Задачи по "Финансовой математике"

Вариант №5

 

 

Задача 1

 

 

Вывести формулу для определения  современной ценности р-срочной  финансовой ренты с начислением  процентов m раз в год.

 

Сумма членов геометрической прогрессии (P) определяется по формуле

 

,

 

где b1 - первый член геометрической прогрессии;

 

q - знаменатель прогрессии;

 

n - число членов прогрессии.

 

Если платежи производятся не один, а m раз в году, то размер платежа  равен R/p. Члены ренты образуют ряд

 

.

 

 Данный ряд представляет  собой геометрическую прогрессию  со знаменателем (1+j/m)-m/p, первым членом прогрессии и числом членов прогрессии nmp. Подставив данные в вышеуказанную формулу получаем сумму дисконтированных платежей или современную стоимость (Р) p-срочной ренты:

 

Приведя последнее выражение к  общему знаменателю, и упростив его, получим формулу для расчета современной ценности р-срочной финансовой ренты с начислением процентов m раз в год:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 2

 

 

Клиент внес в банк 14 000 д.ед. на срок с 14 февраля по 23 июля. На вклады «до  востребования» сроком больше месяца банк начисляет 24 % простых годовых. Определите наращенную сумму при расчете по: а) точным процентам с точным числом дней; б) банковскому методу; в) обыкновенным процентам с приближенным числом дней. Год не високосный.

 

Решение:

 

Дано: Р = 14 000

 

срок c 14.02 по 23.07

 

i = 24 % (0,24)

 

Найти: S -?

 

Наращенная сумма вычисляется  по формуле (декурсивный метод начисления простых процентов):

 

S = P + I,

 

где S - наращенная сумма или сумма  задолженности, подлежащая погашению  по окончании кредитного/депозитного договора, д.ед.;

 

Р - первоначальная сумма капитала или размер предоставленного кредита/депозита, д.ед.;

 

I -сумма процентов, начисленных  за весь срок операции, д.ед.

 

Сумма начисленных процентов вычисляется  по формуле

 

I = P * i * n,

 

где n - срок операции или период действия кредитного договора в годах;

 

i - простая процентная ставка  для конверсионного периода, равного  одному году, %.

 

Формула наращения по простым процентам

 

S = P + P*i*n = P*(1+i*n).

 

В случае, если n не равно целому количеству лет применяют формулу

 

S = P*(1+i*t/k),

 

где t - срок финансовой операции;

 

k - временная база (12 мес., 4 квартала, 360 /365 дней).

 

а) Определим наращенную сумму при  расчете по точным процентам с  точным числом дней в течение финансовой операции. Это Английская практика расчетов. В нашей задаче временная база k = 365 (год не високосный).

 

Посчитаем точное число дней в сроке  с 14.02 (включая) по 23.07 (не включая).

 

t = 15 + 31 + 30 + 31 + 30 + 22 = 159 (дней)

 

Тогда S = 14 000 * (1+ 0,24 * 159 / 365) = 15 463,67 (д.ед.)

 

б) Определим наращенную сумму при  расчете по банковскому методу, или  обыкновенные % с точным числом дней в течение финансовой операции. Это  Французская практика расчетов. Временная  база k = 360 дней. Точное число дней рассчитывается аналогично первому варианту и равно t = 159 (дн.)

 

Тогда S = 14 000 * (1+ 0,24 * 159 / 360) = 15 483,99 (д.ед.)

 

в) Определим наращенную сумму при  расчете по обыкновенным процентам  с приближенным числом дней в течение  финансовой операции.

 

Временная база k = 360 дней. Расчет числа дней операции производится исходя из предположения, что в каждом месяце 30 дней.

 

t = (14,15,16,…30) + 30 +30 + 30 + 30 + 22 = 159 (дней)

 

Тогда S = 14 000 * (1+ 0,24 * 159 / 360) = 15 483,99 (д.ед.)

 

Ответ: а) 15 463,67 д.ед.; б) 15 483,99 д.ед.; в) 15 483,99 д. ед.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 3

 

 

Какой должна быть минимальная процентная ставка, чтобы произошло удвоение вклада за год при начислении процентов: а) поквартально, б) ежемесячно.

 

Решение:

 

Дано: Р

 

S = 2 P

 

m = 4, 12

 

Найти: j - ?

 

Наращение по сложным процентам  вычисляется по формуле (декурсивный  метод начисления по сложным процентам):

 

Sn = P* (1+ i)n ,

 

где Sn - наращенная сумма на конец n - го года, д.ед.;

 

P - первоначальная сумма денежных  средств, д.ед.;

 

i - ставка сложных процентов, %;

 

n - срок операции наращения в  годах;

 

(1+i)n - множитель наращения сложных  процентов.

 

В случае если проценты начисляются  чаще одного раза в год, то применяют  формулу

 

S = P * ( 1 + j / m )mn

 

 

где j - годовая процентная ставка (номинальная), %;

 

m - число периодов капитализации  процентов в течение года.

 

По условию задачи должно произойти  удвоение вклада, т.е. S = 2 P,

 

тогда формула  начисления процентов имеет вид:

 

2 P = P * ( 1 + j / m )mn, отсюда

 

j = m * ( mn 2P/ P - 1)

 

а) Проценты начисляются поквартально, т.е. m = 4, тогда

 

j = 4 * ( 4*12P/ P - 1) = 4 * ( 4 2 - 1) = 4 * (1,189 - 1) = 0,76 (%)

 

б) Проценты начисляются ежемесячно, т.е. m = 12, тогда

 

j = 12 * ( 12*1 2P/ P - 1) = 12 * (12 2 - 1) = 12 * (1,06 - 1) = 0,72 (%)

 

Ответ: j = 0,76%; 0,72 %

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 4

 

 

Покупатель обязался уплатить фермеру  за купленное у него зерно 3 500 000 д.ед. через 2 месяца после покупки, 3 000 000 - ещё через 2 месяца и 5 200 000 - ещё через 3 месяца. Стороны договорились объединить эти платежи в один и выплатить его через 5 месяцев после покупки. Чему равен этот платёж, если на деньги начисляется 8 % годовых?

 

Решение:

 

Дано:

 

 

3 500 тыс. 3 000 тыс. А0 -? 5 200 тыс. 

 

* * * * *

 

0 2 мес. 4 мес. 5 мес. 7 мес.

 

60 дн. 120 дн. 150 дн. 210 дн.

 

n0

 

i = 8% годовых

 

Найти: А0 - ?

 

Если в задаче не указано, то количество дней в году принимаем - 360 и количество дней в каждом месяце будет - 30. (Применим немецкую практику расчета).

Для решения данной задачи используется уравнение эквивалентности, в котором сумма платежей по первоначальным условиям приводится к выбранному моменту времени и приравнивается к сумме платежей по новым условиям по этому же моменту времени.

В нашем случае совокупность платежей заменяется одним новым платежом и если известен срок объединенного платежа, то нахождение суммы объединенного платежа при известном сроке и начислении простых процентов вычисляется по формуле:

где Аj - суммы объединенных платежей, сроки выплат которых меньше нового срока, (nj < n0 ), д.ед.;

tj - разница между сроком выплаты  объединенного платежа и сроком  выплаты каждого объединенного  платежа (tj = n0 - nj), дни;

 Аk - суммы объединенных платежей  со сроками, превышающими срок  объединенного платежа (nk > n0), д.ед.;

tk - период времени между сроком  погашения по первоначальным  условиям контракта и сроком  погашения по новым условиям  контракта (tk = nk-n0), дни.

Тогда, подставив заданные значения получаем:

 

А0 = 3 500 000*(1+0,08*(150-60)/360) + 3 000 000*(1+0,08*(150-

 

120)/360) + 5 200 000*(1+0,08*(210-150)/360)-1 = 3 500 000*1,02 +

 

3 000 000*1,01 + 5 200 000*1,01-1 = 11 748 514,85

 

Ответ: Новый платеж через пять месяцев равен 11 748 514,8

 

 

Задача 5

 

 

Пенсионер вкладывает в начале каждого  месяца в банк по 50 д.ед. под 60 % годовых. Определите, через какое время он накопит сумму, достаточную для покупки холодильника стоимостью 3000 д.ед. Проценты начисляются ежемесячно.

 

Решение:

 

Дано: R/р = 50 д.ед.

 

i = 0,6 %

 

S = 3 000 д.ед.

 

р= m = 12

 

Найти: n - ?

 

Пусть рента выплачивается p = m = 12 раз в году равными суммами, процент начисляется ежемесячно по условию задачи. Если годовая сумма платежей равна R, то каждый раз выплачивается R/p. Члены ренты образуют ряд

 

Данный ряд представляет собой  геометрическую прогрессию со знаменателем (1+i)m/p, первым членом прогрессии R/p и числом членов прогрессии nmp.

 

Расчет наращенной суммы (S) p-срочной  ренты производится по формуле:

 

где R/p - элемент (член) p-срочной ренты, д.ед.;

 

p - количество платежей за год;

 

Из этой формулы находим n и подставим наши данные:

 

Ответ: n = 2,3 года, или необходимую  сумму в 3 000 д.ед. можно накопить в  течение 2 лет 3 месяцев, если ежемесячно вносить в банк 50 д.ед. под 60 % годовых.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 6

 

 

Какую сумму надо положить в банк, чтобы в течение следующих 26 лет иметь возможность снимать со счёта каждые два года по 1000 д.ед., исчерпав весь счёт к концу этого срока, если банк начисляет на деньги, находящиеся на счёте, 10 % годовых?

 

Решение:

 

Дано: R = 1 000 д.ед.

 

i = 0,1 %

 

n = 26 лет

 

r = 2 года

 

Найти: P - ?

 

Современная стоимость (Р) финансовой ренты с периодом больше года (r-срочная  рента) определяется по формуле

 

,

 

где R - элемент (член) r- срочной ренты, д.ед.

 

r - периодичность осуществления  платежей

 

Подставив все заданные в задаче данные в формулу можем рассчитать современную стоимость финансовой ренты:

 

Ответ: В  банк нужно положить 4361,9 д.ед.