Контрольная работа по "Финансовая математика"

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ

«Финансовая математика»

Вариант №4

1.  Равные первоначальные  вклады помещены в банк на  разных условиях депозитного  договора. Согласно первому договору ставка остается постоянной, но каждый квартал вкладчик  увеличивает сумму вклада на  ¼ первоначальной  суммы, ставка простых процентов   —   75%.   По   второму   -   сумма   увеличивается   через   полгода   за   счет дополнительного взноса, равного 1/2 первоначальной суммы, при этом исходная ставка, равная 65%, увеличивается на 5% каждый квартал.

На сколько отличаются наращенные суммы при годовом хранении? 

Ответ:

Р₁=Р₂

I₁=0.75

I₂=0.65

Воспользуемся формулой для  простых процентов:

S=P(1+n*i)

Где S – наращенная сумма

Р – первоначальная величина

i – ставка простых процентов

5000*0,25=1250

Таким образом, ежеквартально  сумма увеличивается на 1250 руб.

Произведем расчет для  первого случая:

1 квартал: 5000*(1+90/365*0,75)=5924,7

2 квартал: 6250*(1+90/365*0,75)=7405,822

3 квартал: 7500*(1+90/365*0,75)=8886,986

4 квартал: 8750*(1+90/365*0,75)=10368,15

Сумма наращения  составила:

924,7+1155,822+1386,986+1618,15=5085,658

Наращенная сумма через  год составит: 8750+5085,658=13835,66

Произведем расчет для  второго случая:

1 квартал: 5000*(1+90/365*0,65)=5801,37

2 квартал: 5000*(1+90/365*0,70)=5863,014

3 квартал: 7500*(1+90/365*0,75)=8886,986

4 квартал: 7500*(1+90/365*0,80)=8979,452

Сумма наращения  составила:

801,37+863,014+1386,986+1479,452=4530,822

Наращенная сумма через  год составит: 7500+4530,822=12030,82

Таким образом, в первом случае наращенная сумма выше в 1,15 раза.

 

2.  На сколько дней  помещён вклад, если первоначальная  сумма 120 тыс.руб., полученная по истечений 'некоторого периода, составила 150 тыс.руб. при годовой ставке простых процентов 60% (Т=360)?

 

Ответ:

P=120

S=150

i=0,60

n=t/k

k=360

t=?

Преобразуя формулу для  простых процентов получим:

t/k=(s/p-1)/i

t=(s/p-1)*k/i

t=(150/120-1)*360/0,60=150 дней

 

3.  Kакую сумму необходимо положить в банк на 4 года, чтобы иметь возможность снимать с вклада по 5 тыс.руб. первые два года, а следующие два - по 10 тыс.руб. Ставка простых процентов 15%.

 

Ответ:

I=0,15

N=4

S₁=P+5000=P*(1+1*0,15)

S₂=S₁+5000=P*(1+1*0,15)

S₃=S₂+10000=Р*(1+1*0,15)

S₄=S₃+10000=Р*(1+1*0,15)

Решая первое уравнение получим: 0,15Р=5000

Р=33333,3 руб.

Подставляя в следующие  уравнения получаем ту же сумму.

 

4.  Найти датированные  суммы по окончании двух и  восьми лет, эквивалентные 20 тыс.руб. по окончании четырех лет, если деньги стоят J2 =3,5 %. Проверить положение о том, что эти суммы эквивалентны.

 

Ответ:

Будем использовать формулу:

S = P *(1 + j/m)^n*m

Где S – наращенная сумма через определенный период времени,

       P – текущая стоимость,

       j – процентная ставка,

      m – количество начислений в год,

       n – срок операции.

По окончании 4 лет:

S = 20 *(1 + 0,035/2)^4*2 = 22,98 млн. руб.

Т. к. P = S / (1 + j)^n*m, то

по окончании двух лет

P = 22,98 / (1+0,035/2)^2*2 = 21,439 млн. руб.

по окончании восьми лет

P = 22,98 / (1+0,035/2)^8*2 = 17,41 млн. руб.

Эти суммы не эквивалентны.

 

5. Петров делал следующие  вклады в сберегательный банк, который начисляет проценты в соответствии со ставкой J2 = 2,25%: 10 тыс.руб. пять лет назад и 5 тыс.руб. три года назад. Он брал' со' счета 2 тыс.руб. год назад и планирует взять остальную сумму через год. Какую сумму он получит? 

 

Ответ:

S₁=10*(1+0,0225)²=10,46 млн.

S₂=15*(1+0,0225)²=15,69 млн.

S₃=13*(1+0,0225)=13,2925 млн.

 

Наращенная  сумма составила: 0,46+0,69+0,2925=1,4425 млн.

Таким образом, Петров получит 13,4425 млн.

 

6.  10 млн.руб.: инвестируются на пять лет при  ji2 ~ 5%. Какая ставка J4 накопит равную сумму через то же самое время?

 

Ответ:

S=10*(1+0,05)⁵=12,763 млн.

Допустим, имелась в виду эквивалентная ставка простых процентов, тогда получим:

S=12.763=10*(1+5*i)

12,763=10+50i

2,763=50i

i=0,06

Таким образом, равную сумму через то же самое время накопит ставка простых процентов j₄=6%.

 

7. Какую ставку должен  назначить банк, если при годовой  инфляции 12% реальная ставка оказалась  6%? 

Ответ:

Определим индекс цен j_p

Между индексом цен и темпом инфляции h существует следующая связь:

h=(j_p-1)*100=12

j_p-1=0,12

j_p=1,12

Реальная годовая ставка составит:

J_p=(1+6)/ -1=7/3,464-1=1,02

Таким образом, 102%.

 

 

8.  Для мелиоративных  работ государство перечисляет  фермеру 500 д.ед. в год. Деньги  поступают на специальный счет  и на них начисляют каждые  полгода 4% по схеме сложных  процентов. Сколько накопится  на счете через 5 лет?

 

Ответ:

S=500*(1+0,04/2)^2*5=500*1,219=609,5 тыс. руб.

 

9.  Сын в банке имел  на счете 50000 тыс.руб., на которые ежемесячно начислялись 0.8%. Сын уехал в десятилетнюю командировку за границу, доверив отцу за 10 лет истратить весь его счет. Сколько будет получать в месяц отец?

 

Ответ:

Определим современную величину выплат:

R=х*12

N=10

P=12

M=1

500=x*12*((1-1.096¹⁰)/(12*(1.096^1/12-1)

500=x*12*((1-2.5)/(12*(1.0077-1)))=x*12*5

Таким образом, в месяц  он будет получать 12233 рублей

 

10.  На покупку дачного  домика взят потребительский  кредит 40 тыс.руб. на 8 лет под 8 простых процентов. Его нужно погашать равными ежеквартальными выплатами. Найти размер выплаты и составить план погашения долга.

 

Ответ:

Через 6 лет сумма долга  составит: 20*1,4=28 тыс.д.ед

Величина погашения долга определяется следующим образом:

d_t = D : n = const,

где d_t – величина погашения основной суммы долга;

D – первоначальная сумма долга;

n – срок долга в годах;

t – номер года, t = 1, 2, …, n.

Проценты начисляются  на уменьшаемую сумму основного  долга:

I_t = D_t • q ,

где D_t – остаток долга на начало очередного года;

q – ставка процентов, начисляемых на сумму долга.

Тогда размер срочной уплаты можно представить как сумму  процентов и сумму погашения  долга:

Y_t = I_t + d_t ,

где Y_t – срочная уплата на конец текущего года.

D₁=28/5=5,6

I₁=28*0,08=2,24

Y₁=5,6+2,24=7,84

План погашения долга:

Год (t)	Долг (D)	Сумма погашения долга (dt)	Выплата процентов (It)	Величина срочной уплаты (Yt)
6	28	5,6	2,24	7,84
7	22,4	5,6	1,792	7,392
8	16,8	5,6	1,344	6,944
9	11,2	5,6	0,896	6,496
10	5,6	5,6	0,448	6,048