

Дебит Q₃ скважины с полусферическим забоем у кровли, но в пласте конечной мощности b определяется формулой:

                      

                              (1.4)

 

Сравнивая дебиты Q₁ и Q₃, можем установить влияние мощности пласта b на дебит скважины, вскрывшей кровлю и имеющей забой полусферической формы. Из формул (1.1) и (1.4) находим:

                          

             (1.5)

 

На основании формулы (1.5) рассчитана табл. 1, в которой отношение дебитов подсчитано для нескольких различных отношений величин b, R_k, R_c.

Из таблицы видно, что  при R_c = 10 см, b = 200R_C = 20 м, R_к = 10⁵ R_с = 10км дебит Q₁ лишь на 2% больше дебита Q₃ при тех же значениях R_c и b, но при R_к = 10⁴ R_c = 1 км дебит Q₁ превышает Q₃ лишь на 1%.

Следовательно, если скважина с полусферическим забоем вскрывает только кровлю пласта, то с точностью до 1-2% ее дебит можно подсчитывать по формуле (1) сферического радиального потока, если только b > 200 R_с.

Таблица 1. Зависимость величины _от

	при Rк = 105 Rс	при Rк = 104 Rс
50	1,12	1,08
200	1,02	1,01
400	1,01	1,00

 

Последний вывод и другие приведенные в табл. 1 результаты подсчетов можно объяснить следующими простыми физическими соображениями: градиент давления особенно резко возрастает в непосредственной близости забоя скважины, вскрывшей только кровлю пласта. Именно в этой области происходит главная потеря напора в фильтрационном потоке.

Поэтому при R_k > R_с и b > R_с величины R_k и b не влияют на дебит скважины; особенно заметное влияние на дебит скважины оказывает лишь величина ее собственного радиуса R_c.

Обозначим через Q дебит гидродинамически совершенной скважины, вскрывшей пласт по всей его мощности получим:

 

                                                                                    (1.6)

 

Таблица 2. Зависимость величины δ₃ от

	δ3
50	0,20
200	0,06
400	0,03

Воспользуемся так называемым «коэффициентом совершенства» скважины, показывающим, какую долю дебита гидродинамически совершенной скважины составляет дебит несовершенной скважины, неполностью вскрывшей тот же пласт при том же перепаде давления и при всех прочих равных условиях, обозначим этот коэффициент буквой δ. Сравнивая формулы (1.4) и (1.6), получим:

            (1.7)

По формуле (1.7) рассчитана табл. 2 при R_k = 10⁵R_c. Из таблицы видно, что, например, при R_c = 10 см, b = 200R_c = 20 м дебит скважины с полусферическим забоем, вскрывшей только кровлю пласта, составляет 6% дебита гидродинамически совершенной скважины.

Допустим, что гидродинамически несовершенная скважина вскрыла только верхнюю часть мощности пласта на глубину а (см. рис. 1.1).

В этом случае приток жидкости к скважине не будет ни плоскорадиальным, ни радиально-сферическим и даже приближенно не может быть рассматриваем так, как это предлагал Слихтер.

Слихтер рассматривал приток жидкости к гидродинамически несовершенной  скважине как комбинацию двух элементарных потоков: плоско-радиального (мощности а) к цилиндрической боковой поверхности стенки скважины и радиально-сферического к дну скважины.

 

 

 

 

 

Рисунок 1.1. Гидродинамически несовершенная скважина, вскрывшая на глубину α пласт конечной мощности.

На самом деле приток к  скважине, гидродинамически несовершенной лишь по степени вскрытия пласта, будет осесимметричным, но трехмерным. Часть жидкости в пласте под горизонтальной плоскостью, проходящей через забой скважины АВ, будет двигаться к скважине, и потому частицы в потоке будут иметь не только радиальную, но и вертикальную составляющую скорости. Поверхности равных напоров не будут уже цилиндрическими поверхностями с вертикальными образующими. На каждую единицу мощности пласта вдоль стенки скважины расход жидкости будет различным. Количество жидкости, протекающей в скважину за единицу времени и на единицу мощности пласта, будет тем большим, чем ближе к дну скважины учитываемая единица мощности пласта.

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 1.2. Линии равных напоров в пласте, наполовину вскрытом гидродинамически несовершенной скважиной.

На рис. 1.2 сплошные линии изображают линии равных напоров — вертикальные сечения поверхностей равных напоров; около каждой из этих линий проставлены значения величины q, которая равна относительной потере напора в любой точке на соответствующей поверхности равного напора:

            (1.8)

 

В последней формуле величина (р* — р*_с) равна уменьшению (потере) приведенного давления на пути от какой-либо точки поверхности равного напора до скважины; величина (р*_к — р*_с) равна уменьшению (полной потере) приведенного давления на пути от контура области питания до скважины. Обе только что упомянутые величины пропорциональны соответствующим разностям напоров, см. формулу (1.4).

На рис. 1.2 вдоль оси абсцисс отложены значения расстояния r от оси скважины в долях мощности пласта b; на оси ординат — значения расстояния z, отсчитываемого вниз от кровли пласта, причем последнее расстояние также взято в долях мощности пласта. Следовательно, единице расстояния на рис. 1.2 соответствует полная мощность пласта b. Эта фигура построена для случая половинного вскрытия пласта скважиной.

Из рис. 1.2 видно, что вблизи скважины форма поверхностей равного напора напоминает форму поверхности скважины, а на расстоянии от оси скважины, соответствующем двойной мощности пласта (r = 26), эти поверхности с высокой степенью точности могут быть приняты за боковые поверхности цилиндров с вертикальными образующими.

Следовательно, в рассматриваемом случае поток жидкости к гидродинамически несовершенной скважине оказывается плоско-радиальным при r > 2b и лишь при r < 2b нарушается плоско-радиальность потока. Чем больше величина тем ближе подходит к оси скважины область плоско-радиального потока.

На рис. 1.2 проведены пунктирные линии, соответствующие линиям равных напоров для случая строгого плоско-радиального потока (при а = b); около этих линий проставлены соответствующие значения величины которая определяется той же формулой (1.8), но подсчитывается для плоско-радиального потока.

Сравнение сплошных и пунктирных линий на рис. 1.2 показывает, что вблизи гидродинамически несовершенной скважины, поверхности равных напоров располагаются теснее, чем вблизи гидродинамически совершенной скважины.

Для дебита Q₄ гидродинамически несовершенной скважины, схематически изображенной на рис. 1.1, была предложена приближенная формула, подсчеты по которой почти совершенно совпадают с подсчетами по более строгой, но гораздо более сложной формуле. Эта приближенная формула имеет вид:

(1.9)

 

где Q₄ -дебит гидродинамически несовершенной скважины;

       h- относительное вскрытие пласта, т. е.

                                         (1.10)

 

Сопоставим дебит Q₄ с дебитом Q_a, какой имела бы та же скважина, если бы приток жидкости к ней был строго плоско-радиальный, т. е. если бы мощность пласта была равна а — глубине вскрытия его скважиной:

                    (1.11)

 

На основании формул (1.9)-(1.11) построен график зависимости отношения дебитов от величины h, характеризующей относительное вскрытие пласта; величину h будем для краткости называть степенью вскрытия пласта скважиной. При построении графика рис. 3 принято: b = 38 м, R_к = 152 м, R_c = 7, 6 см; на оси абсцисс отложена степень вскрытия пласта в процентах.

Из рис. 1.3 видно, что, когда степень вскрытия составляет 20%, истинный дебит несовершенной скважины превосходит дебит той же скважины в плоско-радиальном потоке на 50%, но уже при h ≥ 60% дебит Q₄ превосходит Q_a не более чем на 20%; наоборот, при h ≤ 6% имеем Q4 > 2Q_a, т.е. прирост дебита (Q4 — Q_a) за счет возможности притока к скважине жидкости из всей части пласта, расположенной ниже забоя, превосходит дебит Q_a плоско-радиального притока.

 

 

 

 

Рисунок 1.3. График зависимости дебита гидродинамически несовершенной скважины от степени вскрытия пласта.

Последние результаты анализа  графика рис. 1.3 подтверждают крайнюю неточность упомянутого выше метода Слихтера, предложенного им для приближенного подсчета дебита несовершенной скважины.

Чтобы выяснить потерю в  дебите скважины от неполного вскрытия ей всей мощности пласта, интересно сравнить дебиты Q₄ и Q, т.е. подсчитать коэффициент совершенства скважины δ₄. Из формул (1.8) и (1.5) найдем:

(1.12)

 

На основании табл. 3 на рис. 1.4 построены графики зависимости коэффициента совершенства скважины δ₄ от степени вскрытия пласта h. Эти графики, как и табл. 3, справедливы, лишь когда R_k= 10⁵R_c. Однако сравнение табл. 3 и 4 позволяет утверждать, что при изменении радиуса R_K в практически интересном диапазоне не только не изменится общий характер графиков, но мало изменятся абсолютные величины ординат для любых фиксированных значений абсцисс.

На основании графиков рис. 1.4 и табл. 3 и 4 можно утверждать, что с увеличением степени вскрытия пласта h коэффициент совершенства скважины, а следовательно, и ее дебит, возрастает сначала быстро, а затем все более и более медленно.

Таблица 3. Зависимость величины δ₄ от h (R_k= 10⁵R_c)

h=	δ4 при b = 50RC	δ4 при b = 200RС	δ4 при b = 400RС
0	0	0	0
0,1	0,45	0,30	0,26
0,2	0,58	0,46	0,41
0,3	0,69	0, 58	0,53
0,4	0,77	0,67	0,64
0,5	0,83	0, 76	0,72
0,6	0,88	0,82	0,80
0,7	0,93	0,88	0,86
0,8	0,96	0,93	0,92
0,9	0,99	0,97	0,97
1	1	1	1