Облік фактора часу у фінансових розрахунках

Облік фактора часу у  фінансових розрахунках

Розміщаючи капітал у комерційні банки, інвестиційні проекти, цінні папери і нерухомість, варто планувати не тільки згодом повернути вкладену суму, але й одержати очікуваний економічний ефект. Концепція переоцінки вартості грошей ґрунтується на тому, що ця вартість з часом змінюється. Ключову роль при описі процесу трансформації вартості коштів у часі відіграють два основних поняття: майбутня вартість грошей і їхня дійсна вартість.

Майбутня вартість грошей — це сума інвестованих у даний момент коштів, в яку вони перейдуть через визначений період часу з урахуванням умов вкладення.

Сучасна вартість грошей - це сума майбутніх грошових надходжень, приведених за допомогою визначеного коефіцієнта (дисконту, дисконтної ставки) до сучасного періоду.

Розглянемо базові поняття фінансової математики:

• відсоток — це доход від надання капіталу в борг у різних формах (позички, кредити і т.д.) або від інвестицій виробничого чи фінансового характеру;
• процентна ставка — це величина, що характеризує інтенсивність нарахування відсотків;
• нарощення первісної (інвестованої) суми — це збільшення даної суми за рахунок нарахованих відсотків; відношення нарощеної суми до первісної називають множником (коефіцієнтом) нарощення; множник нарощення показує, у скільки разів зріс
• первісний капітал;
• період нарахування — це інтервал часу, за який нараховуються відсотки.

При проведенні фінансових розрахунків  процеси нарощування вартості можуть здійснюватися як за простими, так і за складними відсотками.

Прості відсотки — це метод розрахунку доходу кредитора, одержуваного від  позичальника за надані в борг гроші. Вони нараховуються на ту саму суму позикового капіталу протягом усього терміну погашення позички.

При складних відсотках платежі  в кожнім періоді додаються до капіталу попереднього періоду, а процентний платіж у наступному періоді нараховується на нарощену величину первісного капіталу.

Прості відсотки використовуються звичайно, коли термін погашення позички  менший року, а складні — більший  року.

ПРОСТІ ВІДСОТКИ

Умовні позначки:

період нарахування — n років;

                                       m місяців;

                                       d днів;

сума позики — K_о;

нарощена сума боргу — К_н;

процентна ставка — р.

Нарощена сума боргу розраховується за формулами:

 

              

                                                                                             

 

 

                                                                  

 

Якщо умови кредитного договору передбачають зміну процентної ставки протягом терміну кредиту, то нарощена сума боргу розраховується за формулами:

Задача 1

Визначити нарощену суму боргу, що одержить вкладник наприкінці терміну, якщо К₀= 50 тис. грн.; n = 4 роки; р =25%.

Розв'язання:

Використовуючи формулу 1, визначаємо нарощену суму боргу:

К_н = 50(1 + 0.25 * 4) = 100 тис. грн.

 

Задача 2

Визначити суму, яку необхідно внести в банк під 18% річних, щоб за 2 роки нарощена сума склала 75 тис. грн.

Розв'язання:

Перетворивши формулу  1, одержуємо:

(6)

Первісна сума капіталу становить:

Задача 3

На скільки років повинний бути вкладений капітал у сумі 60 тис. грн. при 20% річних, щоб первісна сума зросла на 35 тис. грн.?

Розв'язання:

Перетворивши формулу 1, одержуємо:

(7)

Задача 4

Визначити нарощену суму боргу, яку одержить вкладник, вклавши 7 тис. грн. під 12%; річних, через 6 місяців.

Розв'язання: Використовуючи формулу 2, розрахуємо нарощену суму боргу:

К_н = 7(1 + 0,12 (6/12 )) = 7,42 тис. грн.

 

Задача 5

Внесок у сумі 3,5 тис. грн. прийнятий 1 березня під 16% річних. Яку суму одержить вкладник 16 вересня того ж року?

Розв'язання:

Період нарахування становить:

d = 31 + 30 + 31 + 30 + 31 + 31 + 15 = 199 днів.

За формулою 3 одержуємо:

Задача 6

На скільки років повинен  бути вкладений капітал під  22% річних, щоб первісна сума збільшилася в 3.5 рази?

Розв'язання:

Використовуючи формулу 1 і з огляду на те, що К_н= 3,5 К₀, розв'язуємо таке рівняння:

3,5К_О=К_О(1 + рn)

і одержуємо:

Задача 7

Фірма уклала угоду з банком про  надання позички в 200 тис. грн. терміном на 2 роки за такими умовами: за перший рік плата за позичку становить 20% річних по простій ставці, а в кожнім наступному півріччі позичковий відсоток зростає на 5%. Розрахувати нарощену суму боргу на кінець 2-го року.

Розв'язання: За формулою 4.5 розраховуємо:

 

 

 

Задача 8

Кредитний договір передбачає видачу позички в сумі 150 тис. грн. терміном на 3 роки за такими умовами: за перший рік плата за кредит становить 18% річних, а в кожнім наступному кварталі позичковий відсоток зростає на 1.5%. Розрахувати нарощену су. му боргу на кінець 3-го року.

Розв'язання: За формулою 5 одержуємо:

К_н= 150(1 + 0.18*1 + 0.195*0.25 + 0.21*0.25 + 0.225*0.25 + 0.24*0.25 + 0.255*0.25 + 0.27*0,25 + 0.285*0.25 +0.30*0.25) = 251.25 тис. грн.

 

СКЛАДНІ ВІДСОТКИ

Існують два методи нарахування складних відсотків: декурсивний та антисипативний.

Декурсивний (наступний) спосіб передбачає нарахування відсотків наприкінці кожного тимчасового інтервалу  нарахування. Величина відсотків визначається, виходячи з величини використовуваного капіталу.

Антисипативний (попередній) спосіб передбачає нарахування відсотків на початку кожного тимчасового інтервалу.

У світовій практиці широке поширення  одержав декурсивний спосіб нарахування  відсотків. Антисипативний метод нарахування відсотків застосовується, як правило, рідше, у періоди високої інфляції.

Розглянемо декурсивний метод  нарахування відсотків.

Нарощена сума боргу (внеску) визначається за формулою:

(8)

де К₀ - первісна сума;

s — ставка складних річних відсотків;

n — період нарахування, років.

Виходячи з зазначеної формули, можна знайти:

первісну суму:

(9)

б/ ставку складних річних відсотків:

(10)

період нарахування:

(11)

Якщо кількість розрахункових  періодів у році перевищує одиницю, то для розрахунку нарощеної суми користуються формулою:

(12)

де m — кількість розрахункових періодів у році.

Задача 9

Визначити нарощену суму капіталу, якщо первісна його сума становить 1000 грн., складна процентна ставка — 5%, період нарахування — 7 років. Порівняти отриманий результат з величиною нарощеної суми, розрахованої з використанням ставки простих відсотків.

Розв'язання:

Нарощена сума, що розраховується за методом складних відсотків, визначається за формулою 8:

К^s_н = 1000(1 + 0.05)⁷= 1407,1 грн.

Нарощена сума, що розраховується за методом простих відсотків, визначається за формулою 1:

К^р_н=1000(1 + 0.05*7)=1350 грн.

Зроблені розрахунки дозволяють зробити  висновок про перевищення суми капіталу, розрахованої за методом складних відсотків.

Задача 10

Яку суму варто вкласти в банк під 7% річних за складною ставкою на 3 роки, щоб до кінця зазначеного терміну одержати 2000 грн.? Здійснити перевірку розрахунку.

Розв'язання:

Первісну суму капіталу розрахуємо за формулою 9:

Перевірку можна здійснити, застосувавши формулу 8:

К_н =1632,6(1 + 0.07)³ =2000 грн.

Задача 11

Яка ставка складних відсотків була використана в розрахунках, якщо первісна сума капіталу складає 3500 грн., нарощена сума — 5898 грн.? Капітал був вкладений на 5 років.

Розв'язання:

За формулою 10 розрахуємо ставку складних відсотків:

Задача 12

Визначити нарощену суму внеску, якщо капітал у сумі 2800 грн. вкладений на 3 роки під 24% за складною ставкою. Відсотки нараховуються:

1. 1 раз у рік;
2. кожне півріччя;
3. щокварталу;
4. щомісяця.

Розв'язання:

За формулами 8 і 12 розраховуємо нарощену суму, виходячи з умов вкладення:

1. К_н =2800(1 + 0.24)³ =5338.55 грн.;
2. К_н =2800(1 + 0,24/2)^3*2 =5526.70 грн.;
3. К_н = 2800(1+ 0,24/4)^3*4 =5634.15 грн.;
4. К_н  = 2800(1+ 0,24/12)^3*12 =5711.68 грн.

                                           

Задача 13

Яку суму варто вкласти в банк, щоб по закінченні 2-х років нарощена сума склала 8000 грн. при ставці складних відсотків 9%. Нарахування відсотків здійснюється:

1)кожне півріччя;

2) щокварталу.

Розв'язання: Перетворивши формулу 12, знайдемо первісну суму внеску:

1)                                               

2)

Задача 14

Визначити найбільш вигідний варіант  вкладення коштів на 3 роки:

• капітал вкладається під 11.8% річних за складною ставкою при нарахуванні відсотків 1 раз у рік;
• капітал вкладається під 11.5% річних за складною ставкою при нарахуванні відсотків кожне півріччя;
• капітал вкладається під 11.3% річних за складною ставкою при нарахуванні відсотків щокварталу;
• капітал вкладається під 11.2% річних за складною ставкою при нарахуванні відсотків щомісяця.

Розв'язання:

Оптимальний варіант вкладення  засобів забезпечує максимальну нарощену суму, яку розрахуємо за формулами 8 і 12, з огляду на умови вкладення. Приймаємо первісну суму в розмірі 1000грн.

1) К_н =1000(1 + 0,118)³ =1397.42 грн.   

2)

        3)  К_н = 1000(1 + 0,113/4)^3*4 =1396.96 грн.

        4) К_н = 1000(1 + 0,112/12)^3*12     = 1397.16 грн.

Найбільш пріоритетний другій варіант.

Задача 15

Які повинні бути: 1) ставка простих річних відсотків; 2) ставка складних річних відсотків, щоб первісний капітал збільшився в 2,5 рази за 3 роки?

Розв'язання:

Формулу для розрахунку ставки простих  відсотків одержуємо, перетворивши формулу 1:

Ставка складних відсотків розраховується за формулою 10: