Модель межотраслевого баланса

С учетом формулы (4) систему уравнений баланса (2) можно  записать в следующем виде:

(5)

Если ввести в рассмотрение матрицу коэффициентов  прямых материальных затрат А = {ау}, вектор столбец валовой продукции X и  вектор столбец конечной продукции Y, то система уравнений (5) в матричной форме примет следующий вид:

X = AX + Y (6)

Система уравнений (5), или в матричной форме (6), называется экономико-математической моделью  МОБ (моделью Леонтьева, или моделью "затраты выпуск").

1.3 Решение системы балансных уравнений в матричной форме

В матричной  форме системы уравнений (1) межотраслевой  стоимостной и межпродуктовый натуральный  балансы имеют одинаковое выражение. В том и другом случае общий  объем продукции хi разделяется  на объем производственного потребления - промежуточный продукт хi1, хi2, … , хin и объем непроизводственного потребления - конечный продукт уi, причем удельный вес их для разных отраслей стоимостного баланса и различных продуктов натурального баланса неодинаков.

Однако стоимостной  баланс в отличие от натурального наряду с уравнениями

xj =

в форме распределения  продукции допускается построение уравнений в форме потребления  продукции

где - материальные затраты j-й потребляющей отрасли; Vj + mj - ее чистая продукция; Vj - сумма оплаты труда; mj - чистый доход - прибыль.

Сделаем преобразование системы уравнений (1) - каждое из слагаемых xij разделим и умножим на xj и обозначим 

; (3)

Это преобразование системы(1) приводит ее к обычной  математической форме системы n линейных уравнений с n неизвестными х1, х2, … , хn (или у1, у2, … , уn) при заданных значениях коэффициентов аij и величин у1, у2, … , уn (или х1, х2, … , хn).

Коэффициенты  называются коэффициентами прямых затрат. Для всех отраслей их задают в виде матрицы:

Коэффициенты  прямых затрат в натуральном балансе означают технологические нормы расхода продукта i на производство единицы продукта j (например, расход сахара на банку плодово-ягодных консервов или на килограмм мороженного, киловатт-часов электроэнергии и тонн угля на один автомобиль и т.д.). в стоимостном балансе коэффициенты аij означают затраты отрасли I на каждый рубль валовой продукции отрасли j.

В модели межотраслевого баланса коэффициенты прямых затрат аij предполагаются постоянными. Это  предположение позволяет с помощью уравнений (3) перейти от изучения и анализа сложившихся хозяйственных взаимосвязей к прогнозу пропорционального развития отраслей и планированию темпов их роста.

В системе уравнений (3) все неизвестные х1, х2, … , хn перенесем  в левую часть уравнения ми получим новую фору записи системы уравнений межотраслевого баланса: межотраслевой баланс многофакторный модель

Модель межотраслевого баланса имеет простую матричную  форму записи (Е - А) Х = У и позволяет  решить следующие задачи:

1) определить  конечный объем конечной продукции отраслей у1, у2, … , уn по заданным объемам валовой продукции у1, у2, … , уn (в матричной форме У = (Е - А) Х);

2) по заданной  матрице коэффициентов прямых  затрат А определить матрицу  коэффициентов полных затрат  Р, элементы которой служат важными показателями для планирования развития отраслей (в матричной форме Р = (Е - А)-1);

3) определить  объемы валовой продукции отраслей  х1, х2, … , хn по заданным объемам  конечной продукции у1, у2, … , уn (в матричной форме Х = (Е  - А)-1 У = Р У );

4) по заданным  объемам конечной или валовой  продукции отраслей х1, х2, … , хn  определить оставшиеся n объемов.

В первой задаче планируется валовой выпуск продукции, а конечная продукция является производным  показателем. Такой подход легче  осуществить на практике, но он может привести к нерациональной структуре национального дохода и диспропорциям в развитии отдельных отраслей третья задача предлагает более прогрессивный принцип планирования - от национального дохода. Однако рассчитанные уровни валовой продукции для одних отраслей могут оказаться завышенными и ресурсно-необеспеченными, а для других - заниженными, не загружающими даже действующие производственные мощности. Четвертая задача в определенной степени отражает существую практику планирования.

Для того чтобы матрица коэффициентов прямых материальных затрат А была продуктивной, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из перечисленных ниже условий:

- матрица (Е  - А) неотрицательно обратима, т.е.  существует обратная матрица  (Е - А)-1 0;

- матричный ряд Е + А + А2 + А3 +….= сходится, причем его сумма равна обратной матрице (Е - А)-1;

- наибольшее  по модулю собственное значение  матрицы А, т.е. решение характеристического  уравнения , строго меньше единицы;

- все главные  миноры матрицы (Е - А), т.е. определители матриц, образованные элементами первых строк столбцов этой матрицы, порядка от 1 до n, положительны.

Более простым  способом проверки продуктивности матрицы  А является ограничение на величину ее нормы. Если норма матрицы А  строго меньше единицы, то эта матрица продуктивна. Данное условие являеться достаточным, но не необходимым условием продуктивной.

1.4 Прямые и  косвенные затраты в задаче  МОБ

Остановимся более  подробно на затратах. На основе межотраслевого баланса удается выяснить коэффициенты затрат финансовых, материальных и трудовых ресурсов, и эти коэффициенты выводятся в расчете на единицу выпускаемой продукции. Анализ коэффициентов раскрывает структурные сдвиги в национальной экономике и показывает темпы развития отдельных отраслей. На основе анализа коэффициентов затрат строится экономико-математическая модель. При разных вариантах решения национальной экономической проблемы возможны и различные варианты развития экономики, может создаваться несколько моделей. Затем эти варианты сравнивают, и на основе сравнения вырабатывается наиболее оптимальная модель экономического роста.

Поскольку затраты  включают прямые и косвенные затраты  отраслей (косвенные затраты показывают потоки ресурсов), то разрабатываются  три варианта коэффициентов: коэффициенты прямых затрат, коэффициенты косвенных затрат и коэффициенты полных затрат. Если условно полные затраты принять за единицу, то возможно три варианта:

1. Отрасли для  развития используют только свои  внутренние ресурсы, прямые затраты.  В этом случае прямые и полные затраты совпадают и равны единице.

Если отрасль  для своего развития использует только поставки из других отраслей, то собственные затраты равны нулю, а косвенные единице. Хотя и редко, но обе эти ситуации возникают.

Чаще всего  и прямые, и косвенные затраты больше нуля, но меньше единицы.

Очень важен  анализ направления потоков ресурсов в развивающуюся отрасль, и на основе этого анализа делается вывод, может ли национальная экономика выполнить поставленную задачу. Например, поставлена задача увеличить на 10 % выпуск автомобилей. Необходимо проанализировать, какие отрасли будут поставщиками при увеличении объема производства (металлургия, машиностроение, химическая промышленность). Все эти отрасли должны направить в автомобилестроение на 10 % больше своих ресурсов.

Коэффициенты  прямых и косвенных затрат в каждый момент показывают национальную статику, но мы знаем, что национальная экономика всегда находится в динамике, поэтому коэффициенты прямых, косвенных и полных затрат меняются со временем. Возникает задача изучения динамики прямых и косвенных затрат. Автором теории этих процессов является американский ученый Стоун. Его теория называется РА8. Суть его метода состоит в том, что учитывается взаимозаменяемость поставок, косвенных затрат.

Во-первых, под влиянием технического прогресса появляются товары-субституты, которые используются взамен традиционных товаров, сырья, материалов, комплектующих изделий и т. д. В результате этих процессов коэффициенты затрат по одним группам товаров уменьшаются, по другим - увеличиваются.

Во-вторых, в  прямых затратах происходят изменения  под влиянием технического прогресса, и в целом в полных затратах меняются пропорции между прямыми  и косвенными затратами. Если происходит увеличение косвенных затрат, то тем  самым в данной отрасли происходит увеличение затрат прошлого труда. Если растут прямые затраты, то увеличивается удельный вес затрат живого труда. При анализе этой таблицы обнаруживается, что когда происходит количественный экономический рост, то это приводит к увеличению удельного веса промежуточных затрат.

Когда же происходит качественный экономический рост, то, наоборот, сокращаются промежуточные затраты и промежуточный спрос, и в национальной экономике повышается удельный вес отраслей, производящих конечную продукцию. Поэтому если мы начинаем анализировать национальную экономику страны, то мы видим по коэффициентам затрат, на каком этапе экономического роста она находится. Клетки промежуточных показателей наглядно показывают характер экономического роста.

В-третьих, в динамике учитываются изменения в ценах. Суть в том, что изменения цен изменяют потоки ресурсов. Те отрасли, которые снижают цену на свою продукцию, получают завышенные заказы, и эти отрасли более быстро развиваются, вытесняя продукцию тех отраслей, которые продолжают продавать свою продукцию по завышенным ценам.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Балашевич,  В. А. Математические методы  в управлении производством / В. А. Балашевич. - Мн. : Выш. шк., 1976.

2. Вершинин, О.  Е. Компьютер для менеджера / О. Е. Вершинин. -М.: Высш. шк., 1990.

3. Кузнецов, А,  В. Высшая математика. Математическое  программирование / А. В. Кузнецов [и др.]. - Мн.: Выш. шк„ 1994.

4. Кузнецов, А.  В. Руководство к решению задач  по математическому программированию : учеб. пособие / А. В. Кузнецов [и др.]. - 2-е изд., перераб. и доп. - Мн.: Выш. шк., 2001.

5. Лившиц, А. Я.  Введение в рыночную экономику  / А. Я. Лившиц. - М. : Станкин, 1992.

6. Лотов, А.  В. Введение в экономико-математическое  моделирование / А. В. Лотов. - М.: Наука, 1984.

7. Математическая  экономика на персональном компьютере / под ред. М. Кубонина. - М. : Финансы  и статистика, 1991.

8. Сакович, В.  А. Исследование операций / В. А.  Сакович. - Мн. : Выш. шк., 1985.

9. Экономико-математические  методы и модели / под общ. ред. A. В. Кузнецова. - Мн. : БГЭУ, 2000.