Теория вероятностей в экономике

Оглавление

Введение 3

1 Основное  положение теории 4

2 Анализ различных  подходов к определению вероятности 5

3 Теория вероятностей  в экономике 8

Заключение 10

Список использованной литературы 11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

     Теория вероятности – это наука, направленная на изучение случайных, не подлежащих строгому математическому описанию, событий и явлений, их свойств, закономерностей и взаимосвязей. Вся деятельность на финансовых рынках попадает под действие законов теории вероятности, так как большинство событий, происходящих на рынке, попадают под категорию случайных. Например, на рынке Форекс непрерывно заключается большое количество сделок и совершается торговых операций. Некоторые из них в дальнейшем приведут к убыткам, а другие могут принести определенную прибыль. Точно предсказать последствия совершаемых операций невозможно, так как их результат зависим от множества непредсказуемых факторов. Вероятность, в математической науке, определяется как некоторый критерий того – произойдет какое-либо событие или нет, выраженный в числовой форме. Вероятность может принимать значения от нуля (когда событие абсолютно невозможно), до единицы (когда событие обязательно наступит). Чаще всего степень вероятности отображают в процентах – от 0% до 100%. При проведении анализа и расчетов с применением теории вероятности используются знакомые математические действия – вероятности можно складывать и перемножать, только по особым правилам. Теория вероятности представляет собой мощнейший механизм прогнозирования рыночных взаимосвязей и отношений, управления вложенным капиталом для получения прибыли.

 

 

 

 

1 Основное положение теории

     Теория вероятности – это наука, занимающаяся изучением закономерностей массовых случайных явлений. Такие же закономерности, только в более узкой предметной области социально-экономических явлений, изучает статистика. Между этими науками имеется общность методологии и высокая степень взаимосвязи. Практически любые выводы сделанные статистикой рассматриваются как вероятностные. Особенно наглядно вероятностный характер статистических исследований проявляется в выборочном методе, поскольку любой вывод сделанный по результатам выборки оценивается с заданной вероятностью. С развитием рынка постепенно сращивается вероятность и статистика, особенно наглядно это проявляется в управлении рисками, товарными запасами, портфелем ценных бумаг и т.п. За рубежом теория вероятности и математическая статистика применятся очень широко. В нашей стране пока широко применяется в управлении качеством продукции, поэтому распространение и внедрение в практику методов теории вероятности актуальная задача. Как уже говорилось, понятие вероятности события определяется для массовых явлений или, точнее, для однородных массовых операций. Однородная массовая операция состоит из многократного повторения подобных между собой единичных операций, или, как говорят, испытаний. Каждое отдельное испытание заключается в том, что создается определенный комплекс условий, существенных для данной массовой операции. В принципе должно быть возможным воспроизводить эту совокупность условий неограниченное число раз.

    Пример1¹. При бросании игральной кости "наудачу" существенным условием является только то, что кость бросается на стол, а все остальные обстоятельства (начальная скорость, давление и температура воздуха, окраска стола и т. д.) в расчет не принимаются.

     Пример 2. Стрелок многократно стреляет в определенную мишень с данного расстояния из положения "стоя"; каждый отдельный выстрел является испытанием в массовой операции стрельбы в данных условиях. Если же стрелку разрешено при разных выстрелах менять положение ("стоя", "лежа", "с колена"), то предыдущие условия существенно изменяются и следует говорить о массовой операции стрельбы с данного расстояния.

2 Анализ различных подходов к определению вероятности

     Вероятность любого события А определяется как сумма вероятностей всех элементарных событий, составляющих событие А, т.е. если использовать символику Р{А} для обозначения вероятности события А, то

 (1) ²

Отсюда следует, что всегда 0<Р{А}<1, причем вероятность достоверного события равна единице, а вероятность невозможного события равна нулю. Таким образом, для исчерпывающего описания механизма исследуемого случайного эксперимента (в дискретном случае) необходимо задать конечное или счетное множество всех возможных элементарных исходов и каждому элементарному исходу поставить в соответствие некоторую неотрицательную (не превосходящую единицы) числовую характеристику p, интерпретируемую как вероятность появления исхода (будем обозначать эту вероятность символами P{wi}). Вероятностное пространство является понятием, формализующим описание механизма случайного эксперимента. Задать вероятностное пространство - это значит задать пространство элементарных событий и определить в нем вышеуказанное соответствие типа:

(2) =P

Очевидно, соответствие типа (2) может быть задано различными способами: с помощью таблиц, графиков, аналитических  формул, наконец, алгоритмически. Чтобы определить из конкретных условий решаемой задачи вероятности P{wi} отдельных элементарных событий используется один из следующих трех подходов.

    Априорный подход к вычислению вероятностей P{wi} заключается в теоретическом, умозрительном анализе специфических условий данного конкретного случайного эксперимента (до проведения самого эксперимента). В ряде ситуаций этот предопытный анализ позволяет теоретически обосновать способ определения искомых вероятностей. Например, возможен случай, когда пространство всех возможных элементарных исходов состоит из конечного числа N элементов, причем условия производства исследуемого случайного эксперимента таковы, что вероятности осуществления каждого из этих N элементарных исходов нам представляются равными (именно в такой ситуации мы находимся при подбрасывании симметричной монеты, бросании правильной игральной кости, случайном извлечении игральной карты из хорошо перемешанной колоды и т.п.). В силу аксиомы, вероятность каждого элементарного события равна в этом случае 1/N. Это позволяет получить простой рецепт и для подсчета вероятности любого события: если событие А содержит NA элементарных событий, то в соответствии с определением(3) ³

     Смысл формулы (3) состоит в том, что вероятность события в данном классе ситуаций может быть определена как отношение числа благоприятных исходов (т. е. элементарных исходов, входящих в это событие) к числу всех возможных исходов (так называемое классическое определение вероятности). В современной трактовке формула (3) не является определением вероятности: она применима лишь в том частном случае, когда все элементарные исходы равновероятны.

     Апостериорно-частотный подход к вычислению вероятностей Р{wi} отталкивается, по существу, от определения вероятности, принятого так называемой частотной концепцией вероятности. В соответствии с этой концепцией вероятность Р{wi} определяется как предел относительной частоты появления исхода в процессе неограниченного увеличения общего числа случайных экспериментов n, т.е. 

4. P

где mn(wi) - число случайных экспериментов (из общего числа n произведенных случайных экспериментов), в которых зарегистрировано появление элементарного события wi. Соответственно для практического (приближенного) определения вероятностей pi предлагается брать относительные частоты появления события в достаточно длинном ряду случайных экспериментов.

     Апостериорно-модельный подход к заданию вероятностей Р{wi}, отвечающему конкретно исследуемому реальному комплексу условий, является в настоящее время, пожалуй, наиболее распространенным и наиболее практически удобным. Логика этого подхода следующая. С одной стороны, в рамках априорного подхода, т. е. в рамках теоретического, умозрительного анализа возможных вариантов специфики гипотетичных реальных комплексов условий разработан и исследован набор модельных вероятностных пространств (биномиальное, пуассоновское, нормальное, показательное и т.п.). С другой стороны, исследователь располагает результатами ограниченного ряда случайных экспериментов. Далее с помощью специальных математико-статистических приемов исследователь как бы прилаживает гипотетичные модели вероятностных пространств к имеющимся у него результатам наблюдения (отражающим специфику изучаемой реальной действительности) и оставляет для дальнейшего использования лишь ту модель или те модели, которые не противоречат этим результатам и в некотором смысле наилучшим образом им соответствуют.

3 Теория вероятностей в экономике

     Задача 1.⁴ Шесть клиентов случайным образом обращаются в 5 фирм. Найти вероятность того, что хотя бы в одну фирму никто не обратится.

     Решение. Рассмотрим противоположное событие , состоящее в том, что в каждую из 5 фирм обратился клиент, тогда в какую-то из них обратились 2 клиента, а в остальные 4 фирмы – по одному клиенту. Таких возможностей . Общее количество  способов распределить 6 клиентов по 5 фирмам . Отсюда . Следовательно, .

     Задача 2. Среди сотрудников фирмы 28% знают английский язык, 30%  – немецкий, 42% – французский; английский и немецкий – 8%, английский и французский – 10%, немецкий и французский – 5%, все три языка – 3%. Найти вероятность того, что случайно выбранный сотрудник фирмы: а) знает английский или немецкий; б) знает английский, немецкий или французский; в) не знает ни один из перечисленных языков.

     Решение. Обозначим через A, B и С события, заключающиеся в том, что случайно выбранный сотрудник фирмы владеет английским, немецким или французским соответственно. Очевидно, доли сотрудников фирмы, владеющих теми или иными языками, определяют вероятности этих событий. Получаем:

а) P(AÈB)=P(A)+P(B) -P(AB)=0,28+0,3-0,08=0,5;

б)P(AÈBÈC)=P(A)+P(B)+P(C)-(P(AB)+P(AC)+P(BC))+P(ABC)=0,28+0,3+0,42-(0,08+0,1+0,05)+0,03=0,8;

в) 1-P(AÈBÈC)=0,2.

     Задача 3.  Фирма имеет три источника поставки комплектующих – фирмы А, B, С. На долю фирмы А приходится 50% общего объема поставок, В – 30% и С – 20%. Из практики известно, что среди поставляемых фирмой А деталей 10% бракованных, фирмой В – 5% и фирмой С – 6%. Какова вероятность, что взятая наугад деталь окажется годной?

     Решение. Пусть событие G – появление годной детали. Вероятности гипотез о том, что деталь поставлена фирмами А, B, С, равны сответственно Р(А)=0,5, Р(В)=0,3, Р(С)=0,2. Условные вероятности появления при этом годной детали  равны Р(G|A)=0,9, P(G|B)=0,95, P(G|C)=0,94 (как вероятности противоположных событий к появлению бракованной). По формуле полной вероятности получаем:

P(G)=0,5×0,9+0,3×0,95+0,2×0,94=0,923.

     Задача 4. Курс акции за день может подняться на 1 пункт с вероятностью 50%, опуститься на 1 пункт с вероятностью 30% и остаться неизменным с вероятностью 20%. Найти вероятность того, что за 5 дней торгов курс поднимется на 2 пункта.

Решение. Возможны только следующие два варианта развития событий:

1) курс растет 2 дня, ни разу  не падает, не меняется 3 дня;

2) курс растет 3 дня, падает 1 день, не меняется 1 день. Таким образом,

 

Заключение

     На основании проделанной работы можно сделать следующие выводы. Вероятность любого события А определяется как сумма вероятностей всех элементарных событий, составляющих событие. Априорный подход к вычислению вероятностей P{wi} заключается в теоретическом, умозрительном анализе специфических условий данного конкретного случайного эксперимента. Вероятность события в данном классе ситуаций может быть определена как отношение числа благоприятных исходов (т. е. элементарных исходов, входящих в это событие) к числу всех возможных исходов (так называемое классическое определение вероятности). В соответствии с апостериорно-частотным подходом, вероятность Р{wi} определяется как предел относительной частоты появления исхода в процессе неограниченного увеличения общего числа случайных экспериментов n. Апостериорно-модельный подход заключается в следующем: в рамках априорного подхода разработан и использован набор модельных вероятностных пространств. Исследователь располагает результатами ограниченного ряда случайных экспериментов, согласно которому он выбирает ту или иную вероятностную модель или модели, которые соответствуют этим результатам наилучшим способом. Теория вероятности является инструментом для изучения скрытых и неоднозначных связей различных явлений во многих отраслях науки, техники и экономики. Теория вероятности позволяет достоверно вычислить колебания спроса, предложения, цен и других экономических показателей. Также теория вероятности является основой такой науки как статистика.

Список использованной литературы

1 Гнеденко Б. В. и Хинчин А. Я. « Элементарное введение в теорию вероятностей» 3 изд., М. - Л., 2010.

2 Вентцель Е.С. Теория вероятностей. - М.: Высшая школа,2003.

3. Гнеденко Б.В. Курс  теории вероятностей. - М.,2002.

4 Корн Г.,Корн Т. «Справочник по математике для научных работников и инженеров. - СПБ:Издательство “Лань” 2003.

¹ Гнеденко Б. В. и Хинчин А. Я. « Элементарное введение в теорию вероятностей» 3 изд., М. - Л., 2010,стр 214.

² Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. - М.,2002,стр 102.

³ Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. - М.,2002,стр 106.

⁴ Вентцель Е.С. Теория вероятностей. - М.: Высшая школа,2003.