Модель Хольта-Уинтерса

 

1. Банк выдал ссуду размером S руб. Дата выдачи ссуды – Т_н, дата возврата – Т_к. День выдачи и день возврата считать за 1 день. Проценты рассчитываются по простой процентной ставке i%  годовых. Найти:

• точные проценты с точным числом дней ссуды;

• обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды;
• обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.
2. Через Т_дн дней после подписания договора должник уплатит S руб. Кредит выдан под i%  годовых (проценты обыкновенные). Какова первоначальная сумма и дисконт?
3. Через Т_дн дней предприятие должно получить по векселю S руб. Банк приобрел этот вексель с дисконтом: учел вексель по учетной ставке i%  годовых (год равен 360 дням). Определить полученную предприятием сумму и дисконт.
4. В кредитном договоре на сумму S руб. и сроком на Т_лет лет зафиксирована ставка сложных процентов, равная i%  годовых. Определить наращенную сумму.

 

5. Ссуда размером S руб. предоставлена на Т_лет. Проценты сложные, ставка - i%  годовых. Проценты начисляются m раз в году. Вычислить наращенную сумму.
6. Вычислить эффективную ставку процента, если банк начисляет проценты m раз в году исходя из номинальной ставки i%  годовых.
7. Определить, какой должна быть номинальная ставка при начислении процентов m раз в году, чтобы обеспечить эффективную ставку i%  годовых.
8. Через Т_лет предприятию будет выплачена сумма S руб. Определить ее современную стоимость при условии, что применяется сложная процентная ставка  i%  годовых.
9. Через Т_лет по векселю должна быть выплачена сумма S руб. Банк учел вексель по сложной учетной ставке  i%  годовых. Определить дисконт.
10. В течение Т_лет лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по S руб., на которые m раз в году начисляются проценты по сложной годовой ставке i%. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

 

Решение

 

1. Рассматривается операция  наращения, разовый платеж, проценты  простые.

Воспользуемся формулой I = Pin;

где 

.

а)  Точные проценты с  точным числом дней:

;

I = 5 000 000*0,12 *73/365= 120 000 руб.

.

Ответ: Точные проценты с точным числом дней ссуды составляют 120 000 руб.

 

б)  Обыкновенные проценты с точным числом дней:

 руб.

 

Ответ: Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды составляют 121 666,67 руб.

в)  Обыкновенные проценты с приближенным числом дней:

;

 руб.

 

Ответ: Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды составляют 123 333,33 руб.

 

2. Используем формулы и , где S=5000000; n = 90/360; i=55%

P = 5 000 000 / (1+90/360*0,55) = 4395604,39 руб.

D = 5 000 000 - 4395604 = 604395,61 руб.

 

Ответ: Первоначальная сумма  – 4395604,39 руб.; дисконт – 604395,61 руб.

 

3. Используем формулы D = Snd, откуда P = S-D = S-Snd = S*(1-nd); где S = 5000 000;

n = 90/360;  d = 55 %.

D = 5 000 000*0,55*90/360 = 687500 руб.

Р = 5000000-687500 = 4312500 руб.

 

Ответ: Полученная предприятием сумма равна 4312500 руб., а дисконт  – 687500 руб.

 

4. Воспользуемся формулой дисконтирования для  сложных процентов P = S/ (1+i )ⁿ; где Р = 5000000; i = 55%,  n = 5;

S = 5 000 000*(1+0,55)⁵ = 44 733 048,44 руб.

 

Ответ: Наращенная сумма  равна 44733048,44 руб.

 

5. Банк начисляет проценты 4 раза в год (m = 4), по формуле S = P*(1+j/m)^mn, где

j = 55%, m = 4, mn = 4*5=20;

S = 5 000000*(1+0,55/4)²⁰ = 65 765 497,67 руб.

 

Ответ: Наращенная сумма равна 65765497,67 руб.

 

6. Решим по формуле i_эф = (1+j/m)^m-1, где j = 55%; m = 4.

i_э = (1+0,55/4)⁴-1 = 0,6742, т.е. 67,42%.

 

Ответ: Если банк начисляет  проценты 4 раза в год, то эффективная ставка процента равна 67,42%.

 

7. Вычислим по формуле j = m[(1+i)^1/m-1]; где m = 4, i=55%

j = 4*[ (1+0,55)^1/4 -1]  = 46,32 %

 

Ответ: Номинальная ставка при начислении процентов 4 раза в  год равна 46,32%.

8. Применяем формулу P = S / (1 + i)ⁿ , где i = 55%,  n = 5;

руб.

 

Ответ: Современная стоимость при сложной процентной ставке 55% годовых будет составлять 558870,92 руб.

 

9. Применим формулу P = S * (1 – dсл)ⁿ,  , где d = 55%, n = 5;

Р = 5000000 * (1-0,55)⁵ = 92 264,06 руб.

D = 5 000 000 – 92 264,06 = 4907735,94 руб.

 

Ответ: Дисконт равен 4907735,94 руб.

 

10. Применим формулу S = R * (1+j/m)^mn-1 / (1+j/m)^m-1;

S = 5000000 * (1+0,55/4)²⁰ – 1 / (1+0,55/4)⁴ – 1 = 90130719,25 руб.

Сумма на расчетном счете к концу  срока будет составлять 90130719,25 руб.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Литература:

 

1. Финансовая математика: Математическое моделирование финансовых рынков: Учеб. Пособие / под ред. В.А. Половникова и А.И.Пилипенко. - М.: Вузовский учебник, 2004.-стр. 87-97.
2. Финансовая математика: Методические указания по изучению дисциплины и контрольные задания.-М.: Финстатинформ, 2002.- стр. 30-34, 70-74.