Контрольная работа по «Финансовая математика»

       КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ

       «Финансовая математика»

       Вариант №4

       1.  Равные первоначальные вклады  помещены в банк на разных  условиях депозитного договора. Согласно первому договору ставка  остается постоянной, но каждый  квартал вкладчик  увеличивает  сумму вклада на  ¼ первоначальной  суммы, ставка простых процентов   —   75%.   По   второму   -   сумма   увеличивается   через   полгода   за   счет дополнительного взноса, равного 1/2 первоначальной суммы, при этом исходная ставка, равная 65%, увеличивается на 5% каждый квартал.

       На  сколько отличаются наращенные суммы  при годовом хранении? 

       Ответ:

       Р₁=Р₂

       I₁=0.75

       I₂=0.65

       Воспользуемся формулой для простых процентов:

       S=P(1+n*i)

       Где S – наращенная сумма

       Р – первоначальная величина

       i – ставка простых процентов

       5000*0,25=1250

       Таким образом, ежеквартально сумма увеличивается  на 1250 руб.

       Произведем  расчет для первого случая:

       1 квартал: 5000*(1+90/365*0,75)=5924,7

       2 квартал: 6250*(1+90/365*0,75)=7405,822

       3 квартал: 7500*(1+90/365*0,75)=8886,986

       4 квартал: 8750*(1+90/365*0,75)=10368,15

       Сумма наращения  составила:

       924,7+1155,822+1386,986+1618,15=5085,658

       Наращенная  сумма через год составит: 8750+5085,658=13835,66

       Произведем  расчет для второго случая:

       1 квартал: 5000*(1+90/365*0,65)=5801,37

       2 квартал: 5000*(1+90/365*0,70)=5863,014

       3 квартал: 7500*(1+90/365*0,75)=8886,986

       4 квартал: 7500*(1+90/365*0,80)=8979,452

       Сумма наращения  составила:

       801,37+863,014+1386,986+1479,452=4530,822

       Наращенная  сумма через год составит: 7500+4530,822=12030,82

       Таким образом, в первом случае наращенная сумма выше в 1,15 раза. 

       2.  На сколько дней помещён вклад,  если первоначальная сумма 120 тыс.руб., полученная по истечений 'некоторого периода, составила 150 тыс.руб. при годовой ставке простых процентов 60% (Т=360)? 

       Ответ:

       P=120

       S=150

       i=0,60

       n=t/k

       k=360

       t=?

       Преобразуя  формулу для простых процентов  получим:

       t/k=(s/p-1)/i

       t=(s/p-1)*k/i

       t=(150/120-1)*360/0,60=150 дней 

       3.  Kакую сумму необходимо положить в банк на 4 года, чтобы иметь возможность снимать с вклада по 5 тыс.руб. первые два года, а следующие два - по 10 тыс.руб. Ставка простых процентов 15%. 

       Ответ:

       I=0,15

       N=4

       S₁=P+5000=P*(1+1*0,15)

       S₂=S₁+5000=P*(1+1*0,15)

       S₃=S₂+10000=Р*(1+1*0,15)

       S₄=S₃+10000=Р*(1+1*0,15)

       Решая первое уравнение получим: 0,15Р=5000

       Р=33333,3 руб.

       Подставляя  в следующие уравнения получаем ту же сумму. 

       4.  Найти датированные суммы по  окончании двух и восьми лет,  эквивалентные 20 тыс.руб. по окончании  четырех лет, если деньги стоят  J2 =3,5 %. Проверить положение о том, что эти суммы эквивалентны. 

       Ответ:

       Будем использовать формулу:

       S = P *(1 + j/m)^n*m

       Где S – наращенная сумма через определенный период времени,

              P – текущая стоимость,

              j – процентная ставка,

             m – количество начислений в год,

              n – срок операции.

       По  окончании 4 лет:

       S = 20 *(1 + 0,035/2)^4*2 = 22,98 млн. руб.

       Т. к. P = S / (1 + j)^n*m, то

       по  окончании двух лет

       P = 22,98 / (1+0,035/2)^2*2 = 21,439 млн. руб.

       по  окончании восьми лет

       P = 22,98 / (1+0,035/2)^8*2 = 17,41 млн. руб.

       Эти суммы не эквивалентны. 

       5. Петров делал следующие вклады  в сберегательный банк, который начисляет проценты в соответствии со ставкой J2 = 2,25%: 10 тыс.руб. пять лет назад и 5 тыс.руб. три года назад. Он брал' со' счета 2 тыс.руб. год назад и планирует взять остальную сумму через год. Какую сумму он получит?   

       Ответ:

S₁=10*(1+0,0225)²=10,46 млн.

S₂=15*(1+0,0225)²=15,69 млн.

S₃=13*(1+0,0225)=13,2925 млн. 

Наращенная  сумма составила: 0,46+0,69+0,2925=1,4425 млн.

Таким образом, Петров получит 13,4425 млн. 

       6.  10 млн.руб.: инвестируются на пять  лет при  ji2 ~ 5%. Какая ставка J4 накопит равную сумму через то же самое время? 

       Ответ:

       S=10*(1+0,05)⁵=12,763 млн.

       Допустим, имелась в виду эквивалентная  ставка простых процентов, тогда  получим:

       S=12.763=10*(1+5*i)

       12,763=10+50i

       2,763=50i

       i=0,06

       Таким образом, равную сумму через то же самое время накопит ставка простых процентов j₄=6%. 

       7. Какую ставку должен назначить  банк, если при годовой инфляции 12% реальная ставка оказалась  6%? 

       Ответ:

       Определим индекс цен j_p

       Между индексом цен и темпом инфляции h существует следующая связь:

       h=(j_p-1)*100=12

       j_p-1=0,12

       j_p=1,12

       Реальная  годовая ставка составит:

       J_p=(1+6)/ -1=7/3,464-1=1,02

       Таким образом, 102%. 
 

       8.  Для мелиоративных работ государство  перечисляет фермеру 500 д.ед. в  год. Деньги поступают на специальный  счет и на них начисляют каждые полгода 4% по схеме сложных процентов. Сколько накопится на счете через 5 лет? 

       Ответ:

       S=500*(1+0,04/2)^2*5=500*1,219=609,5 тыс. руб. 

       9.  Сын в банке имел на счете  50000 тыс.руб., на которые ежемесячно  начислялись 0.8%. Сын уехал в  десятилетнюю командировку за границу, доверив отцу за 10 лет истратить весь его счет. Сколько будет получать в месяц отец? 

       Ответ:

       Определим современную величину выплат:

       R=х*12

       N=10

       P=12

       M=1

       500=x*12*((1-1.096¹⁰)/(12*(1.096^1/12-1)

       500=x*12*((1-2.5)/(12*(1.0077-1)))=x*12*5

       Таким образом, в месяц он будет получать 12233 рублей 

       10.  На покупку дачного домика  взят потребительский кредит 40 тыс.руб.  на 8 лет под 8 простых процентов.  Его нужно погашать равными  ежеквартальными выплатами. Найти  размер выплаты и составить план погашения долга. 

       Ответ:

       Через 6 лет сумма долга составит: 20*1,4=28 тыс.д.ед

       Величина погашения долга определяется следующим образом:

       d_t = D : n = const,

       где d_t – величина погашения основной суммы долга;

       D – первоначальная сумма долга;

       n – срок долга в годах;

       t – номер года, t = 1, 2, …, n.

       Проценты  начисляются на уменьшаемую сумму  основного долга:

       I_t = D_t • q ,

       где D_t – остаток долга на начало очередного года;

       q – ставка процентов, начисляемых на сумму долга.

       Тогда размер срочной уплаты можно представить как сумму процентов и сумму погашения долга:

       Y_t = I_t + d_t ,

       где Y_t – срочная уплата на конец текущего года.

       D₁=28/5=5,6

       I₁=28*0,08=2,24

       Y₁=5,6+2,24=7,84

       План  погашения долга: