Финансовая математика

Интервал сглаживания  принять равным пяти дням. Рассчитать:

• экспотенциальную скользящую среднюю;
• момент;
• скорость изменения цен;
• индекс относительной силы;
• %R, %К и %D.

Расчеты проводить для  всех дней, для которых эти расчеты  можно выполнить на основании  имеющихся данных.

Решение:

1. Найдем экспоненциальную скользящую среднюю (EMA).

где

k=2/(n+1)=2/(5+1)=0,33

- цена закрытия t-го дня; - значение ЕМА текущего дня t.

При расчете EMA учитываются все цены предшествующего периода, а не только того отрезка, который соответствует интервалу сглаживания.

Найдем среднее значение с 1 по 5 день:

EMA5= MA5= (610+614+625+574+563)/5=597,2

Рассчитаем:

k=2/ (5+1) =1/3

EMA6= 1/3 × 590+ (1-1/3) ×597,2 =594,8

EMA7=1/3 × 598+ (1-1/3) ×594,8 =595,8

EMA8=1/3× 580 + (1-1/3) × 595,8 = 590,6

EMA9= 1/3×595+ (1-1/3) × 590,6 = 592,0

EMA10=1/3×580+ (1-1/3) × 592,0 = 588,0

Рис. 3. Экспоненциальная скользящая средняя

Вывод: с 5 по 6 день EMA(t) выше, чем C(t), тренд восходящий – рекомендуется продажа; с 6 по 7 день пересечение EMA(t) с C(t)-сигнал разворота; с 7 по 8 день EMA(t) выше C(t), тренд нисходящий – рекомендуется покупка; с 8-по 9 день EMA(t) ниже C(t), тренд восходящий – рекомендуется продажа; с 9 по 10 день EMA(t) выше C(t), тренд нисходящий – рекомендуется покупка.

2. Вычислим момент (MOM)

Момент рассчитывается как  разница конечной цены текущего дня  Ct и цены n дней тому назад Ct-n.

Рассчитываем по формуле:

MOM t = Ct – C t-n,

где: Ct- цена закрытия t-го дня;

MOM t- значение MOM текущего дня t;

МОМ 6= 590 - 610= -20

МОМ 7= 598 - 614= -16

МОМ 8= 580 - 625= -45

МОМ 9= 595 – 574 = 21

МОМ 10= 580 – 563 = 17

Рис. 4. Момент

Вывод: с 6 по 9 день момент ниже 0-го уровня, следовательно, тренд нисходящий – рекомендуется продажа; с 9 по 10 день момент выше 0-го уровня, тренд восходящий – рекомендуется покупка.

3. Вычислим скорость  изменения цен (ROC).

Рассчитывается как отношение  конечной цены текущего дня к цене n дней тому назад, выраженное в процентах.

Расчет проведем по формуле:

где: Ct- цена закрытия t-го дня;

ROC t- значение ROC текущего дня t;

ROC 6= 590/ 610× 100= 96,7

ROC 7= 598/ 614× 100= 97,4

ROC 8= 580/ 625× 100= 92,8

ROC 9= 595/ 574× 100= 103,6

ROC 10= 580 / 563× 100= 103,0.

Рис. 5. Скорость изменения  цен

Вывод: с 6 по 9 день ROC ниже линии 100%, следовательно, тренд нисходящий – рекомендуется продажа; с 9 по 10 день ROC выше линии 100%, тренд восходящий – рекомендуется покупка.

4. Рассчитаем индекс  относительной силы (RSI)

Общим недостатком МОМ  и ROC является из отставания от динамики рынка. Более своевременные сигналы можно получить с RSI.

Наиболее значимым осциллятором, расчет которого предусмотрен во всех компьютерных программах технического анализа, является индекс относительной  силы.

RSI t – определяется соотношением:

где: AU t, n- сумма прироста цен закрытия за n предшествующих дней. AD t, n- сумма убыли цен закрытия за n предшествующих дней.

Расчет выполняется для  t >= n+1.

Алгоритм расчета:

1) Изменение цен начинаем  со 2– го дня;

2) Выписываем положительные  изменения – приросты,

отрицательные изменения (по модулю) – убыли;

3) Сумма приростов за  n дней, от текущего назад. Сумма убыли за n дней, от текущего назад;

4) Расчет RSI по формуле.

Составим таблицу 2, дополнив таблицу 1 столбцами:

1) «Изменение цен» =Ct – Ct-1 (начиная со 2-го дня);

2) Приросты – положительные  изменения, убыль – отрицательные  изменения по модулю;

3) AU t,5 – суммы приростов по 5 дней, начиная с 6-го,

AD t,5 – суммы убылей  по5 дней, начиная с 6-го;

4) По формуле вычисляем  RSI.

Таблица 3 – Расчет RSI

Дни t	Цены Ct	Изменение цен	Прирост	Убыль	AU t,5	AD t,5	RSI
1	610
2	614	4	4	0
3	625	11	11	0
4	574	-51	0	-51
5	563	-11	0	-11
6	590	27	0	27	15	-35	-75,00
7	598	8	8	0	19	-35	-118,75
8	580	-18	0	-18	8	-53	-17,78
9	595	15	0	15	8	13	38,10
10	580	-15	0	-15	8	9	47,06

А) «Изменение цен» = Ct – C t-1

Начинаем со 2-го дня 

1) 2 день 614 – 610 = 4;

2) 3 день 625 – 614 = 11;

3) 4 день 574 – 625 = -51;

4) 5 день 563 – 574 = -11;

5) 6 день 590 – 563 = 27;

6) 7 день 598 – 590 = 8;

7) 8 день 580 – 598 = -18;

8) 9 день 595 – 580 = 15;

9) 10 день 580 – 595 = -15.

Б) Внесем в таблицу приросты и убыли.

В) Рассчитаем AU t,5

1) 6 день 4+11+0+0+0 = 15;

2) 7 день 11+0+0+0+8 = 19;

3) 8 день 0+0+0+8+0 = 8;

4) 9 день 0+0+8+0+0 = 8;

5) 10 день 0+8+0+0+0 = 8.

Г) Рассчитаем AD t,5

1) 6 день 0+0-51-11+27=-35;

2) 7 день 0-51-11+27+0=-35;

3) 8 день -51-11+27+0-18 = -53;

4) 9 день -11+27+0-18 -15=13;

5) 10 день 27+0-18 -15-15= 9.

Д) Рассчитываем RSI

1) 6 день 100-100/ (1+15/-35)=75,0;

2) 7 день 100-100/ (1+19/-35)=118,8;

3) 8 день 100-100/ (1+8/-53)=17,8;

4) 9 день 100-100/ (1+8/13)=38,1;

5) 10 день 100-100/(1+8/9)=47,0.

Рис. 6 Индекс относительной  силы

Вывод: с 9- го по 10-й день – RSI от 25 до 75- значит в нейтральной зоне, следовательно, финансовые операции проводить можно, ориентируясь на сигналы других индексов.

5. Стохастические линии. %K, %R, %D.

При расчете стохастических линий  используется не только цены закрытия (Ct), но и более полная информация – минимальные цены (Lt), максимальные цены (Ht), эти индексы дают более точную информацию.

Используются индексы %K, %R, %D.

Расчетные формулы:

;

;

;

где: Lt, n-минимальная из цен L, за последние n дней.

Ht, n-максимальная из цен H, за последние n дней.

Алгоритм расчета:

1) Начиная с t=5, определить Lt, 5; Ht, 5.

2) Вычислить разность  Ct – Lt,n; Ht,n – Ct; Ht,n – Lt,n.

3) Вычисляем %K, %R.

4) Трехдневные суммы  (Ct-Lt,n) и (Ht,n-Lt,n).

5) Вычисляем %D.

Таблица 4 – Расчет % K, %R, %D.

t	Ct	Ht	Lt	Ht,5	Lt,5	Ct-Lt,n	Ht,n-Ct	Ht,n-Lt,n	%K	%R	Сум (C-L)	Сум (H-L)	%D
1	663	605	610
2	614	577	614
3	639	580	625
4	625	572	574
5	600	553	563	663	553	10	100	110	9,0909	90,9091
6	595	563	590	639	553	37	49	86	43,0233	56,9767
7	608	590	598	639	553	45	41	86	52,3256	47,6744	92	282	32,6241
8	610	573	580	625	553	27	45	72	37,5000	62,5000	109	244	44,6721
9	595	575	595	610	553	42	15	57	73,6842	26,3158	114	215	53,0233
10	600	580	580	610	563	17	30	47	36,1702	63,8298	86	176	48,8636

a) Найдем Ht, 5.

для 5-го из 663, 614, 639, 625, 600 дня  максимальная цена = 663;

для 6-го дня из 614, 639, 625, 600, 595 максимальная цена = 639;

для 7-го дня из 639, 625, 600, 595, 608 максимальная цена = 639;

для 8-го дня из 625, 600, 595, 608, 610 максимальная цена = 625;

для 9-го дня из 600, 595, 608, 610, 595 максимальная цена = 610;

для 10-го дня из 595, 608, 610, 595, 600 максимальная цена = 610.

б) Найдем Lt,n.

для 5-го дня из 610, 614, 625, 574, 563 минимальная цена = 553;

для 6-го дня из 614, 625, 574, 563, 590 минимальная цена = 553;

для 7-го дня из 625, 574, 563, 590, 598 минимальная цена = 553;

для 8-го дня из 574, 563, 590, 598, 580 минимальная цена = 553;

для 9-го дня из 563, 590, 598, 580, 595 минимальная цена = 553;

для 10-го дня из 590, 598, 580, 595, 580 минимальная цена = 563.

в) Найдем разность Ct-Lt, 5:

для 5-го дня 563-553=10;

для 6-го дня 590-553=37;

для 7-го дня 598-553=45;

для 8-го дня 580-553=27;

для 9-го дня 595-553=42;

для 10-го дня 580-563=17.

г) Найдем разность Ht,n-Ct:

для 5-го дня 663-563=100;

для 6-го дня 639-590=49;

для 7-го дня 639-598=41;

для 8-го дня 625-580=45;

для 9-го дня 610-595=15;

для 10-го дня 610-580=30.

д) Найдем разность Ht,n-Lt,n:

для 5-го дня 663-553=110;

для 6-го дня 639-553=86;

для 7-го дня 639-553=86;

для 8-го дня 625-553= 72;

для 9-го дня 610-553=57;

для 10-го дня 610-563=47.

е) Рассчитаем %K:

для 5-го дня 10/110*100=9,0;

для 6-го дня 37/86*100=43,0;

для 7-го дня 45/86*100=52,3;

для 8-го дня 27/72*100=37,5;

для 9-го дня 42/57*100=73,6;

для 10-го дня 17/47*100=36,2.

ж) Рассчитаем % R:

для 5-го дня 100/110=90,9;

для 6-го дня 49/86*100=56,9;

для 7-го дня 41/86*100=47,7;

для 8-го дня 45/72*100=62,5;

для 9-го дня 15/57*100=26,3;

для 10-го дня 30/47*100=63,8.

з) Рассчитаем трехдневную сумму Ct-Lt,5:

для 7-го дня 10+37+45=92;

для 8-го дня 37+45+27=109;

для 9-го дня 45+27+42=114;

для 10-го дня 27+42+17=86.

и) Рассчитаем трехдневную  сумму Ht,5-Lt,5:

для 7-го дня 110+86+86=282;

для 8-го дня 86+86+72=244;

для 9-го дня 86+72+57=215;

для 10-го дня 72+57+47=176.

к) Рассчитаем %D:

для 7-го дня 92/282*100=32,6;

для 8-го дня 109/244*100=44,7;

для 9-го дня 114/215*100=53,0;

для 10-го дня 86/176*100=48,9.

Рис. 7. График %D, %R, %K.

Вывод:

%K: 5 день – критическая зона, следовательно нужно остановить операцию;

с 6 и 7 день – нейтральная  зона – операция возможна.

8 день –  критическая  зона, ожидается разворот тренда.

9 день – критическая  зона, разворот тренда.

10 день – нейтральная  зона, операция возможна.

% R: 5 день – критическая зона, зона перепроданности.

с 6 по 7 день – нейтральная  зона, операция возможна.

8 день -  критическая зона, зона перекупленности.                  

9день – критическая  зона, зона перепроданности.

10 день – нейтральная  зона, операция возможна.

Сигналы % R совпадают с %K.

%D: 7  день в нейтральной зоне, операции возможны.

10 день операция возможна.

 

Задание 3

 

Выполнить различные коммерческие расчеты, используя данные, приведенные  в таблице 3.1. В условии задачи значения параметров приведены в  виде переменных. Например, S означает некую сумму средств в рублях, - время в годах, i – ставку в процентах и т.д. По именам переменных из таблицы необходимо выбрать соответствующие численные значения параметров и выполнить расчеты.

Таблица 3.1

Сумма	Дата начальная	Дата конечная	Время в днях	Время в годах	Ставка	Число начислений
S	Tн	Тк	Тдн	Тлет	i	m
3500000	11.01.2002	19.03.2002	90	5	40	4

 

3.1. Банк выдал ссуду,  размером S руб. Дата выдачи ссуды - , возврата - . День выдачи и день возврата считать за 1 день. Проценты рассчитываются по простой процентной ставке i% годовых.

Найти:

3.1.1) точные проценты с  точным числом дней ссуды;

3.1.2) обыкновенные проценты  с точным числом дней ссуды;

3.1.3) обыкновенные проценты  с приближенным числом дней  ссуды.