$10. Такая ситуация
не может быть равновесной,
поскольку любое лицо может
получить свободные средства
аналогичным образом.
5 Коэффициент хеджирования
Допустим, что
мы занимаем $41,03 и покупаем 0,5556 акций
компании
Wopov и таким образом,
воспроизводим опцион «колл»
на эти акции. Теперь рассмотрим
то влияние которое окажет
на стоимость воспроизведенного
портфеля изменение курса акций
завтра (а не через год). Так
как в портфель входит 0,5556 акций,
то стоимость портфеля изменится
на $0,5556 при изменении курса акций
Wopov на $1. Но так как опцион «колл»
и портфель должны продаваться
по одной цене, то цена опциона
«колл» также должна измениться
на $0,5556 при изменении курса акции
на $1. Данная взаимосвязь называется
коэффициентом хеджирования (hedge ratio)
опциона. Он равен числу
Ns которое было
определено в уравнении выше.
Для опциона
«колл» на акции компании Wopov коэффициент
хеджирования составлял 0,5556, что
равно ($25 - $0)/($125 - $80). Обратите внимание
на то, что числитель равен
разности между выплатами по
опциону в «верхнем» и
«нижнем» положениях,
а знаменатель - разности между
выплатами по акции в этих
двух положениях. В общем виде
в биноминальной модели:
h=(Pou-Pod)/(Pso-Psd)
где P- это цена
в конце периода, а индексы
обозначают инструмент (о - опцион,
s -акция) и положение (и - «верхнее»,
d - «нижнее»).
Чтобы воспроизвести
опцион «колл» в условиях биноминальной
модели, необходимо купить h акций.
Одновременно необходимо получить
под ставку без риска средства
путем «короткой» продажи облигации.
Эта сумма равна:
B=PV(hPsd- Pod)
где PV- дисконтированная
стоимость суммы, указанной в
скобках
(стоимости облигации
в конце периода). В итоге стоимость
опциона «колл» равна:
V0=hPs-B
где h и В
- это коэффициент хеджирования
и текущая стоимость
«короткой» позиции
по облигации в портфеле, который
воспроизводит выплаты по опциону
«колл».
Вполне резонно
усомниться в точности модели
ВОРМ, когда она основана на
предположении, что курс акции
компании Wopov может принимать в
конце года только одно из
двух значений. В действительности
курс акции Wopov может принять
в конце года любое из множества
значений. Однако это не создает
проблемы, так как мы можем
развить модель.
Для рассматриваемого
случая с акциями компании Wopov
разделим год на два периода
по шесть месяцев. Предположим,
что за первый период курс
акции Wopov может подняться до $111,80
(рост на 11,80%) или снизиться до $89,44 (падение
на 10,56%). За следующие шесть месяцев курс
акции Wopov может вновь или возрасти на
11,80%, или уменьшиться на 10,56%. Таким образом,
курс акции Wopov будет изменяться в соответствии
с одним из направлений «дерева цены»
на рис. 2(б) за следующий год. Теперь акция
Wopov может в конце года иметь один из следующих
курсов: $125, $100 или $80. На рисунке также
приводится соответствующая стоимость
опциона для каждого значения курса акции.
Как по данным
рисунка можно определить стоимость
опциона «колл» на акции компании
Wopov в момент времени 0? Ответ
весьма прост. Изменение состоит
лишь в том, что проблема
разбита на три части, каждая
из которых решается таким
же образом, как было показано
ранее при обсуждении рис. 2(а).
Три части должны рассматриваться
последовательно в обратном порядке.
10 Для опционов
«пут»
Можно ли использовать
модель ВОРМ для оценки стоимости
опционов «пут»?
Так как формулы
охватывают любой набор выплат,
то их можно использовать для
этой цели. Рассмотрим еще раз
акции компании Wopov в случае годичного
периода, при этом цена исполнения
опциона «пут» — $100, дата истечения
— один год с сегодняшнего
числа. «Дерево цены» будет
выглядеть следующим образом:
$125 Р0 = 0
$80 Р0 = $20
Коэффициент хеджирования
для опциона «пут» -0,4444 [($0-$20) /($125
-
$80)]. Это отрицательная
величина. Она означает, что повышение
курса акции приведет к уменьшению
цены опциона.
В равно - $51,28.
Это - дисконтированная стоимость
величины, которая в конце года
составляет - $55,55. Так как это отрицательные
величины, то они означают сумму,
которую надо заплатить за
облигации (т. е. отрицательная
стоимость «короткой» позиции
может рассматриваться как стоимость
«длин ной» позиции).
Чтобы воспроизвести
опцион «пут», следует осуществить
«короткую» продажу 0,4444 акций
Wopov и предоставить кредит (т.е.
инвестировать в безрисковую
облигацию) $51,28. Так как «короткая»
продажа принесет $44,44, а за облигацию будет
уплачено $51,28, то чистая стоимость воспроизведения
портфеля составит $6,84 [($51,28 – (-$44,44))]. Таким
образом,,это и есть действительная цена
опциона «пут».
Это та же
цена, что и полученная из уравнения
(20.7): $6,84 [0,4444 х
$100 -(-$51,27)] где h = 0,4444,
В = -$51,28 и Ps= $100. Таким образом,
полученные выше уравнения для
опциона «колл» можно использовать
применительно к опционам «пут».
4. Модель Блэка-Шоулза
ФИШЕРОМ БЛЭКОМ
(FISHER BLACK) И МЕРТОНОМ ШОУЛЗОМ БЫЛА
РАЗРАБОТАНА
ФОРМУЛА ДЛя
ОЦЕНКИ ОПЦИОНОВ, чТО ПОСЛЕ ЕЕ
ОПУБЛИКОВАНИя В 1973Г. ПОЗВОЛИЛО
ОТОЙТИ ОТ СУБЪЕКТИВНО-
ИНТУИТИВНЫХ, НЕ ТОчНЫХ ОЦЕНОК
ПРИ ОПРЕДЕЛЕНИИ ЦЕНЫ
ОПЦИОНОВ И
ПОДВЕСТИ ПОД НЕГО ТЕОРЕТИчЕСКУЮ
БАЗУ.
Современное управление
рисками, применяемое в страховании,
торговле на фондовом рынке
и инвестировании, основывается
на возможности использовать
математические методы для предсказания
будущего. Конечно, не со 100%-ной
вероятностью, но достаточно точно
для того, чтобы принять взвешенное
инвестиционное решение. Основополагающий
принцип работы на финансовых
рынках состоит в следующем:
чем больший риск вы готовы
на себя принять, тем на большее
вознаграждение вы вправе рассчитывать.
Использование математики никогда
не сможет полностью элиминировать
риск, но может помочь правильно
оценить степень принимаемого
на себя риска и решить вопрос
о справедливом вознаграждении.
В моделе Блэка-Шоулза опцион
рассматривается как функция
следующих элементов:
Цена базового
актива и цена страйк (цена
исполнения). Наиболее важный фактор,
влияющий на цену опциона. Как
уже говорилось ранее это соотношение
между ценой лежащего в основе
опциона актива и ценой страйк.
Это соотношение определяет статус
опциона ("в деньгах" или
"вне денег") и внутреннюю
стоимость опциона (величина, на
которую цена базового актива
выше или ниже цены страйк
для опционов колл и пут
соответственно).
Время, остающееся
до даты истечения опциона.
Время работает против покупателя
опционов, так как цена опционов
вне денег снижается ускоренными
темпами с приближением даты
их истечения. Этот эффект называется
"разрушение временем" (time decay).
Больший срок, остающийся до окончания
срока действия опциона, означает
большую неопределенность.
Степень колебаний
(волатильность). Этот показатель
отражает подверженность базового
актива ценовым колебаниям. Величина
премии по опционам в деньгах
прямо пропорциональна ожидаемой
ценовой неустойчивости базового
актива.
Дивиденды. Повышенные
дивиденды сокращают цену опционов
колл и увеличивают цену опционов
пут, потому что выплата дивидендов
сокращает цену лежащих в основе
опциона акций на сумму дивиденда.
Дивиденды увеличивают привлекательность
покупки и держания акций по
сравнению с покупкой опционов
колл и хранением резервов
наличности. И обратно, продавцы
в короткую должны учитывать
выплату дивидендов, поэтому покупка
опционов пут выглядит более
предпочтительной, чем короткая
продажа акций.
Уровень процентных
ставок. Растущие процентные ставки
увеличивают форвардную цену
базовых акций, которая рассчитывается
как цена акции плюс ставка
по безрисковым активам на
период действия опциона. Форвардная
цена в модели понимается как
стоимость акции на дату истечения
опциона.
Основная привлекательность
опционов для покупателя объясняется
тем, что ему заранее известен
максимально возможный размер
убытков - это величина премии,
уплаченной за опцион, тогда как
потенциальная прибыль теоретически
неограниченна - в случае значительного
роста цены базовых акций в
период действия опциона, покупатель
может рассчитывать на высокую
прибыль. Особенно привлекательны
опционы на акции, рынок которых
отличается резкими и сильными
ценовыми колебаниями, например,
акции компаний, производящих компьютерное
оборудование и программное обеспечение.
Многие нынешние миллионеры из
Силиконовой долины заработали
свое состояние в результате
того, что реализовали полученные
как часть зарплаты опционы
на акции своих молодых перспективных
компаний.
Формула использует
четыре переменные: срок действия
опциона, цена, уровень процентных
ставок, степень рыночных колебаний
и позволяет получить справедливую
величину премии, уплачиваемой за
опцион. Формула Блэка-Шоулза не
только заработала, она привела
к трансформации всего рынка.
Когда в 1973г. открылась Чикагская
биржа опционов, в первый день
ее работы торговалось менее
1,000 опционов, а уже к 1995г. объем
ежедневной торговли превысил 1 миллион
опционов.
Роль, которую
сыграла модель Блэка-Шоулза в
росте нового рынка опционов,
была так велика, что, когда
на американском фондовом рынке
в 1978г. произошел крах, влиятельный
деловой журнал Forbes напрямую возложил
ответственность за него на
эту формулу. Шоулз на это
обвинение ответил, что не формулу
нужно винить, а участников рынка,
которые еще не достигли необходимого
уровня подготовки для ее применения.
История выведения
формулы началась с того, что
Фишер Блэк приступил к разработке
модели оценки для варрантов.
Он решил использовать расчет
производной для измерения того,
как меняется дисконтная ставка
варранта с течением времени
и в зависимости от движения
цены. Выведенная формула очень
напоминала хорошо известное
уравнение теплообмена. После
этого открытия к Блэку присоединился
Майрон Шоулз, и результатом
их совместной работы стала
поразительно точная модель ценообразования
для опционов. Фактически, их модель
стала улучшенной версией предыдущей
формулы, описанной Джеймсом Бонессом
(A. James Boness) в своей докторской
диссертации. Коррективы, внесенные
Блэком и Шоулзом, относились
к доказательству, что процентная
ставка по безрисковым активам
является точным дисконтным множителем,
кроме того, они ушли от допущений
о предпочтениях инвесторов в
отношении принимаемого на себя
риска.
C - теоретическая
премия по опциону колл
t - время, остающееся
до срока истечения опциона,
выраженное как доля года
(количество дней
до даты истечения/365 дней)
К - цена исполнения
опциона (цена страйк)
r - процентная ставка
по безрисковым активам
N(x) - кумулятивное
стандартное нормальное распределение
е - экспонента
(2,7183…)
s - - годовое стандартное
отклонение цены базовых акций
(историческая волатильность). Рассчитывается
через умножение стандартного
отклонения цены за несколько
дней на квадратный корень
из 260 (количество торговых дней
в году)
ln - натуральный логарифм
Для понимания
сути модели ее можно разделить
на две части. Первая часть,
SN(d1), отражает ожидаемую прибыль
от покупки самих базовых акций.
Расчет производится
через умножение цены лежащих
в основе акций (S) на изменение
премии по опциону колл по
отношению к изменению цены
базового актива (N(d1)). Вторая часть
модели,
дает приведенную
стоимость выплаты цены исполнения
(цены страйк) на дату истечения
опциона. Объективная рыночная
стоимость опциона колл рассчитывается
путем вычитания второй части
формулы из первой.
1 Допущения в
модели Блэка-Шоулза