Финансовая математика

1. На какой  срок должен быть выпущен сберегательный сертификат номиналом 235 руб., если сумма  погашения при 12% годовых составляет 305 руб.? Год невисокосный

 

   Дано: , , ,

   Найти:  

   Решение

   Сумму погашения  можно представить в виде двух слагаемых: номинала и суммы процентов :

    ,

где

   

   где  - срок ссуды в долях года;

           - число дней в году (временная база);

            - срок операции в днях.

   - годовая процентная ставка

   Тогда

   

   Откуда

   

     дней 

   Ответ: 906 дней 

 

2. По сертификату, выданному на 120 дней начисляется  дисконт в размере 17% от суммы  погашения. Год невисокосный. Определить учетную и процентную ставку.

 

Дано: , .

Найти , - ? 

Решение

Простая годовая учетная ставка находится по формуле:

,

где  - первоначальная сумма;

       - сумма погашения;

          - срок ссуды в долях года;

             - число дней в году (временная  база);

              - срок операции в днях.

или 51,7%

Определим процентную ставку

 

Из равенства  выражений имеем

,

откуда

 или 77,0%

Ответ: учетная ставка-51,7%, процентная-77,0%

 

3. Предприятие на условиях потребительского кредита продало товар с оформлением простого векселя, номинальная стоимость которого 0,75 тыс. руб., срок векселя – 54 дня, ставка процента за предоставленный кредит – 7% годовых. Через 15 дней с момента оформления векселя предприятие решило учесть вексель в банке, предложенная банком дисконтная ставка составляет:
1. 5%
2. 11%

Рассчитать  суммы, получаемые предприятием и банком. 

Решение

Определим будущую стоимость векселя к погашению:

где  - первоначальная сумма ссуды;

        - общий срок платежного обязательства, в течение которого начисляются проценты ( ; дней);

        - годовая ставка процента;

руб.

При учете  векселя банк выплатит фирме (векселедержателю) сумму:

где  - сумма, получаемая при учете обязательства

         - срок от момента учета  до погашения долга ( ; дней);

       - учетная ставка.

а) При :

 руб.

При погашении  векселя банк реализует дисконт

 руб.

б) При  :

 руб.

При погашении  векселя банк реализует дисконт

 руб. 
 
 

 

4. В контракте  предусматривается погашение обязательства в сумме 600 тыс. руб. через 45 дней. Первоначальная сумма долга – 120 тыс. руб. Определить доходность ссудной операции для кредитора в виде годовой ставки процента и учетной ставки ( ).

 

Дано: , , ,

Найти: , - ? 

Решение:

      ,

где

- наращенная сумма (сумма  погашения обязательства);

- первоначальная сумма;

- сумма процентов.

     

   где  - срок ссуды в долях года;

              - число дней в году (временная база);

               - срок операции в днях. 

       - годовая ставка процента

Тогда

Отсюда годовая ставка процента:

 или 3200%

Простая годовая учетная ставка находится по формуле:

 или 640 % 

Ответ: i-3200 %, d-640%

 

5. По муниципальной облигации номиналом 50 тыс. руб., выпущенной на 4 года, предусматривается следующий порядок начисления процентов: первый год – 15%, в каждом последующем квартале ставка повышается на 0,3%.

Необходимо:

1. определить наращенную стоимость облигации по простой и сложной процентной и учетной ставкам;
2. составить план наращения первоначальной стоимости по простым и сложным процентам;
3. построить графики наращения стоимости по простым и сложным процентам на базе процентной и учетной ставок.

 

Решение

Наращенная  стоимость облигации по простой  процентной ставке

где  , , … - ставка процентов в периоде с номером , ;

   - продолжительность периода начисления по ставке

руб.

Наращенная стоимость облигации по сложной процентной ставке:

 руб.

Ответ: S по простой процентной ставке - 109250 руб., S по сложной процентной ставке – 154465,73 руб.

 

Рассчитать  эффективную годовую процентную ставку при различной частоте  начисления процентов, если номинальная ставка равна 18%. 

   Дано:   

   Если  проценты начисляются по сложной ставке раз в год, каждый раз со ставкой , то можно записать равенство для множителей наращения:

     ,

где  - эффективная ставка;

       - номинальная ставка.

Отсюда

     

     

     

     

     

     

 

     При , при различных частотах начисления процентов 

 

6. Вексель выдан  на сумму 175 руб. с уплатой 16.10. Векселедержатель учел вексель в банке 19.07 по ставке 8%. Требуется определить сумму, полученную векселедержателем и размер дисконта в пользу банка.

 

Дано: ,

Найти: , - ? 

Решение

      Принимаем K=360.

      Посчитаем количество дней до погашения векселя. По таблице порядковых номеров дней в году,  определяем, что 16.10 – это 289 день в году, а 19.07 – 200 день. Следовательно, количество дней до погашения:

      

      Сумма, полученная владельцем векселя, определяется по формуле:

      

        - сумма погашения;

        - срок ссуды в долях года;

        - сумма дисконта;

        - учетная ставка.

      Тогда сумма, полученная векселедержателем  равна

        руб.

      Размер  дисконта в пользу банка

        руб. 

Ответ: P- 171,54 руб.,D- 3,46 руб. 
 

 

7. Найти размер номинальной ставки при начислении процентов ежемесячно, если при разработке условий контракта была установлена  договоренность о доходности кредита в 28% годовых.

 

Дано:

Найти:  

Решение

Начисление  процентов по номинальной ставке производится по формуле:

где   - наращенная сумма;

       - первоначальная сумма;

       - годовая ставка процентов;

       - число периодов начисления  в году;

       - общее число периодов начисления ( , где - число лет начисления)

Отсюда:

 или  24,94% 

Ответ:j- 24,94% 

 

8. Найти величину учетной ставки, эквивалентной годовой процентной ставке 9% при условии, что срок учета равен 240 дней; 3 года.

 

Дано: , ,

Найти: ,  

Решение:

Наращенная  сумма определяется по формулам

 

где  - наращенная сумма;

      - первоначальная сумма;

       - годовая процентная ставка;

       - учетная ставка процента

       - срок наращения.

Из равенства  выражений имеем

,

откуда

 

Тогда

 или 9,6%

 или 12,3%