Теории упругого режима фильтрации газа

и при граничном  условии в удаленных точках

р² = р_k²при r=∞, t>0.                                                                                                (18)

      Выведем условие для давления на забое скважины. Для этого запишем выражение для массового дебита исходя из закона Дарси в дифференциальной форме для плоскорадиальной фильтрации:

      Использовав равенства

и сократив на р_ат, получим:

      Из  этого соотношения выразим условие  на стенке газовой скважины бесконечно малого радиуса:

 при r=0.                                                                                             (19)

Таким образом, для решения поставленной задачи уравнение (16) должно быть проинтегрировано при условиях (17), (18), и (19).

Приведем еще  раз полученные выражения для  совершенного газа(они аналогичны соотношениям для упругой жидкости, только давление входит в квадрате):

p²=p_k² при t=0, 0<r<∞

р² = р_k²при r=∞, t>0

 при r=0

Решение поставленной задачи для газа получим по основной формуле упругого режима для упругой  жидкости с учетом для газа и коэффициента , аналогичных коэффициенту пьезопроводности и коэффициенту для жидкости:

                                                                           (20)

      Для малых значений аргумента в соответствии можно заменить интегральную показательную функцию логарифмической

                                                                                  (21)

      Подчеркнем, что решения (21)-(24) являются приближенными, так как получены в результате интегрирования линеаризованного уравнения (16). а не точного (6).  

                        

Рис.1.

      Кривые  распределения давления по пласту при  неустановившемся притоке газа к скважине в разные моменты времени (а) и динамика давлений в фиксированных точках пласта (б)

      Формулы (20) и (21) определяют (при фиксированных значениях времени t распределение давления вокруг газовой скважины, работающей с постоянным дебитом с момента t=0. Эти депрессионные кривые имеют такой же характер, как при установившейся фильтрации очень крутые вблизи скважины (рис.1,а). Если задать значение r можно найти изменение давления в данной точке с течением времени. В частности, можно найти изменение давления на забое (при r=r_c) после начала работы скважины (рис.1,б): 

                                                                                  (22)                                            

    Г.И.Баренблатт, применяя анализ размерностей, показал, что нелинейное уравнение Лейбензона при определенных начальных и  граничных условиях имеет точное решение. Это имеет важное значение, т.к. полученное точное решение может  служить эталоном для сравнения с ним приближенных решений.

    Рассматривается задача о нестационарном плоскорадиальном притоке газа с постоянным дебитом  к скважине в бесконечном пласте. В этом случае необходимо проинтегрировать нелинейное уравнение Лейбензона

                                                  (23)

    Г.И.Баренблаттом показано, что в такой постановке задача автомодельна, т.е. давление зависит  от некоторого единого комплекса, включающего  в себя обе переменные – r и t, а дифференциальное уравнение в частных производных приводится к обыкновенному дифференциальному уравнению, которое легко интегрируется. Чтобы установить, от каких аргументов будет зависеть давление, проведем анализ размерностей. Распределение давления в пласте зависит, как следует из постановки задачи, от пяти определяющих параметров (n=5): r, t, p_k, k/(2ηm₀), Q_атp_атη/(πkh).

    Если  обозначить размерность длины через  L, размерность времени Т, размерность давления [p], то размерности этих параметров выразятся следующим образом:

    [r]=L, [t]=T, [p_k]=[p], [k/(2ηm₀)]=L²/[p]T, [Q_атp_атη/(πkh).]= [p]².

    Среди этих параметров- три с независимыми размерностями: r, t, p_k (k=3). Как следует из П-теоремы, искомая функция – давление, приведенное к безразмерному виду F=p/p_k, , будет зависеть от двух безразмерных комплексов (n-k=5-3=2). Легко проверить, что такими безразмерными комплексами являются следующие:

    

 и   ,

    т.е. F=p/p_k=F(ξ,λ).

    Дифференцируя функцию F по t и по r как сложную функцию и подставляя производные в уравнение (23) , получим, что функция F удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению

                                                      (24)

    при этом начальные и граничные условия  сводятся к следующим:

      при ξ=0;  F(ξ,λ)=1 при ξ=∞                                             (25)

    Таблица 1.1 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Результаты  численного расчета  автомодельного решения

 

    Уравнение (24) при условиях (25) было проинтегрировано численно. Результаты расчетов приведены в табл. 1.1 для значений λ=0,01 и λ=0,004994. Через ξ* в табл. 1.1 обозначено такое значение аргумента ξ, что для ξ< ξ* значения ξ,dF²/d ξ, отличаются от λ меньше, чем на 0,01%. Значит, для ξ< ξ* можно считать, что ξ,dF²/d ξ= λ. Проинтегрировав это равенство, получим:

    F²=F²(ξ*, λ) + λln(ξ/ ξ*)

    Или

    F(ξ, λ) = [F² (ξ*, λ)- λln(ξ*/ξ)]^½ для ξ< ξ*.

    Поэтому значения F(ξ, λ) для ξ< ξ* в табл. 1.1 не приведены. 
 

      1.3.Решение  задачи о притоке  газа к скважине  методом последовательной  смены стационарных  состояний.

      Этот  метод основан на следующих предпосылках: в каждый момент времени существует конечная возмущенная область, в которой происходит движение газа к скважине; движение внутри возмущенной области стационарно; размер возмущенной области определяется из условия материального баланса.

      Решим этим методом ту же задачу о неустановившемся притоке газа к скважине с постоянным заданным дебитом Q_ат, но будем считать радиус скважины конечным и равным r_c.

      В любой момент времени возмущенной  областью является круговая область  радиусом R(t), внутри которой давление распределено по стационарному закону

                                                               (26)

      Вне возмущенной области давление равно  начальному (невозмущенное состояние):

р=р_k,r>R(t)                                                                                                                (27)

      В возмущенной области можно написать также выражение для дебита для стационарной фильтрации:

                                                                                                     (28)

      Заметим, что в рассматриваемой задаче забойное давление является функцией времени.

      Найдем из формулы (28) отношение                   

      

и подставим  его в формулу для давления в возмущенной области (26). В результате получим:

                                                                               (29)

т. е. распределение  давления, выраженное через заданный дебит и параметры пласта.

Для нахождения R(t) составим уравнение материального баланса.

Начальный запас газа (при р=р_k) в зоне пласта радиусом R(t):

                                                        (30)

Текущий запас  газа выразим через средневзвешенное давление :

                                                          (31)

где определяется по формуле установившейся фильтрации

                                                                                              (32)

      Так как отбор газа происходит с постоянным дебитом Q_ат, то отобранная масса газа к моменту t равна ρ_атQ_атt. Таким образом,

      М₀-м_t= ρ_атQ_атt

      или, с использованием (22)-(23), найдем:

                                                                         (33)

  Подставив в последнее соотношение выражение (32) для средневзвешенного давления и (28) для Q_ат, получим:

      

или

                                                                                                       (34)

   Для значений времени, для которых имеем:

                                                                                                             (35)

      Теперь, зная закон движения границы возмущенной  области в виде (34) или (35), можно найти давление в любой точке пласта в любой момент времени по формуле (29), а также изменение давления на забое скважины в любой момент времени 

 р=р_к,                                                                            (36)

                                                                                 (37)