Тепловая проводимость стенки

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 Содержание

1. Основные понятия и определения……………………………………………3
2. Вид уравнения…………………………………………………………………………………………4
3. Закон Фурье………………………………………………………………………………………………5
4. Коэффициент теплопроводности…………………………………………………6
5. Дифференциальное уравнение теплопроводности в плоской стенке при граничных условиях первого рода
1. Дифференциальное уравнение теплопроводности…7
2. Краевые условия………………………………………………………………………10
3. Теплопроводность через плоскую стенку при граничных условиях первого рода………………………………11
6. Список литературы……………………………………………………………………………14

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Основные понятия  и определения

Теория теплопередачи, или  теплообмена, представляет собой учение о процессах распространения  теплоты в пространстве с неоднородным полем температур.

Существуют три основных вида теплообмена: теплопроводность, конвекция  и тепловое излучение.

Теплопроводность — это молекулярный перенос теплоты между непосредственно соприкасающимися телами или частицами одного тела с различной температурой, при котором происходит обмен энергией движения структурных частиц (молекул, атомов, свободных электронов).

Конвекция осуществляется путем перемещения в пространстве неравномерно нагретых объемов среды. При этом перенос теплоты неразрывно связан с переносом самой среды.

Тепловое излучение характеризуется переносом энергии от одного тела к другому электромагнитными волнами.

Часто все способы переноса теплоты осуществляются совместно. Например, конвекция всегда сопровождается теплопроводностью, так как при  этом неизбежно соприкосновение  частиц, имеющих различные температуры.

Совместный процесс переноса теплоты конвекцией и теплопроводностью  называетсяконвективным теплообменом. Частным случаем конвективного теплообмена является теплоотдача — конвективный теплообмен между твердой стенкой и движущейся средой. Теплоотдача может сопровождаться тепловым излучением. В этом случае перенос теплоты осуществляется одновременно теплопроводностью, конвекцией и тепловым излучением.

Многие процессы переноса теплоты сопровождаются переносом  вещества — массообменном, который  проявляется в установлении равновесной  концентрации вещества.

Совместное протекание процессов  теплообмена и массообменна называетсятепломассообменном.

Теплопроводность определяется тепловым движением микрочастиц  тела. В чистом виде явление теплопроводности наблюдается в твердых телах, неподвижных газах и жидкостях  при условии невозможности возникновения  в них конвективных токов.

Передача теплоты теплопроводностью  связана с наличием разности температур тела. Совокупность значений температур всех точек тела в данный момент времени называется температурным  полем. В общем случае уравнение  температурного поля имеет вид:

,

(1.1)

 

где t — температура тела; х, у, z — координаты точки; τ — время. Такое температурное поле называется нестационарным и отвечает неустановившемуся режиму теплопроводности. Если температура тела не изменяется с течением времени, то температурное поле называется стационарным. Тогда

,    .

(1.2)

 

Температура может быть функцией одной, двух и трех координат, соответственно температурное поле будет одно-, дву- и трехмерным. Наиболее простой вид имеет уравнение одномерного стационарного температурного поля:

;    ;    .

 

Если соединить все  точки тела с одинаковой температурой, то получим поверхность равных температур, называемую изотермической. Так как  в определенной точке тела в данный момент времени может быть только одна температура, изотермические поверхности  не пересекаются; все они либо замыкаются на себя, либо заканчиваются на границе  тела. Пересечение изотермных поверхностей плоскостью дает на ней семейство  изотерм. Интенсивность изменения  температуры в каком-либо направлении  характеризуется производной  , принимающей наибольшее значение в направлении нормали к изотермической поверхности

.

(1.3)

 

Вектор   называется температурным градиентом и является мерой интенсивности изменения температуры в направлении по нормали к изотермной поверхности. Направлен он в сторону возрастания температуры.

 

                                   Вид уравнения

Для функции u (x,y,z,t) трёх пространственных переменных (x,y,z) и времени t, уравнение теплопроводности имеет вид

Для произвольной системы  координат:

где α — положительная константа, а Δ или ∇² – оператор Лапласа.

 

Закон Фурье

Согласно гипотезе Фурье, количество теплоты d²Q_τ, проходящее через элемент изотермической поверхности dF за промежуток времени dτ, пропорционально температурному градиенту  :

.

(1.4)

 

Здесь множитель λ называется коэффициентом теплопроводности. Знак минус указывает на то, что теплота передается в направлении уменьшения температуры. Количество теплоты, прошедшее в единицу времени через единицу изотермической поверхности, называется плотностью теплового потока:

.

(1.5)

 

Проекции вектора q на координатные оси соответственно:

;    ;    .

 

Уравнения (1.4) и (1.5) являются математическим выражением основного закона теплопроводности — закона Фурье.

Количество теплоты, проходящее в единицу времени через изотермическую поверхность F, называется тепловым потоком:

.

(1.6)

 

Полное количество теплоты, прошедшее через эту поверхность  за время τ, определится из уравнения

.

(1.7)

 

Коэффициент теплопроводности

Коэффициент теплопроводности является физическим параметром вещества, характеризующим его способность  проводить теплоту. Коэффициент  теплопроводности определяется из уравнения (1.4):

.

(1.8)

 

Численно коэффициент  теплопроводности равен количеству теплоты, проходящему в единицу  времени через единицу изотермической поверхности при условии gradt=1. Его размерность Вт/(м·К). Значения коэффициента теплопроводности для различных веществ определяются из справочных таблиц, построенных на основании экспериментальных данных. Для большинства материалов зависимость коэффициента теплопроводности от температуры приближенно можно выразить в виде линейной функции

.

(1.9)

 

где λ₀ — значение коэффициента теплопроводности при температуре t₀=0 ⁰С; b — постоянная, определяемая опытным путем.

Наихудшими проводниками теплоты являются газы. Коэффициент  теплопроводности газов возрастает с увеличением температуры и  составляет 0,006÷0,6 Вт/(м·К). Следует отметить, что верхнее значение относится  к гелию и водороду, коэффициент  теплопроводности которых в 5—10 раз больше, чем у других газов. Коэффициент теплопроводности воздуха при 0 ⁰С равен 0,0244 Вт/(м·К).

Для жидкости λ=0,07÷0,7 Вт/(м·К) и, как правило, уменьшается с увеличением температуры. Коэффициент теплопроводности воды с увеличением температуры возрастает до максимального значения 0,7 Вт/(м·К) при t=120 ⁰С и дальше уменьшается.

Наилучшими проводниками теплоты являются металлы, у которых λ=20÷418 Вт/(м·К). Самый теплопроводный металл — серебро. Для большинства металлов коэффициент теплопроводности убывает с возрастанием температуры, а также при наличии разного рода примесей. Поэтому коэффициент теплопроводности легированных сталей значительно ниже, чем чистого железа.

Материалы с λ<0,25 Вт/(м·К), обычно применяемые для тепловой изоляции, называют теплоизоляционными. Большинство теплоизоляционных и строительных неметаллических материалов имеют пористое строение, что не позволяет рассматривать их как сплошную среду.

 

  Дифференциальное уравнение теплопроводности в плоской стенке при граничных условиях первого рода

  Дифференциальное уравнение теплопроводности

Решение задач теплопроводности связано с определением поля температур и тепловых потоков. Для установления зависимости между величинами, характеризующими явление теплопроводности, воспользуемся  методом математической физики, который  рассматривает протекание физических процессов в произвольно выделенном из всего рассматриваемого пространства элементарном объеме и в течение  бесконечно малого промежутка времени. Это позволяет пренебречь изменением некоторых величин и существенно  упростить выкладки.

При выводе дифференциального  уравнения теплопроводности считаем, что тело однородно и изотропно (то есть физические свойства тела не зависят  от выбранного в нём направления), физические параметры λ, с(теплоемкость), и ρ (плотность) постоянны, внутренние источники теплоты равномерно распределены в теле. Под внутренними источниками теплоты понимаются тепловыделения, например, в тепловыделяющих элементах атомных реакторов, или при прохождении тока в электрических проводниках. Внутренние источники теплоты характеризуются величиной q_v— количеством теплоты, которое выделяется в единице объема в единицу времени.

В основу вывода положен  закон сохранения энергии, согласно которому вся теплота, выделенная внутренними  источниками dQ_вн и внесенная извне в элементарный объем путем теплопроводности dQ_m за время dτ, идет на изменение внутренней энергии вещества, содержащегося в этом объеме:

.

(1.10)

 

Выделим в теле элементарный параллелепипед с ребрами dx, dy, dz (рис. 1.1). Количество теплоты, которое проходит путем теплопроводности внутрь выделенного объема в направлении оси ОX через элементарную площадку dy·dz за время dτ:

 

Рис. 1.1. К выводу дифференциального уравнения теплопроводности

.

 
 

На противоположной грани  параллелепипеда температура получит  приращение   и будет составлять  .

Количество тепла, отведенного  через эту грань:

.

Разница количества теплоты, подведенного к элементарному  параллелепипеду и отведенного  от него, представляет собой теплоту, внесенную путем теплопроводности в направлении оси ОX:

.

 

Аналогично:

.

 

Полное количество теплоты  внесено в элементарный параллелепипед путем теплопроводности

 

.

 

Здесь произведение dx·dy·dz представляет собой объем элементарного параллелепипеда dv. Количество теплоты, которое выделилось в элементарном объеме за счет внутренних источников:

.

 

Приращение внутренней энергии  можно выразить через массу параллелепипеда ρ·dv, теплоемкость с и приращение температуры  :

.