Контрольная работа по "Финансовая математика"

Вариант1

Задача 1

В варианте приведены поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство (в условных единицах) за 4 года (всего 16 кварталов, первая строка соответствует первому кварталу первого года).

Требуется:

1. Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания a(a)=0,3; a(b)=0,3; a(F)=0,6
2. Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.
3. Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:

• случайности остаточной компоненты по критерию пиков;
• независимости уровней ряда остатков по d-критерию (критические значения d1=1,10 и d2=1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении  r кр =0,32.
• нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.

4. Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год. Отразить на графике фактические, расчетные и прогнозные данные

 

t	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
Y(t)	28	36	43	28	31	40	49	30	34	44	52	33	39	48	58	36

 

Решение.

Покажем исходные данные на графике (мастер диаграмм / график).

 

 

 

График  отражает как  общую тенденцию к повышению суммы кредитов, так и сезонные колебания.

 

В этом случае использование  модели Хольта-Уинтерса целесообразно. 

Выполним  предварительный расчет.

Для проведения вычислений по формулам Хольта необходимо знать начальные  оценки  коэффициентов модели для последнего квартала предыдущего года, а также коэффициенты сезонности    за весь предыдущий год.

Зарезервируем для этих величин  дополнительно 4 уровня в расчетной таблице и выполним предварительный расчет.

С помощью метода наименьших квадратов построим вспомогательную линейную модель  . Коэффициенты этой модели     можно получить с помощью «мастер функций/ статистические/ ЛИНЕЙН» или «сервис/ анализ данных/ РЕГРЕССИЯ». 

Уравнение вспомогательной линейной модели запишется в виде

.

Примем  ,  ,  занесем эти значения в нулевой уровень соответствующих столбцов основной расчетной таблицы.

Для оценки коэффициентов  сезонности    найдем с помощью вспомогательной модели расчетные значения    для и сопоставим их с фактическими:

t	1	2	3	4	5	6	7	8
	28	36	43	28	31	40	49	30
	35,58	33,45	34,32	35,19	36,06	36,93	37,80	38,67

Коэффициент сезонности – это отношение фактического значения показателя к значению, найденному по линейной модели.

Для первого квартала это  в первом году и   во втором году.  В качестве окончательной (более точной) оценки коэффициента сезонности первого квартала предыдущего года возьмем среднее арифметическое значение

.

Аналогично найдем

,

,

.

Полученные значения занесем в соответствующие уровни столбца «F» основной расчетной таблицы.

 

 

Перейдем  к построению собственно модели Хольта.

 

t	Y(t)	a(t)	b(t)	F(t)	Yp(t)
-3				0,86
-2				1,08
-1				1,27
0		31,71	0,87	0,79
1	28	32,58	0,87	0,86	28,01
2	36	33,42	0,86	1,08	36,11
3	43	34,11	0,81	1,27	43,69
4	28	35,14	0,87	0,79	27,44
5	31	36,03	0,88	0,86	30,95
6	40	36,97	0,90	1,08	39,80
7	49	38,11	0,97	1,28	47,94
8	30	38,72	0,86	0,78	30,97
9	34	39,57	0,86	0,86	34,04
10	44	40,51	0,88	1,08	43,68
11	52	41,19	0,82	1,27	52,90
12	33	42,07	0,84	0,78	32,84
13	39	43,64	1,06	0,88	36,88
14	48	44,58	1,02	1,08	48,45
15	58	45,64	1,03	1,27	57,85
16	36	46,45	0,97	0,78	36,56

 

Согласно условию задачи коэффициенты сглаживания  ;  период сезонности  .

По основной формуле модели Хольта-Уинтерса, приняв  , рассчитаем начальное значение

.

Теперь перейдем к  и уточним коэффициенты модели

;

;

.

По основной формуле  модели Хольта-Уинтерса при    получим

.

 

Перейдем к  и уточним коэффициенты модели

;

;

.

По основной формуле  модели Хольта при    получим

и т.д. для  .  Максимальное значение t, для которого могут быть рассчитаны коэффициенты , определяется количеством исходных данных и равно 16.

Результаты вычислений приведены в основной расчетной  таблице.

Таким образом, модель Хольта-Уинтерса построена.

 

Оценим  точность построенной модели.

Для этого дополним расчетную таблицу  столбцами    и :

 

	t
	1	28	28,01	-0,01	0,02
	2	36	36,11	-0,11	0,32
	3	43	43,69	-0,69	1,60
	4	28	27,44	0,56	1,99
	5	31	30,95	0,05	0,16
	6	40	39,80	0,20	0,51
	7	49	47,94	1,06	2,17
	8	30	30,97	-0,97	3,24
	9	34	34,04	-0,04	0,11
	10	44	43,68	0,32	0,73
	11	52	52,90	-0,90	1,73
	12	33	32,84	0,16	0,47
	13	39	36,88	2,12	5,43
	14	48	48,45	-0,45	0,95
	15	58	57,85	0,15	0,25
	16	36	36,56	-0,56	1,56
сумма				0,88	21,25

Средняя относительная  погрешность аппроксимации составит

(%) .

.  Следовательно, точность  модели удовлетворительная.

Оценим  адекватность построенной модели.

Для проверки свойства случайности используем критерий поворотных точек.

Построим график остатков E(t).

Выделим на нем поворотные точки и подсчитаем их количество  .

 

 

Вычислим при         .

Сравним  > ,  следовательно, свойство случайности для ряда остатков выполняется.

Для проверки независимости  остаточной компоненты используем критерий Дарбина-Уотсона.

С помощью функций «СУММКВ» и  «СУММКВРАЗН» найдем 

,  .

Таким образом,  . 4-d=4-2,47=1,53.

При    критические значения d – статистик .  

Сравнение величин показывает, что  . В этом случае на основании критерия Дарбина-Уотсона уровни ряда остатков независимы.

Для дополнительной проверки свойства независимости вычислим первый коэффициент автокорреляции.

Используем функцию  «СУММПРОИЗВ» и найдем сумму  .

Тогда  .

Критическое значение для  коэффициента автокорреляции составляет  .

Сравнение с критическим значением  показывает, что  .  Таким образом, в ряде остатков уровни независимы, модель является адекватной.

 

 

Для проверки свойства нормального  распределения остаточной компоненты используем  R/S-критерий.

Вычислим     .

Критический интервал    определим по таблице критических границ отношения  R/S.

,  значит, для построенной  модели свойство нормального  распределения остаточной компоненты не выполняется.

 

Составим  с помощью построенной модели прогноз цен на акции на один год  вперед.

В целом построенная  модель является адекватной, но не выполняется свойство нормального распределения остаточной компоненты Использовать такую модель для прогнозирования возможно. Проведем расчет прогнозных оценок.

 

Для первого квартала будущего пятого года положим в основной формуле модели Хольта-Уинтерса  и найдем

.

Для второго квартала будущего пятого года при  найдем

.

Для третьего квартала будущего пятого года при  найдем

.

Для четвертого квартала будущего пятого года при  найдем

.

Исходные  данные и результаты всех выполненных  расчетов покажем на общем графике.

 

 

 

Задача 2

Даны цены (максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней

Требуется рассчитать:

• экспоненциальную скользящую среднюю;
• момент;
• скорость изменения цен;
• индекс относительной силы;
• %R, %K, %D.

Результаты расчетов отобразить на графиках. Сделать соответствующие  выводы. Интервал сглаживания принять равным пяти дням. Расчеты проводить для всех дней, для которых эти расчеты можно выполнить на основании имеющихся данных.

 

t
1	998	970	982
2	970	922	922
3	950	884	902
4	880	823	846
5	920	842	856
6	889	840	881
7	930	865	870
8	890	847	852
9	866	800	802
10	815	680	699

Решение.

 

 

t	C(t)	EMA(t)
1	982
2	922
3	902
4	846
5	856	901,60
6	881	894,73
7	870	886,49
8	852	874,99
9	802	850,66
10	699	800,11