Лекция по "Географии"

Математико-географическое моделирование — это метод формализации географических представлений на основе создания логико-математических конструкций, отражающих количественные отношения реальных географических объектов¹.

Модели в  географии выполняют разнообразные  функции: а) психологическую (возможность изучения тех объектов и явлений, которые чрезвычайно трудно исследовать иными методами); собирательную (определение необходимой информации, ее сбор и систематизация); логическую (выявление и объяснение механизма развития конкретного явления); систематизирующую (рассмотрение действительности как совокупности взаимосвязанных систем); конструктивную (создание теорий и познание законов); познавательную (содействие в распространении научных идей)¹.

Множественность определения  моделей и их функций приводит к появлению большого количества подходов к их классификации и типологии. По форме представления информации модели делятся на материальные и идеальные. Материальные модели (субстратно подобные, геометрические, аналоговые, изоморфные) традиционны в географии. Это различные карты и макеты, воспроизводящие природные и социально-экономические объекты. Идеальные модели в зависимости от степени формализации делятся на неформализиро-ванные (концептуальные), частично формализированные и вполне формализированные (математические и информационные). Концептуальные модели составляют фундамент любой науки. В географии наибольшее значение имеют такие концептуальные модели, как теория зональности, учение о биосфере В. И. Вернадского, концепция геосистемы В. Б. Сочавы и др. В частично формализованных моделях формализация информации осуществляется с помощью графических средств, рекомендаций, нормативных актов и т. п. Полностью формализованные модели отличаются высокой степенью абстракции и использованием богатейшего аппарата прикладной математики.

Различают также описательные модели, которые описывают реальные объекты с помощью определенной терминологии, и нормативные, которые используются для прогнозирования развития систем. Если описательные модели направлены на исследование структур равновесия, их называют статическими; если же упор делается на изучение процессов формирования и развития систем, модели являются динамическими. Рассмотрение временных явлений проводится в рамках исторических моделей. Если модель выполняет функцию упорядочения и систематизации информации, она называется классификационной (таксономической).

В зависимости  от соотношений, используемых в моделях, они делятся на детерменистические и стохастические. Первые позволяют полностью предсказать развитие моделируемой системы во времени и пространстве, основываясь на известных условиях и соотношениях. Стохастические (вероятностные) модели, напротив, основаны на случайных величинах. Они используются для обобщения событий, которые детерминированы различными факторами, а также для описания событий, на которые влияют случайные условия.

В соответствии с общей  классификацией математических моделей они подразделяются на функциональные и структурные, а также включают промежуточные формы (структурно-функциональные). В исследованиях на макроуровне чаще применяются структурные модели, поскольку для планирования и управления большое значение имеют взаимосвязи подсистем. Типичными структурными моделями являются модели межотраслевых связей. Функциональные модели широко применяются в решении задач управления, когда на поведение объекта («выход») воздействуют путем изменения «входа». Один и тот же объект может описываться одновременно и структурной, и функциональной моделью.

Различают модели дескриптивные и нормативные. Первые объясняют наблюдаемые факты или дают вероятный прогноз, вторые — предполагают целенаправленную деятельность. По форме математических зависимостей выделяют класс линейных моделей, наиболее удобных для анализа и вычислений и получивших вследствие этого большое распространение. Различия между линейными и нелинейными моделями существенны не только с математической точки зрения, но и в теоретико-географическом отношении, поскольку многие зависимости в природе и экономике носят принципиально нелинейный характер. По соотношению экзогенных и эндогенных переменных, включаемых в модель, они могут разделяться на открытые и закрытые. Полностью открытых моделей не существует; модель должна содержать хотя бы одну эндогенную переменную. Подавляющее большинство экономико-математических моделей занимает промежуточное положение и различается по степени открытости (закрытости). В зависимости от того, включают ли мате-матико-географические модели пространственные факторы и условия или не включают, различают модели пространственные (континуальные) и точечные (дискретные).

В середине XX века в географию активно проникают математические методы исследования, что получило название «количественная революция» и было связано с тем, что на современном этапе своего развития традиционные методы уже не могли обеспечить решение важнейших задач географии. Проникновению математических методов в географию способствовало также развитие новых технических приемов прикладной математики, которые развивались в соответствии с потребностями частных наук, в том числе и географии. «Математизация» географии стала возможной также в результате применения ЭВМ, которые позволили существенно сократить время на обработку огромных объемов информации. В то же времяпроникновение математики в географию было связано с преодолением значительных трудностей, что отчасти обусловлено особенностью самой математики, которая развивалась на протяжении многих столетий в основном в связи с потребностями физики и техники, но главным образом природой географических объектов и процессов, спецификой географической науки. Объект изучения географии — территориальные природные и социально-экономические системы, которые в соответствии с кибернетическим понятием относятся к сложным системам. Важным свойством любых систем, в том числе территориальных, является эмерджентность — наличие таких качеств, которые не присущи ни одному из элементов, входящих в систему. Поэтому для понимания особенностей функционирования этих систем недостаточно рассмотрения только отдельных элементов.

Сложность территориальных  систем рассматривалась как обоснование невозможности их моделирования, изучения средствами математики. Однако в принципе моделировать можно объект любой природы и любой сложности. И как раз сложные объекты представляют наибольший интерес для моделирования; именно здесь моделирование может дать результаты, которые нельзя получить другими способами исследования. Потенциальная возможность математического моделирования любых географических объектов и процессов не означает его успешного осуществления, а зависит и от уровня развития географических и математических знаний, имеющейся конкретной информации и вычислительной техники. Кроме того всегда останутся проблемы, которые не поддаются формализации, и в этом случае математическое моделирование недостаточно эффективно.

Длительное время главной трудностью практического применения математического моделирования в географии было наполнение разработанных моделей конкретной и качественной информацией. Точность и полнота первичной информации, реальные возможности ее сбора и обработки во многом определяют выбор типов прикладных моделей. В то же время исследования по моделированию территориальных систем выдвигают новые требования к системе информации. В зависимости от моделируемых объектов и назначения моделей используемая в них исходная информация имеет существенно различный характер и происхождение. Она может быть разделена на две категории: о прошлом развитии и современном состоянии объектов и о будущем развитии объектов, включая данные об ожидаемых изменениях их внутренних параметров и внешних условий (прогнозы). Вторая категория информации является результатом самостоятельных исследований, которые также могут выполняться посредством моделирования. Для многих географических процессов выявление закономерностей возможно только на основе достаточно большого количества наблюдений.

Другая проблема порождается  динамичностью географических процессов, изменчивостью их параметров и структурных отношений. Вследствие этого они должны постоянно находиться под наблюдением, обеспечивающим устойчивый поток обновляемых данных. Поскольку наблюдения за географическими процессами и обработка эмпирических данных обычно занимают довольно много времени, то при построении математических моделей экономики требуется корректировать исходную информацию с учетом ее запаздывания.

Познание количественных отношений географических процессов и явлений опирается на соответствующие измерения. Точность измерений в значительной степени предопределяет и точность конечных результатов количественного анализа посредством моделирования. Поэтому необходимым условием эффектного использования математического моделирования является совершенствование системы географических показателей. Применение математического моделирования заострило проблему измерений и количественных сопоставлений различных аспектов и явлений социально-экономического развития, достоверности и полноты получаемых данных, их защиты от намеренных и технических искажений.

Математические  модели географических процессов и  явлений называют математико-географическими. Для классификации этих моделей используются разные основания. По целевому назначению математико-географические модели делятся на теоретико-аналитические, используемые в исследованиях общих свойств и закономерностей географических процессов, и прикладные, применяемые в решении конкретных задач (модели пространственного анализа, прогнозирования, управления).

Математико-географические модели могут предназначаться для исследования разных сторон народного хозяйства (в частности, его производственно-технологической, социальной, территориальной структур) и его отдельных частей. При классификации моделей по исследуемым процессам и содержательной проблематике можно выделить модели народного хозяйства в целом и его подсистем, отраслей, регионов и т.д., комплексы моделей производства, потребления, формирования и распределения доходов, трудовых ресурсов и т. д. Математико-географическое моделирование, ряд его последовательных этапов представлены на (рисунке 5).

На первом подготовительном этапе ставится цель и определяются задачи исследования. Этот этап включает выделение важнейших черт и свойств моделируемого объекта и абстрагирование от второстепенных; изучение структуры объекта и основных зависимостей, связывающих его элементы; формулирование гипотез (хотя бы предварительных), объясняющих поведение и развитие объекта. Второй этап включает согласование задач исследования, установление логической последовательности их решения и подготовку исходной информации. Моделирование предъявляет жесткие требования к системе информации. В то же время реальные возможности получения информации ограничивают выбор моделей, предназначаемых для практического использования. При этом принимается во внимание не только принципиальная возможность подготовки информации (за определенные сроки), но и затраты на подготовку соответствующих информационных массивов. Эти затраты не должны превышать эффект от использования дополнительной информации. В процессе подготовки информации широко используются методы теории вероятностей, теоретической и математической статистики. На третьем этапе осуществляется построение математической модели. Это этап формализации географической проблемы, выражения ее в виде конкретных математических зависимостей и отношений (функций, уравнений, неравенств и т. д.). Обычно сначала определяется основная конструкция (тип) математической модели, а затем уточняются детали этой конструкции (конкретный перечень переменных и параметров, форма связей). Построение модели подразделяется, в свою очередь, на несколько стадий. Неправильно полагать, что чем больше фактов учитывает модель, тем она лучше «работает» и дает лучшие результаты. То же можно сказать о таких характеристиках сложности модели, как используемые формы математических зависимостей (линейные и нелинейные), учет факторов случайности и неопределенности и т.д. Излишняя сложность и громоздкость модели затрудняют процесс исследования. Нужно учитывать не только реальные возможности информационного и математического обеспечения, но и сопоставлять затраты на моделирование с получаемым эффектом (при возрастании сложности модели прирост затрат может превысить прирост эффекта).

После построения модели выясняются ее общие свойства. Здесь применяются чисто математические приемы исследования. Наиболее важный момент — доказательство существования решений в сформулированной модели (теорема существования). Если удастся доказать, что математическая задача не имеет решения, то необходимость в последующей работе по первоначальному варианту модели отпадает; следует скорректировать либо постановку экономической задачи, либо способы ее математической формализации. Решение задачи включает разработку алгоритмов для численного решения задачи, составления программ на ЭВМ и непосредственное проведение расчетов. Трудности этого этапа обусловлены прежде всего большой размерностью географических задач, необходимостью обработки значительных массивов информации. Обычно расчеты по математико-географической модели носят многовариантный характер. Благодаря высокой эффективности современных ЭВМ удается проводить многочисленные «модельные» эксперименты, изучая поведение модели при различных изменениях некоторых

условий. Исследование, проводимое численными методами, может существенно дополнить результаты аналитического исследования, а для многих моделей оно является единственно осуществимым. Класс географических задач, которые можно решать численными методами, значительно шире, чем класс задач, доступных аналитическому исследованию.