Синергетические модели в экономике

Содержание: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

   Исследование синергетических моделей управления социально-экономическими системами становится в последнее время особенно актуальным. В рамках синергетических представлений развитие экономической системы представляет собой качественное изменение структуры и функционирования за счет кооперативного взаимодействия ее компонентов. Как и любая другая сложная открытая система, она претерпевает череду стадий порядка и хаоса. Экономическая система и ее компоненты в неустойчивом состоянии подвергаются изменениям — флуктуациям, которые экономика до определенного предела может нейтрализовать, чему способствует устойчивость ее структуры в течение эволюционного периода. При превышении флуктуирующими параметрами критических значений наступает момент скачкообразного перехода экономики в качественно иное состояние, на новую траекторию развития. Так наступает точка бифуркации — то есть ветвления вариантов развития. Таким образом, при изменяющихся внешних условиях эволюция системы представляет собой последовательность различных аттракторов, переход между которыми происходит через неустойчивые состояния и бифуркации.

 При синтезе и анализе социально-экономических  систем синергетические модели представляют интерес для выявления «узких мест», возникающих в ходе развития системы. В случае построения адекватных моделей могут быть проанализированы альтернативные экономические стратегии и дан прогноз развития системы при различных управляющих воздействиях. Заметим, что хотя синергетические модели позволяют лишь качественно (на концептуальном уровне) описать исследуемые явления, тем не менее с их помощью можно выявлять различные нелинейные особенности изучаемых процессов, что невозможно сделать в рамках имитационных моделей. Кроме того, ценность этих моделей состоит в том, что они позволяют исследовать влияние различных эндогенных и экзогенных факторов на поведение нелинейных траекторий изучаемой системы.

Теоретические исследования в области синергетического моделирования в экономике проводятся в разных направлениях. При этом все динамические модели, как аналитические, так и допускающие лишь вычислительный эксперимент, можно условно разделить на две группы. К первой относятся модели экономического роста, ко второй — модели экономического цикла или, в более широком смысле, экономических колебаний. Хотя колебательная динамика в бόльшей мере соответствует реальным процессам по сравнению с поведением моделей роста, тем не менее выявление «узких мест» последних, в том числе влияние различных факторов на поведение моделей роста, представляет также научный и практический интерес.

 Отметим следующее. Слияния и поглощения — один из самых распространенных путей развития, к которому прибегает в настоящее время большинство даже самых успешных компаний. Этот процесс в современных условиях становится явлением обычным, практически повседневным. Зачастую непросто провести границу между слиянием и поглощением. Кроме того, существуют определенные различия в толковании данных понятий в зарубежной теории и практике и в российском законодательстве. Автор придерживается взглядов зарубежной практики, согласно которым под слиянием понимается объединение нескольких фирм, в результате которого одна из них выживает, а остальные утрачивают самостоятельность и прекращают существование. В российском законодательстве этот случай подпадает под термин «присоединение», поэтому для определенности в дальнейшем в статье будет использоваться именно этот термин. Основные допущения модели:

 1) наличие  двух групп компаний: компании, которые  могут присоединяться — условно  будем называть их «компании-жертвы», и компании, которые присоединяют — «компании-хищники». Например, первые могут отличаться от вторых меньшей величиной запасов основного капитала;

 2) в  отсутствие компаний-хищников скорость  накопления капитала компаний-жертв  описывается логистической функцией;

 3) компании-хищники  могут находиться либо в состоянии  присоединения компаний-жертв, либо  в состоянии развития (роста) —  в виде «компаний-комплексов», образованных присоединением последних к первым. Через некоторое время последние также могут переходить в состояние присоединения компаний-жертв;

 4) накопление  капитала компаниями-комплексами  происходит в соответствии с  односекторной моделью Солоу с учетом синергетического эффекта в использовании трудовых ресурсов.

 Исследуемая модель описывает как дружественные, так и недружественные слияния и поглощения компаний при любой форме их интеграции (горизонтальные, вертикальные и т. д.) и является разновидностью Вольтеровских систем. Модель предполагает, что в результате слияний и поглощений происходит полный или частичный переход капитала от одних фирм к другим, и применима для компаний или группы компаний, образующих кластеры, холдинги и т. д. Исходная система уравнений для изучаемой модели выглядит так:  
 

       (1) 

       (2) 

       (3) 
 

где x', y', k' — производные по времени t, характеризующие накопление основного капитала присоединяемыми компаниями — x (компании-жертвы), компаниями, присоединяющими первые,— y (компании-хищники) и компаниями-комплексами, образованных присоединением первых ко вторым,— k. Переменные x, y, k в уравнениях (1)–(3) являются эндогенными удельными показателями накопления капитала соответствующих компаний. При этом x = X//L1, y = Y/L2, k = K/L, где X, Y, K — абсолютные значения основного капитала соответствующих компаний; L1, L2, L = L1 + L2— число занятых в этих компаниях, L = L0 × exp(n × t), где n — годовой темп прироста числа занятых. Уравнение (1) описывает эволюцию объекта в условиях ограниченных ресурсов и конкуренции, ограничивающей рост. Параметр A является постоянной абсолютной скоростью накопления капитала компаниями-жертвами, связанной с приходом новых компаний на рынок, λ — абсолютная скорость прироста капитала этих компаний, N — так называемая поддерживающаяся емкость рынка капитала. Последний член уравнения (1) описывает процесс присоединения компании-жертвы к компании-хищнику, θ — удельная скорость присоединения компаний. В уравнении (2) параметр s — норма накопления капитала компаниями-комплексами (0 < s < 1), τR — жизненный цикл этих компаний между двумя последовательными актами присоединения компаний-жертв, F(K, z × L) = Kα × (z × L)1 – α — производственная функция компании — комплекса, характеризующая объем выпуска продукции в стоимостном выражении. Считаем, как отмечалось выше, что синергетический эффект процесса слияний и поглощений состоит в рациональном использовании трудовых ресурсов и человеческого капитала. Параметр z — синергетический параметр использования трудовых ресурсов, при этом F(K, z × L)/L = f(k, z) = kα × × z1 – α, где k = K/L. При этом z > 1 при положительном синергетическом эффекте от присоединений компаний и 0 < z < 1 при отрицательном синергетическом эффекте. Последний член уравнения (2) описывает убыль капитала компаний-хищников, участвующих в присоединении компаний-жертв, связанную с отсутствием ресурсов и конкуренции, μ — абсолютная скорость этого процесса. Уравнение (3), как уже говорилось выше, описывает накопление капитала компаниями-комплексами в соответствии с односекторной моделью Солоу. В этом уравнении используются следующие экзогенные показатели: s — норма накопления основного капитала, δ — доля выбытия основного капитала (0 < δ < 1), n — годовой темп прироста числа занятых (–1 < n < 1).

 Переходя  к безразмерному виду уравнений  и измеряя время t в единицах 1/μ, x — в единицах N, y — в единицах μ/θ, k — в единицах (μ/s)1/α – 1 × z получим в окончательном виде  

          (4) 

          (5) 
 

          (6) 
 

где параметры  A1 = A / (N × μ), b = λ / μ, γ = N × × θ / μ, C = 1/τR × θ × z1 – α/μ^2, β = (δ + n) × (μ / / s)1/1 – α / (μ × z) считаем постоянными. Параметр C ~ z в дальнейшем будем называть параметром эффективности развития компаний-хищников.

 Замечательной особенностью стационарных решений  системы уравнений (4)–(6) является то, что они могут описывать катастрофы типа сборки. Это означает, что стационарные решения x¯ , y¯ при определенных условиях обладают свойством бистабильности. Бифуркационный анализ системы уравнений (4)–(6) проводился в программном продукте Matcont(пакет расширения Matlab) методом продолжения по параметру.  

 Рис. 1. Зависимость стационарного  значения y¯ от параметра b при различных значениях параметра эффективности С в системе уравнений (4)–(6). Параметр A₁ = 0,3, γ = 11, α = 0,8, β = 0,5. Кривая 1 соответствует значению C = 0,5, 2–1 = 0,43, 3–С = 0,3 (обозначения точек бифуркации в тексте) 

 На  рис. 1 показана зависимость стационарного значения y¯ от параметра b при различных значениях параметра эффективности роста компаний-хищников C. При увеличении абсолютной скорости прироста капитала компаний-жертв b, удельное отношение слияний и поглощений на единицу трудового ресурса (в стоимостном выражении) y¯ уменьшается непрерывно во всей области изменения b при значениях C < Cc (при эффективном развитии компаний-жертв последние избегают дружественных присоединений). При C > Cc уменьшение y¯ происходит непрерывно только до значения b, соответствующего точке поворота (точка LP1 на рис. 1) на гистерезисной петле. При дальнейшем уменьшении происходит скачок и значение y¯ резко падает к нижней ветви стационарных состояний. При движении по гистерезисной петле в обратном направлении скачок происходит в точке LP2 (рис. 1).

Таким образом, рост эффективности развития компаний-жертв приводит к непрерывному снижению удельного отношения слияний и поглощений (в стоимостном выражении) во всей области значений абсолютной скорости прироста их капитала при значении параметра эффективности развития компаний-хищников C ~ z1 – α меньше критического значения. При значении последнего, превышающего критическое, вследствие бистабильности происходит скачкообразное уменьшение доли слияний и поглощений (рис. 1), т. е. скачкообразный переход экономики в качественно иное состояние, на новую траекторию развития. Соответствующая критическая точка является точкой сборки (точка CP на рис. 1). Заметим, что критическая точка CP является точкой бифуркации коразмерности два, а точки LP1, LP2 — точки бифуркации коразмерности один. Область на гистерезисной кривой между этими точками является областью метастабильных (неустойчивых) состояний, а области выше точки LP1 и ниже точки LP2 — области устойчивых состояний.

 В силу постоянно увеличивающегося количества и общего объема сделок по слияниям и поглощениям в течение последнего десятилетия можно считать, что уравнения (1)–(3) описывают «модернизированную» (по сравнению с обычной моделью Солоу) модель экономического роста, которую можно использовать в прикладных исследованиях при изучении, например, динамики фондовооруженности отдельных отраслей, регионов и т. д. Поэтому интересно проанализировать экономическую интерпретацию предлагаемой модели. К сожалению, непосредственное использование уравнений (1)–(3) для имитации экономического роста отдельных отраслей или промышленности региона не представляется возможным в силу трудностей, связанных с параметризацией модели (недостаток статистических данных). Однако подобная интерпретация синергетического подхода к анализу деятельности всей промышленности Свердловской области и ее отдельных отраслей подробно проведена в работе. В этой работе авторами исследовалась устойчивость стационарных состояний методами теории катастроф, которые позволяли в результате обработки статистических данных дать оценку текущего состояния экономического объекта с точки локальной или глобальной устойчивости в наглядном графическом виде, определить точки равновесия на детерминированной ветви развития и изучить временную деформацию потенциальных функций. Теоретической основой работы являлись нелинейные математические методы синергетики и теории катастроф. Как отмечалось выше, в работе анализировалась динамика развития всей промышленности Свердловской области и таких ее отраслей, как легкая и химическая, где доля слияний и поглощений невелика. Автор предлагаемой работы проанализировал динамику роста черной и цветной металлургии, в которых, по данным, доля слияний и поглощений в период 2000–2004 гг. (в объемном выражении) максимальна (~60 %). Обработка экспериментальных данных производилась, как и в работе, методом наименьших квадратов в виде потенциальных функций, используемых в катастрофе сборки. В качестве потенциальной функции использовалось отношение материальных издержек M к выручке B. Эта функция обрабатывалась по методу полиномом четвертой степени:  

где параметры  d0 – d4 определялись на основании статистических данных. Такой полином, связанный с катастрофой сборки, дает три точки равновесия, две из которых могут быть устойчивыми. Каждый из параметров имеет определенный смысл.  

Рис. 2. Вид потенциальной  функции для черной и цветной металлургии  в период 2001–2004 гг. M / B в зависимости  от B / L по данным [5]. B — суммарная выручка этих отраслей за исследуемый период, L — фонд оплаты труда в отраслях, M — материальные издержки