Заметим, что  зависит от оптимального значения l^* множителя l. Кроме того, при l^*=0 значение является решением задачи без ограничения.

   Значение l^*  можно найти методом систематических проб и ошибок. Так как по определению в поставленной выше задаче минимизации l<0, то при последовательной проверке отрицательных значений l найденное значение l^* будет одновременно определять значения y^*, которые удовлетворяют заданному ограничению в виде равенства. Таким образом, в результате определения l^*  автоматически получаются значения y^* .

3.4. Однопродуктовая  N-этапная динамическая модель

   В этой модели предполагается, что, хотя спрос достоверно  известен, он может изменяться  от этапа к этапу. Уровень запаса контролируется периодически. Хотя запаздывание поставки (выраженное фиксированным числом периодов) допустима, в модели предполагается, что пополнение запаса происходит мгновенно в начале этапа. Наконец, дефицит не допускается.

   Построение динамической детерминированной модели сводится к конечному горизонту времени. Это объясняется тем, что для получения числового решения соответствующих задач требуется использование метода динамического программирования, который в данном случае можно практически применять только при конечном числе этапов (шагов). Однако это не является серьёзным препятствием, т.к. спрос в отдалённом будущем обычно не оказывает существенное влияние на решение, принимаемое для рассматриваемого конечного горизонта времени. Кроме того, как правило, не имеет смысла предполагать, что продукция будет храниться в запасе бесконечно.

   Определим для этапа i,  i=1, 2, . . . , N, следующие величины:

z_i – количество заказанной продукции (размер заказа),

x_i – потребность в продукции (спрос),

x_i – исходный запас (на начало этапа i),

h_i – затраты на хранение единицы запаса, переходящей из этапа i в этап i+1,

K_i – затраты на оформление заказа,

c_i(z_i) – функция предельных затрат, связанных с закупкой (производством) при заданном значении z_i.

   Пусть , где .

   Функция c_i(z_i) представляет интерес только тогда, когда затраты на покупку единицы продукции изменяются во времени или существуют разрывы цены.

   Так как дефицит не допускается,  то требуется найти оптимальное значения z_i, минимизирующие общие затраты на оформление заказов, закупку и хранение по всем N этапам. Затраты на хранение предполагаются пропорциональными величине , которая представляет собой объем запаса, переходящего из этапа i в этап i+1. В результате затраты на хранение на этапе i равны h_ix_i+1. Это предположение вводится исключительно с целью упрощения, т.к. модель легко можно обобщить на случай произвольной функции затрат H_i(x_i+1), заменив h_ix_i+1 на H_i(x_i+1). Аналогично для оценивания затрат на хранение можно воспользоваться величинами x_i или (x_i+x_i+1)/2.

   Построение модели динамического  программирования упрощается, если  представить задачу схематически. Каждый этап соответствует одному  шагу. Используя обратное рекуррентное уравнение, определим состояние системы на шаге i как объем исходного запаса x_i. Пусть f_i(x_i) – минимальные общие затраты на этапах i, i+1, … , N. Рекуррентное уравнение имеет вид

   Прямое рекуррентное уравнение  можно получить, определив состояние на шаге i как объем запаса на конец этапа i. Эти состояния заданы величинами x_i+1. На любом шаге на величины x_i+1 наложены следующие ограничения:

   Таким образом, в предельном  случае объем заказанной продукции z_i на этапе i может быть настолько велик, что запас x_i+1 удовлетворяет спрос на всех последующих этапов.

   Пусть f_i(x_i+1) – минимальные общие затраты на этапах 1, 2, … , N при заданной величине запаса x_i+1 на конец этапа i. Тогда рекуррентное уравнение записывается в виде 

   Прямая и обратная постановка  задачи с вычислительной точки  зрения эквивалентны. Однако прямой  алгоритм наиболее эффективен  при анализе важного частного  случая рассмотренной  выше  модели.

3.4.1. Частный случай  убывающих или  постоянных предельных  затрат

   Рассмотренную модель динамического  программирования можно использовать  при любых функциях затрат. Важным частным случаем этой модели является такой, когда на этапе i как затраты на приобретение (производства), так и затрат на хранение на единицу продукции является постоянными или убывающими функциями x_i и x_i+1 соответственно. В таких условиях предельные затраты постоянны или убывают. Типичные примеры таких функций затрат приведены на рисунке 9. С математической точки зрения эти функции являются вогнутыми. Случай (а) соответствует постоянным предельным затратам. Случай (б) характерен для многих функций затрат на производство (или закупку), когда независимо от объёма производства на оформление заказа требуются затраты К. В этом случае предельные затраты постоянны, но если при z_i=q предоставляется скидка или происходит разрыв, то предельные затраты при z_i>q уменьшается. Случай (в) отражает общий вид вогнутой функции.

Рисунок 9. 

   При указанных выше условиях  можно доказать следующее:

1. При заданном исходном уровне запаса x₁=0 на любом этапе N-этапной модели оптимальным является положительное значение или положительный исходный запас ; их произведение должно быть равно 0, т.е. =0.
2. Размер заказа на любом этапе i оптимален только тогда, когда он равен 0 или в точности соответствует спросу одного или более этапов. Эти последующие этапы таковы, что если спрос на этапе i+m (<N) удовлетворяется за счет , то спрос на этапах i, i+1, …, i+m-1 также должен удовлетворяться за счет .

   Из первого свойства теоремы следует, что на любом этапе i нерационально пополнять запас и размещать заказ в одно и тоже время. Так, предположим, что минимальные предельные затраты на приобретение и хранение одной дополнительной единицы продукции из предыдущего этапа i’ на рассматриваемом этапе i” (i’<i”) равны b’, тогда как предельные затраты на размещение заказа на одну дополнительную единицу в начале этапа i” составляют b”.

   Если b”<=b’, то размер заказа на этапе i” можно увеличить, полностью удовлетворив спрос на этапе i”, не повышая полных затрат относительно условия, когда спрос удовлетворяется за счет запаса, имеющегося на этапе i’. Этот результат объясняется тем, что предельные затраты не возрастают. Следовательно, выполнение условия x_i”z_i”=0 обеспечивает решение, которое по меньшей мере не хуже любого другого. С другой стороны, если b”>b’, то выгоднее увеличить размер заказа на этапе i’, удовлетворив спрос на этапах i’ и i”, вследствие чего размер заказа на этапе i” равен нулю. Этот вывод также следует из условия не возрастания предельных затрат. Отсюда вытекает, что условие x_iz_i=0 не приводит к какому-либо ухудшению решения при условии, что предельные затраты постоянны или убывают, а исходный запас равен нулю. Второе свойство, в соответствии с которым требуется размещение заказа, покрывающего спрос одного или нескольких этапов, непосредственно вытекает из первого свойства.

   Описанные выше свойства (в случае  их применимости) позволяют упростить  вычислительную схему, в основе  которой по-прежнему лежат изложенные ранее общие алгоритмы динамического программирования. Это утверждение поясняется на примере использования алгоритма прямой прогонки.

   Так как в соответствии со  вторым свойством объем запаса  к концу этапа i, т.е. x_i+1, должен в точности соответствовать потребностям одного или более последующих этапов, то число оценок состояния системы на любом этапе определяются числом последующих этапов (а не количеством единиц продукции, требуемой на последующих этапах, как это имеет место в обычной модели). Например, пусть N=5 при спросе 10, 15, 20, 50 и 70 соответственно. Тогда к концу третьего этапа (шага) число оценок состояния x₄ в обычной модели будет 50+70+1=121, тогда как в новой модели оно сокращается до трёх (оставшееся число этапов плюс один), т.к. x₄ может принимать только значения 0, 50 или 120. Аналогичное рассуждение, основанное на первом свойстве, также показывает, что число альтернатив z_i в новой модели намного меньше. В результате объем вычислений для этой модели весьма существенно сокращается.

4. Заключение

   В любой задаче управления  запасами решается вопросы выбора  размеров и сроков размещения заказов на запасаемую продукцию. К сожалению, общее решение этой задачи нельзя получить на основе одной модели. Поэтому разработаны самые разнообразные модели, описывающие различные частные случаи. Одним из решающих факторов при разработке модели управления запасами является характер спроса. В наиболее простых моделях предполагается, что спрос является статическим детерминированным.

   В большинстве моделей управление запасами осуществляется оптимизацией функции затрат, включающей затраты на оформление заказов, закупку и хранение продукции, а также потери от дефицита. Потери от дефицита обычно наиболее сложно оценить т.к. они могут быть обусловлены такими нематериальными факторами, как, например, ухудшение репутации. С другой стороны, хотя оценку затрат на оформление заказа получить нетрудно, включение в модель этой статьи расходов существенно усложняет математическое описание задачи.

   Известные модели управления запасами редко точно описывают реальную систему. Поэтому решение, получаемое на основе моделей этого класса, следует рассматривать скорее как принципиальные выводы, а не конкретные рекомендации. В ряде сложных случаев приходится прибегать к методам имитационного моделирования системы, чтобы получить достаточно надежное решение.